Analyse asymptotique

Notions
Voisinage, limite, forme indéterminée, branche parabolique
Définition
Asymptote verticale, horizontale ou oblique
Résultats
Limite de la fonction racine, limites de la fonction inverse
Limite de la somme et du produit, limites des fonctions puissances, limite d’une composée
Théorème de comparaison, théorème d’encadrement, limites d’une fonction monotone
Compétences
Calculer des limites de fonction
Montrer qu'une droite est asymptote à une courbe de fonction

Vocabulaire général

On note R = R ∪ {−∞ ; +∞} la droite réelle continuée.

Définition
Soit a ∈ R. Soit V ⊂ R.

On dit que V est un voisinage à droite (resp. à gauche) de a s’il existe b ∈ R tel que ]a, b] ⊂ V (resp. ]b, a] ⊂ V).

On dit que V est un voisinage de −∞ s'il existe b ∈ R tel que ]−∞, b[ ⊂ V.

On dit que V est un voisinage de +∞ s'il existe b ∈ R tel que ]b, +∞[ ⊂ V.

Ces définitions permettent de généraliser la formulation locale de la limite.

Définition
Soit f une fonction définie sur un domaine D ⊂ R. Soit (a, L) ∈ R2 tel que D soit un voisinage (éventuellement à gauche ou à droite) de a.

On dit que f admet une limite (à gauche ou à droite) L en a si pour tout voisinage V de L il existe un voisinage U (à gauche ou à droite) de a tel que pour tout x ∈ U ∩ D on a f(x) ∈ V.

On note alors limx→a f(x) = L (respectivement, limx→a, x < a f(x) = L ou limx→a, x > a f(x) = L).

Exemples

Calcul direct

Propriété
Soit f et g deux fonctions définies sur un même voisinage de a ∈ R. Soit (L, L′) ∈ R2

Si limx→a f(x) = L et limx→a g(x) = L′ alors limx→a f(x) + g(x) = L + L′ et limx→a f(x) × g(x) = L × L′.

Si limx→a f(x) = L et si limx→a g(x) est infinie alors limx→a f(x) + g(x) = limx→a g(x).

Si limx→a f(x) = L ≠ 0 et si limx→a g(x) est infinie alors limx→a f(x) × g(x) est infinie en suivant la règle des signes.

Si limx→a f(x) et limx→a g(x) sont infinies de même signe, alors limx→a f(x) + g(x) aussi.

Si limx→a f(x) et limx→a g(x) sont toutes deux infinies, alors limx→a f(x) × g(x) aussi en suivant la règle des signes.

Finalement, ces règles permettent de déterminer la limite de la somme et du produit de deux fonctions qui admettent elles-mêmes des limites, sauf dans deux cas qu’on appelle formes indéterminées et qu’on note : « +∞ − ∞ » et « 0 × ∞ ».

Limites des fonctions puissances
Pour tout n ∈ N∗, si n est pair alors limx→+∞ xn = limx→−∞ xn = +∞ ; si n est impair alors limx→+∞ xn = +∞  et limx→−∞ xn = −∞.
Limite d’une composée
Soit f et g deux fonctions réelles d'une variable réelle telles que g ∘ f soit définie au voisinage de a ∈ R. Soit (b, L) ∈ R2 tels que limx→a f(x) = b et limx→b g(x) = L. Alors limx→a g(f(x)) = L.

En composant la multiplication avec la fonction inverse, on peut déterminer la limite du quotient, sauf dans deux nouvelles formes indéterminées qui s’écrivent « 0/0 » et « ∞/∞ ».

Théorèmes

Théorème de comparaison
Soient f et g deux fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R telles que f ≤ g au voisinage de a.
  • Si limx→a f(x) = +∞ alors limx→a g(x) = +∞.
  • Si limx→a g(x) = −∞ alors limx→a f(x) = −∞.
Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes
Soient f, g, h trois fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R telles que limx→a f(x) = limx→a h(x) et telles que f ≤ g ≤ h au voisinage de a. Alors la fonction g tend vers la même limite que f et h en a.
Théorème des limites d’une fonction monotone
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. Soit f une fonction définie sur ]a, b[.

Supposons f croissante.

  • Si f est minorée alors limx→a f(x) = inf]a, b[ f, sinon limx→a f(x) = −∞.
  • Si f est majorée alors limx→b f(x) = sup]a, b[ f, sinon limx→b f(x) = +∞.

Supposons f décroissante.

  • Si f est minorée alors limx→b f(x) = inf]a, b[ f, sinon limx→b f(x) = −∞.
  • Si f est majorée alors limx→a f(x) = sup]a, b[ f, sinon limx→a f(x) = +∞.
On calcule la limite en a dans le cas où la fonction est croissante. Les autres cas se démontrent de manière analogue.

Supposons d’abord que f est minorée. On note L = inf]a, b[ f. Soit ε ∈ R∗+. Il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que f(x0) ≤ L + ε et pour tout x ∈ ]a, x0[ on a L ≤ f(x) ≤ f(x0) ≤ L + ε. Finalement, la fonction f tend bien vers L en a.

Supposons maintenant que f n’est pas minorée. Soit m ∈ R. Il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que f(x0) ≤ m et pour tout x ∈ ]a, x0[ on a f(x) ≤ f(x0) ≤ m. Finalement, la fonction f tend bien vers −∞ en a.

Asymptotes

Démonstration
Soit a ∈ R et f une fonction définie au voisinage à droite ou à gauche de a.
On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote verticale d’équation x = a si f admet une limite infinie à gauche ou à droite en a.

Les valeurs interdites pour une expression donnent souvent lieu à une asymptote verticale, mais pas systématiquement, et notamment pas dans le cas d'un accroissement fini de fonction dérivable.

Définitions
Soit f une fonction définie au voisinage de +∞ (resp. −∞). Soit (a, b, c) ∈ R3.

On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale d’équation y = c en +∞ (resp. −∞) si on a limx→+∞ f(x) = c (resp. limx→−∞ f(x) = c).

On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique d’équation y = ax + b en +∞ (resp. −∞) si on a limx→+∞ f(x) − (ax + b) = 0 (resp. limx→−∞ f(x) − (ax + b) = 0).