Exercices sur les fonctions

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Méthodologie

Étude directe

Exercice
Déterminer le domaine de validité des expressions suivantes et étudier la parité, les points fixes et les variations des fonctions qu’elles définissent.
Exercice
Déterminer le domaine de validité des expressions suivantes et montrer que chacune définit une fonction injective dont on déterminera l'image et une expression de la réciproque.
Déterminer aussi dans chaque cas les éventuels points fixes.

Étude avec dérivation

Exercice
Dériver lorsque c’est possible les fonctions des exercices ci-dessus.
Exercice
Dériver les fonctions suivantes lorsque c’est possible.
Exercice
HEC 2012 exercice 1
Dresser le tableau de variations de la fonction f : x ↦ x − x2 définie sur [0 ; 1] à valeurs dans R.
Exercice
Étudier les variations de la fonction f : x ↦ (x2 + x− 6)/(2x − 1) en précisant ses points d’annulation.
Exercice
Ecricome 2006 problème 2 question 3
Étudier les variations de la fonction f : x ↦ x2 + 1 / 2x − 1 définie sur l'intervalle ]1/2 ; +∞[ et montrer qu'elle admet un minimum en un réel φ.
Montrer que l’intervalle de définition est stable par f.
Exercice
ENS 2016 exercice 1 question 1
On pose pour tout s ∈ [0, 1[, f(s) = (1)/((1 − s)2).
  1. Dresser le tableau de variations de f.
  2. Calculer l’équation de la droite Δ tangente à la courbe 𝒞 représentative de f au point d’abscisse s = 1/2.
  3. Représenter sur une même figure Δ et 𝒞.
Exercice
Soit p ∈ ]0 ; 1[. Calculer l’image de la fonction g : x ↦ px / px + (1 − p)(1 − x) sur [0 ; 1].
Exercice
Ecricome 2008 problème 2.1.2
Justifier que pour tout u ∈ R∗+, u ln(u) ≥ u − 1.
Exercice
Montrer que −x − 2x2 ≤ ln(1 − x) ≤ x pour tout 0 < x ≤ 1/2.
ENS 2017 planche 15 exercice 2 question 3
Exercice
Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1], ln(1 + x) ≤ x − (x2)/(4).
BCE ESSEC 2007
Exercice
ENS 2006 exercice
Étudier les variations de la fonction φ : y ↦ ey − y sur R. En déduire que cette fonction est minorée par 1.
Montrer que pour tout y ∈ R on a φ(y) ≤ φ(|y|).
Exercice
Montrer que pour tout entier k strictement positif, la fonction f : x ↦ xk ln(x) admet un minimum et calculer la valeur de ce minimum.
Exercice
ENS 2019 problème A question 5
Soit (u, v) ∈ (R+∗)2.
  1. Déterminer les variations de x ↦ xu − v(ex − 1).
  2. À quelles conditions cette fonction atteint-elle un maximum en un réel strictement positif ?
Exercice
ENS 2017 planche 1 exercice 1 question 3
On définit une fonction f : R → R en posant f(t) = (t2 + 1)/(4) pour tout t ∈ [0 ; 1], et en supposant que f soit constante sur ]−∞ ; 0] et sur [1 ; +∞[.
La fonction est-elle de classe 𝒞∞ sur R ?

Étude avec limites

Exercice
Étudier les limites des fonctions définies dans les exercices précédents, aux bornes de leur domaine de définition.
Exercice
Calculer la limite de x(2 / 1 − x2 + 4π2) lorsque x tend vers 0.
ENS 2010 ex 1C
Exercice
Étudier les fonctions suivantes avec leurs éventuelles limites.
Exercice
Déterminer le domaine de validité des expressions suivantes et montrer que chacune définit une fonction injective dont on déterminera l'image et une expression de la réciproque. On pourra aussi déterminer la dérivée de ces fonctions, calculer les éventuelles limites aux bornes de leur domaine et représenter l'allure de leur courbe.
Exercice
ENS 2020 problème A question 2
Déterminer le domaine de définition de la fonction définie par φ : x ↦ √(1 − x2) et justifier que sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Justifier aussi que φ est dérivable sur ]−1, 1[ et calculer limx→−1 φ′(x), puis tracer la courbe en faisant apparaitre toutes les informations précédentes.
Exercice
Ecricome 2011
Soit λ ∈ R+∗. Montrer que la fonction F : x ↦ 1 − e−λx définit une bijection de R+ sur [0 ; 1[ et déterminer une expression de sa réciproque.
Exercice : Fonctions hyperboliques

On définit les fonctions ch et sh pour tout x ∈ R par ch(x) = (ex + e−x)/(2) et sh(x) = (ex − e−x)/(2).

  1. Justifier que ces deux fonctions sont dérivables et que pour tout x ∈ R :
    • exp(x) = ch(x) + sh(x)
    • ch2(x) − sh2(x) = 1
    • ch′(x) = sh(x)
    • sh′(x) = ch(x).
  2. Représenter les courbes de ces deux fonctions sur un même graphique.
Exercice
ENS 2002
Étudier la fonction ch : x ↦ ex + e−x/2 et montrer que sa restriction à R+ admet une réciproque dont on déterminera une expression.
Exercice
ENS 2019 problème A question 2
Dresser le tableau de variations de la fonction f : x ↦x ln(x) − x + 1 et tracer l’allure de sa courbe représentative.
Exercice
Dresser le tableau de variations de la fonction φ : t ↦ (1 + t ln(t))/(2) et expliciter son intervalle image, puis vérifier qu’il est stable par φ.
Exercice
ENS 2018 problème A question 1
Dresser le tableau de variations et représenter graphiquement la fonction f : x ↦ (1)/(x+1) − ln(1+(1)/(x)).
Exercice
ENS 2003
Étudier la fonction φ : x ↦ (−x − ln(1 −x))/(x2).
Exercice
ENS 2013 exercice 2 question 1
Soit r ≥ 1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : x ↦ exp(−rx)/√1 − x sur [0 ; 1[ en précisant ses éventuelles limites et représenter l'allure de sa courbe.
Exercice
Étudier la parité, les variations et les limites de g : x ↦ x2 e−x2, puis justifier que pour tout x ∈ R+ on a g(x) ≤ x.
Exercice
On pose pour tout réel t ≠ 0, f(t) = et − 1/t.
  1. Justifier que la fonction est dérivable et calculer sa dérivée.
  2. Montrer que pour tout réel t on a t et > et − 1.
  3. En déduire les variations de la fonction f
Exercice
ENS 2019 problème C question 8
Soit N ≥ 1. On pose f(t) = (1 − t/N)N e−t pour tout t ∈ [0 ; N].
  1. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; N] on a 0 ≤ f(t) ≤ 1.
  2. Soit α ∈ ]0 ; 1[. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; Nα] on a 0 ≤ f(t) ≤ exp(N(ln(1 − α) + α)).
Exercice
Déterminer le domaine de définition, les variations et les limites de la fonction g : x ↦ x1/√x.
Exercice
  1. Étudier les variations de la fonction f : x ↦ (x2 + 1)/(2x − 3) sur [(3)/(2), +∞[.
  2. Montrer que la fonction f admet un unique point fixe sur cet intervalle. On le notera α.
  3. Montrer que la restriction de la fonction f à [α, +∞[ est injective et qu’elle admet une réciproque sur ce même intervalle, dont on précisera une expression.
Exercice
Étudier le domaine, le signe, la dérivée, les variations, les limites, l’image et les asymptotes éventuelles de la fonction f : x ↦ (√(x2 − x + 3) + x + 1)/(3x − 2).
Exercice
Étudier la fonction g : x ↦ (3√(2x − x2) + 2 − x)/(6) sur son domaine de validité.
Montrer qu’elle admet un unique point fixe α. L’intervalle [0 ; α] est-il stable par g ?

Exercice
On pose pour tout x ∈ R+∗, f(x) = x1/x.
  1. Déterminer les variations et les éventuelles limites de la fonctions aux bornes de son domaine.
  2. Justifier que la fonction est prolongeable par continuité en 0. La dérivée de f admet-elle une limite en 0 ?
  3. Représenter la courbe de la fonction f.
Exercice
Soit u0 un réel positif quelconque. Montrer que pour tout u ≤ u0 on a |eu − 1 − u| ≤ eu0 u2/2.
Ecricome 2000 problème III
Exercice
Déterminer les éventuelles asymptotes des fonctions définies par les expressions suivantes et préciser la position relative de la courbe dans chaque cas :

Avec fonctions trigonométriques

Exercice
ENS 2010 exercice 1A
Montrer que la fonction définie par f : x ↦ π cos(πx) / sin(πx) est définie et continue sur R \ Z, impaire et périodique de période 1.
Exercice
Montrer que pour tout x ∈ [0 ; π/2] on a 2x/π ≤ sin(x) ≤ x. On pourra étudier les différences des expressions associées à chaque inégalité.
Exercice
Montrer que pour tout x ∈ [0 ; π/2[ on a tan(x) ≥ x.
Exercice
BCE ESSEC 2019 exercice question 2
Montrer que la fonction φ : t ↦ t − cos(t/2) s’annule une seule fois dans R.
Exercice
BCE ESSEC 2019 exercice question 3
Montrer que pour tout (u, v) ∈ R2 on a |cos(u) − cos(v)| ≤ |u − v|.
Exercice
Montrer que pour tout x ∈ R on a cos(x) ≥ 1 − x2/2.
En déduire la limite de cos(x) − 1/x√x lorsque x tend vers 0.
Exercice
Montrer que pour tout x ∈ R∗+ on a Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2.
Cette égalité est-elle vraie sur R∗− ?
Exercice
Montrer que pour tout x ∈ R on a cos(Arctan(x)) = 1/√1 + x2 et sin(Arctan(x)) = x/√1 + x2.
On pourra utiliser la relation 1 + tan2 = 1/cos2.
Exercice
Montrer que la fonction f : t ↦ (sin(t))/(t) est prolongeable par continuité en 0 et préciser sa limite.

Analyse sur une fonction inconnue

Exercice
Démontrer que toute fonction affine non constante admet une réciproque affine sur R.
À quelle condition sur les coefficients une fonction affine est-elle égale à sa réciproque ?
Exercice
Montrer qu’une fonction affine est impaire si et seulement si elle est linéaire.
Exercice
ENS 2006 exercice
Soit f une fonction continue et strictement positive sur [0 ; 1]. Montrer qu'il existe M ≥ 1 tel que pour tout réel x ∈ [0 ; 1], on ait 1/M ≤ f(x) ≤ M.

Problèmes

Problème
On pose q : x ↦ x − (1)/(x) définie sur R+∗.
  1. Étudier les variations de q.
  2. Montrer que pour tout y ∈ R il existe une unique solution strictement positive à l’équation x − (1)/(x) = y et donner son expression en fonction de y.
  3. En déduire l’image de la fonction q. Est-elle injective ?
Problème
On définit f : t ↦ (2t)/(t + 3) et g : t ↦ (−t − 5)/(t + 3) avec t réel.
  1. Étudier le domaine des fonctions f et g.
  2. Montrer que la fonction f est injective puis déterminer son image et une expression de sa réciproque f−1.
  3. Calculer une expression de la composée g ∘ f−1.
  4. Résoudre pour tout t ∈ R ∖ {−3} l’inéquation f(t) ≤ g(t).
    En déduire la position relative des courbes de f et de g.
  5. Déterminer les éventuels points fixes des fonctions f et g.
Problème
D'après ENS 2015 exercice 1 question 3 et 4
On définit pour tout x ∈ R, f(x) = 1 / 1 + x2
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f en indiquant les valeurs prises en −1, 0 et 1.
  2. Déterminer la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 en justifiant la position relative de la courbe et de cette tangente.
  3. Déterminer les éventuelles asymptotes à la courbe de f.
  4. Représenter graphiquement l'allure de la courbe de f en s'appuyant sur les diverses droites déterminées dans les questions précédentes.
Problème : Estimateur du maximum
On considère la fonction f : x ↦ x4 − (x − 1)4/x3 − (x − 1)3, permettant de définir un estimateur sans biais de la valeur maximale d'une loi uniforme discrète à partir du maximum d'un échantillon.
  1. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R.
  2. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x4 − 24x3 + 18x2 − 6x + 1.
  3. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s'annule en 1/2.
Problème : Indice de concentration
Ecricome 2011
Soit λ ∈ R∗+.
  1. Montrer que la fonction définie sur R+ par x ↦ 1 − e−λx est bijective et préciser sa fonction réciproque, que l'on notera g.
  2. En posant Q : x ↦ 1 − (1 + λx) e−λx, calculer la composée h = Q ∘ g.
  3. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  4. Montrer que la dérivée seconde de h est positive, c’est-à-dire que h est convexe.
Problème : Fonction définie par morceaux
Soit (a, b) ∈ R2. On considère une fonction f définie sur R par f(x) = (−1)/(x) pour tout x < −2, f(x) = √(x) pour tout x > 4, f(x) = ax + b pour tout x ∈ [−2, 4].
  1. Déterminer les limites à droite et à gauche de la fonction en −2 et en 4.
  2. À quelles conditions sur (a, b) la fonction f est-elle continue ?
  3. Dans ces conditions, la fonction f est-elle dérivable sur R ?
Problème
ENS 2017 exercice question 1
On pose f : x ↦ x ln(x) − x définie sur R+∗.
  1. Calculer f(1) et f(e).
  2. Calculer limx→0 f(x) et limx→+∞ f(x).
  3. Dresser le tableau de variations de f.
  4. Calculer l’équation de Δ, tangente à la courbe 𝒞 de f au point d’abscisse e.
  5. Représenter sur une même figure Δ et 𝒞.
Problème
On considère la fonction f : x ↦ ln(1 + x)/x définie sur ]−1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.
  1. Montrer que la fonction f est dérivable et que sa dérivée est du signe de la fonction g : x ↦ x/1 + x − ln(1 + x).
  2. Étudier les variations et le signe de g et en déduire les variations de f
Problème
Ecricome 2011
On pose pour tout x ∈ [0 ; 1[, h(x) = x + (1 − x) × ln(1 − x).
  1. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  2. Montrer que la dérivée de h est croissante.
  3. Montrer que la fonction h est prolongeable par continuité en 1.
    Le prolongement par continuité est-il dérivable en 1 ?
  4. Tracer l'allure de la courbe représentative de h.
  5. Justifier qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection entre la courbe et la droite d’équation y = 1 − x.
  6. Montrer que l'ordonnée de ce point d'intersection satisfait l'équation 1 + y ln(y) = 2y.
Problème
Ecricome 2012 problème 2.1
On considère la fonction définie pour tout x ∈ R∗+ par f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1.
  1. Déterminer une fonction h définie sur R∗+ telle que pour tout réel x non nul sur cet intervalle, f′(x) = h(x)/x2.
  2. Étudier les variations de h puis en déduire celles de f.
  3. Montrer que la fonction f s'annule en un unique réel α. (On admettra α ≈ 1,26.)
  4. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Problème
Ecricome 2008 problème 2.2.1
On pose pour tout p ∈ ]0 ; 1[, φ(p) = −p ln(p) + (p − 1) (p + ln(1 − p)).
  1. Calculer la dérivée et la dérivée seconde de φ.
  2. Étudier les variations de φ′ et calculer φ′(1/2)
  3. En déduire les variations de φ.
Problème
ENS 2011 exercice I
Soit (p, q) ∈ ]0 ; 1[2. On définit h : t ↦ tp − ln((1 − q) + q exp(t)) sur R.
  1. Justifier que la fonction h est bien définie et deux fois dérivable sur R, puis calculer sa dérivée et sa dérivée seconde.
  2. Montrer que h admet un unique maximum sur R et déterminer la valeur t∗ en lequel ce minimum est atteint.
  3. Montrer que ce minimum vaut h(t∗) = p ln(p/q) + (1 − p) ln(1 − p/1 − q).
Problème
ENS 2004
Soit p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p et pour tout x réel, φ(x) = ln(peqx + qe−px).
  1. Justifier que φ est dérivable sur R et calculer φ(0) ainsi que φ′(0).
  2. Montrer que la dérivée seconde de φ peut s’écrire pour tout x réel φ″(x) = A(x) B(x) / (A(x) + B(x))2.
  3. Montrer que la dérivée seconde de φ(x) est majorée par 1/4 sur R.
  4. En déduire que φ(x) ≤ x2/8 pour tout x réel.
Problème
ENS 2008
  1. Montrer que pour tout réel x > −1, on a ln(1 + x) ≤ x.
  2. En déduire que pour tout n ∈ N∗ et pour tout t ≤ n on a (1 − (t)/(n))n ≤ e−t.
  3. Soit n ∈ N∗. Étudier les variations de la fonction g : t ↦ t + n ln(1 − (t)/(n)) − ln(1 − (t2)/(n)) sur l’intervalle [0, √(n)[.
  4. En déduire 0 ≤ e−t − (1 − (t)/(n))n ≤ (t2)/(n) e−t pour tout t ∈ [0, √(n)[.
  5. Montrer que cette double inégalité reste valable sur [√(n), n].
Problème
ENS 2014 exercice 2 : théorème de Weierstrass (préliminaires)
On considère la fonction f : x ↦ cos(πt) e−πt de [0 ; 1] dans R.
  1. Donner le tableau de variation de la fonction f et représenter son graphe.
  2. Déterminer une constante numérique M ∈ R telle que pour tout (t, u) ∈ [0 ; 1]2 on ait l'inégalité |f(t) − f(u)| ≤ M |t − u|.
Problème
On considère la fonction f : t ↦ (1)/(et + e−t).
  1. Justifier que la fonction f est définie et deux fois dérivable sur R puis déterminer ses variations.
    Préciser ses éventuelles limites et sa valeur en 0.
  2. Montrer que le signe de la dérivée seconde de f est déterminé par celui de e2t + e−2t − 6 pour tout t ∈ R.
  3. Déterminer le signe de u + 1/u − 6 pour tout u ∈ R+∗.
    En déduire que la dérivée seconde f″ ne s’annule qu’en α = (1)/(2) ln(3 + 2√(2)) sur R+.
Problème
ENS 2017 planche 10 exercice 1
Soit m ≥ 2 un entier et p > 0 un nombre réel.
  1. Donner le tableau de variation de la fonction f : R+ → R définie par f(x) = mpxm−1 − (m − 1)xm pour tout x ≥ 0.
  2. Montrer que pm = supx≥0(f(x)).
  3. Soit (p1, … , pN) ∈ [0 ; 1]N tel que p1 + ⋯ + pN = 1. Montrer que ∑i=1N pim ≥ N1−m.
Problème
ENS 2018 problème C première partie
On dit qu’une fonction f : R+∗ → R est à variation lente si pour tout c > 0, limx→+∞ (f(cx))/(f(x)) = 1.
  1. Montrer que la fonction ln est à variation lente.
  2. Montrer que toute fonction admettant une limite finie non nulle en +∞ est à variation lente.
  3. Est-ce que toute fonction admettant une limite nulle en +∞ est à variation lente ?

Ajouts

Problème
  1. Déterminer le domaine de validité D de l’expression f(x) = √(6x + 1) − x.
  2. Calculer les points fixes et les points d’annulation de la fonction f sur D.
  3. Montrer que pour tout x ∈ D on a f(x) = 1/6(10 − (√(6x + 1) − 3)2).
  4. En déduire les variations de f en précisant la valeur de son maximum.
  5. Déterminer les antécédents de 1 par f. La fonction f est-elle injective ?
  6. Calculer l’image de l’intervalle [0, 2] par la fonction f.
Problème
  1. Déterminer le signe des expressions 3x2 − x − 10 et x2 − 5x + 6 pour tout x ∈ R.
  2. En déduire l’expression de f(x) = 2x2 + |x2 − 5x + 6| − |3x2 − x − 10| sans valeur absolue selon l’intervalle auquel appartient x.
  3. Étudier les variations de f sur chacun de ces intervalles.
  4. La fonction f est-elle minorée ? majorée ? Admet-t-elle un maximum ou un minimum ?
  5. Résoudre l’équation f(x) = 0.

Annales

ENS 2007 exercice I
majoration et minoration à l'aide de la dérivée, montrer que lim f = limf'' = 0 en +∞ implique lim f' = 0
Ecricome 1999 problème 1
application du théorème de Rolle à la majoration d'une fonction nulle aux bornes
ENS 2009 exercice II A
fonction nulle en 0 et inférieure à sa dérivée
Ecricome 2001 problème I