Représentation graphique de fonction

Repère

Si l'échelle graphique n'est pas imposée par l'énoncé, on essaie de choisir un intervalle borné en abscisse qui contienne tous les points d'annulation et toutes les autres valeurs particulières, notamment celles en lesquelles on a déterminé un maximum ou un minimum local, une asymptote verticale…

On choisit alors une échelle en abscisse qui permette d'étaler le plus possible cet intervalle sur la largeur de la feuille. Si possible on prend la même échelle en abscisse et en ordonnée, à moins que cela mette des parties essentielles de la courbe hors de la feuille ou si au contraire cela écrase la courbe sur quelques carreaux de hauteur.

On trace les axes à angle droit, si possible se croisant à l'origine du repère. On oriente chacun des axes avec une flèche en son extrémité dans le sens croissant, à côté de laquelle on note la variable notant la coordonnée associée (souvent x pour l'axe des abscisses et y pour l'axe des ordonnées).

On note l'échelle avec une graduation annotée ou avec deux vecteurs de base (souvent i et j ou u et v).

Tangentes

L’équation d’une tangente en un point de la courbe d’abscisse a s’écrit y = f′(a) × (x − a) + f(a).

En particulier, les tangentes horizontales se trouvent aux points en lesquels la fonction admet un point critique, c’est-à-dire là où sa dérivée s’annule.

Asymptotes et branches paraboliques

On trouve une asymptote verticale d’équation x = c dès que la fonction admet une limite infinie en une valeur finie (à droite ou à gauche) : lim_x→c f(x) = ±∞. Cela se produit souvent en une valeur interdite de l’expression de la fonction, mais pas nécessairement. Par exemple, la fonction x ↦ (ln(1 + x))/(x) a une valeur interdite en 0 mais admet une limite finie en ce point et il n’y a donc pas de tangente verticale en 0.

On trouve une asymptote horizontale d’équation y = b dès que la fonction admet une limite finie à l’infini : lim_x→±∞ f(x) = b. Cette droite peut peut être asymptote en +∞ ou en −∞, voire aux deux extrémités à la fois.

On trouve une asymptote oblique d’équation y = ax + b dès que la différence entre les deux expressions tend vers 0 : lim_x→±∞ f(x) − (ax + b) = 0. Cela ne se produit que si lim_x→±∞ f(x) = ±∞. Pour déterminer les coefficients a et b, on peut étudier la limite de (f(x))/(x).

• Si la différence tend vers 0, on a une branche parabolique d’axe y = 0.
• Si la différence tend vers l’infini, on a une branche parabolique d’axe x = 0.
• Si lim_x→±∞ (f(x))/(x) = a ∈ R^∗, alors on étudie la limite de la différence lim_x→±∞ f(x) − ax.
  • Si cette différence converge : lim_x→±∞ f(x) − ax = b, alors on a une asymptote oblique.
  • Si la différence tend vers l’infini, on a une branche parabolique de direction y = ax.