La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (indépendance, espérance, variance, probabilité conditionnelle, covariance, coefficient de corrélation linéaire), l’une des lois de probabilité de référence avec son espérance et sa variance, ou l’une des formules fondamentales de probabilités (probabilités totales, Bayes, Koenig-Huygens, théorème de transfert, inégalités de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev).
La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (conjugué et module, exponentielle complexe, racine et ordre de multiplicité, système de Cramer, colinéarité, famille libre ou génératrice, base, dimension, rang, projecteur, symétrie, valeur propre et vecteur propre, espace propre, inversibilité, diagonalisabilité) ou l’un des résultats d’algèbre (formules d’Euler, caractérisation de l’ordre de multiplicité avec le polynôme dérivé, transposée du produit, théorème du rang, formule de Grassmann, famille de vecteurs propres, caractérisation de la diagonalisabilité avec les espaces propres).
La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (dérivée, équation de la tangente, suite arithmétique ou géométrique, suites adjacentes), l’une des fonctions de référence avec domaine, dérivée, limites, représentation graphique, un développement limité de référence, l’une des séries ou intégrales de référence, ou encore l’un des nombreux résultats d’analyse (critère de convergence de suite, fonction, série ou intégrale, théorème d’analyse globale).
Exercices sur les fonctions réelles de deux variables : calcul de dérivées partielles d'ordre 1 ou 2, recherche des points critiques, détermination d'un extremum local à l'aide du discriminant de la fonction quadratique associée.
Exercices sur les inégalités en probabilités : il s’agit essentiellement d’appliquer l’inégalité de Markov pour majorer la probabilité d’un intervalle, ou d’utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir un intervalle de fluctuation sur une variable aléatoire, et en déduire un intervalle de confiance sur un paramètre.
Exercices sur les fonctions réelles de deux variables : calcul de dérivées partielles d'ordre 1 ou 2, recherche des points critiques, détermination d'un extremum local à l'aide du discriminant de la fonction quadratique associée.
Exercices sur le produit scalaire dans Rn : calcul de norme et de produit scalaire, recherche de vecteur orthogonal, détermination de l’espace vectoriel orthogonal, calcul du projeté orthogonal d’un vecteur sur un sous-espace. L’orthonormalisation de Gram-Schmidt a été présentée en cours mais n’est pas exigible. La recherche d’une base orthonormée doit donc être guidée.
Exercices sur le produit scalaire dans Rn : calcul de norme et de produit scalaire, recherche de vecteur orthogonal, détermination de l’espace vectoriel orthogonal, calcul du projeté orthogonal d’un vecteur sur un sous-espace. L’orthonormalisation de Gram-Schmidt a été présentée en cours mais n’est pas exigible. La recherche d’une base orthonormée doit donc être guidée.
Exercices sur les variables aléatoires à densité : détermination de la loi d’une variable associée à une variable à densité, loi du maximum ou du minimum d’une famille de variables aléatoires à densité, calcul de covariance entre deux variables qui dérivent d’une même variable à densité (comme X et X2).
Exercices sur les variables aléatoires à densité : détermination de la loi d’une variable associée à une variable à densité, loi du maximum ou du minimum d’une famille de variables aléatoires à densité, calcul de covariance entre deux variables qui dérivent d’une même variable à densité (comme X et X2).
Exercices de diagonalisation ou détermination de la diagonalisabilité pour des matrices et des endomorphismes en dimension finie. Le critère des matrices symétriques est hors programme.
Exercices sur les variables aléatoires à densité : détermination de paramètre pour obtenir une fonction de densité, calcul de probabilité et de fonction de répartition, espérance et variance. La loi d’un couple de variables aléatoires à densité est hors programme, mais on peut calculer la loi d’un maximum d’une famille de variables aléatoires indépendantes.
Exercices de diagonalisation ou détermination de la diagonalisabilité pour des matrices et des endomorphismes en dimension finie. Le critère des matrices symétriques est hors programme. La caractérisation des matrices semblables en cas de diagonalisabilité n’a pas encore été vue en classe.
Exercices sur les variables aléatoires à densité : détermination de paramètre pour obtenir une fonction de densité, calcul de probabilité et de fonction de répartition, espérance et variance. La loi d’un couple de variables aléatoires à densité est hors programme, mais on peut calculer la loi d’un maximum d’une famille de variables aléatoires indépendantes.
Exercices de calcul d’intégrale généralisée pour des fonctions positives et détermination de la convergence. Attention, la notion d’équivalent n’est plus au programme. À la place, les élèves peuvent se ramener au produit d’une fonction dont on connait l’intégrabilité et d’une fonction convergeant vers un réel non nul. Ils peuvent aussi utiliser le théorème de comparaison avec le critère de Riemann en étudiant la limite de xαf(x) en 0
et en +∞.
Les colles sont suspendues pendant deux semaines pour la période du premier concours blanc. La reprise des colles se fera lundi 19 novembre.
Travail personnel
Devoir non surveillé no 4 : ENS 2008 exercice II sur les matrices 2 × 2 aléatoires
et HEC 2014 exercice 3
sur des tirages successifs dans différentes urnes contenant un nombre de boules en décroissant.
Exercices de calcul d’intégrale généralisée pour des fonctions positives et détermination de la convergence. Attention, la notion d’équivalent n’est plus au programme. À la place, les élèves peuvent se ramener au produit d’une fonction dont on connait l’intégrabilité et d’une fonction convergeant vers un réel non nul. Ils peuvent aussi utiliser le théorème de comparaison avec le critère de Riemann en étudiant la limite de xαf(x) en 0
et en +∞.
Détermination de la somme ou de l’intersection de sous-espaces vectoriels, justification de la somme directe, recherche d’un supplémentaire, étude de projections et symétries.
Analyse locale d’une fonction à l’aide de son développement limité à partir des
formules au programme (le développement des fonctions trigonométriques doit être redémontré à partir de Taylor-Young par exemple). Un développement limité peut être utilisé pour mener à un développement asymptotique, même si la notion n’est pas explicitement au programme.
Analyse locale d’une fonction à l’aide de son développement limité à partir des
formules au programme (le développement des fonctions trigonométriques doit être redémontré à partir de Taylor-Young par exemple). Un développement limité peut être utilisé pour mener à un développement asymptotique, même si la notion n’est pas explicitement au programme.
Exercices d’algèbre linéaire : résolution de systèmes linéaires,
calcul sur les matrices (sans notion de déterminant sauf sur les matrices de taille 2), recherche de bases de sous-espaces vectoriels de dimension finie, notamment le noyau et l’image d’applications linéaires, calcul de dimension avec le théorème du rang. La somme de sous-espaces vectoriels n’est pas encore au programme.
Exercices d’algèbre linéaire : résolution de systèmes linéaires,
calcul sur les matrices (sans notion de déterminant sauf sur les matrices de taille 2), recherche de bases de sous-espaces vectoriels de dimension finie, notamment le noyau et l’image d’applications linéaires, calcul de dimension avec le théorème du rang. La somme de sous-espaces vectoriels n’est pas encore au programme.
Exercices d’étude d’une fonction polynôme, factorisation à l’aide de racines réelles, étude locale.