Variations d’une fonction

Fonctions de référence

Les variations des fonctions de référence sont rappelées ci-dessous.

si `a` > 0
`x`	−∞		+∞
`ax` + `b`	−∞	↗	+∞

si `a` < 0
`x`	−∞		+∞
`ax` + `b`	+∞	↘	−∞

si `n` est pair
`x`	−∞		0		+∞
`x`ⁿ	+∞	↘	0	↗	+∞

si `n` est impair
`x`	−∞		+∞
`x`ⁿ	−∞	↗	+∞

fonction inverse
`x`	−∞		0				+∞
1/`x`	0	↘	−∞		+∞	↘	0

racine carrée
`x`	0		+∞
√`x`	0	↗	+∞>

valeur absolue
`x`	−∞		0		+∞
\|`x`\|	+∞	↘	0	↗	+∞

exponentielle
`x`	−∞		+∞
e^x	0	↗	+∞

logarithme
`x`	0			+∞
ln(`x`)		−∞	↗	+∞

si `α` > 0
`x`	0			+∞
`x`^α		0	↗	+∞

si `α` < 0
`x`	0			+∞
`x`^α		+∞	↘	0

sinus
`x`	−π		−π/2		π/2		π
sin(`x`)	0	↘	−1	↗	1	↘	0

cosinus
`x`	−π		0		π
cos(`x`)	−1	↗	1	↘	−1

tangente
`x`	−π/2			π/2
tan(`x`)		−∞	↗	+∞

arc sinus
`x`	−1		1
arcsin(`x`)	−π/2	↗	π/2

arc cosinus
`x`	−1		1
arccos(`x`)	π	↘	0

arc tangente
`x`	−∞		+∞
arctan(`x`)	−π/2	↗	π/2

Composition

Pour déterminer les variations d'une fonction dont l'expression ne comporte qu'une seule fois la variable, on peut dresser un tableau de variations en reconstruisant la fonction par compositions successives de fonctions de référence.

La première ligne est alors celle de la variable et la dernière est celle de l'expression complète. Pour passer d'une ligne à l'autre, on conserve le sens de variation si on compose par une fonction croissante et on renverse le sens de variation si on compose par une fonction décroissante. On peut avoir besoin de décomposer le domaine d'étude pour tenir compte du signe de l'expression sur la ligne en cours.

Signe de la dérivée

Pour une fonction dérivable, on peut obtenir ses variations en étudiant le signe de sa dérivée.

Si la dérivée est positive (stricte) sur un intervalle alors la fonction est croissante (stricte) sur cet intervalle.

Si la dérivée est négative (stricte) sur un intervalle alors la fonction est décroissante (stricte) sur cet intervalle.

Si la dérivée n'est pas de signe constant, on dresse si possible son tableau de signe et on complète avec une ligne donnant les variations de la fonction.

Application à la recherche des extrema locaux

Pour une fonction monotone par morceaux, c’est-à-dire dont on peut partager le domaine de définition en intervalles successifs sur lesquels elle est alternativement croissante puis décroissante, on obtient un minimum local au début de chaque intervalle où elle est croissante et un maximum local à la fin (et inversément sur chaque intervalle où elle est décroissante).