Calcul d’intégrale

Avec une primitive

Si on connait une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [a, b], on peut appliquer le théorème fondamental de l'analyse.

Exemple
∫12 x3 dx = [x4/4]12 = 24/4 − 1/4 = 15/4

On peut utiliser directement toutes les primitives de la fiche mémo ainsi que les formes usuelles.

Exemple
Pour calculer ∫−13 3x/√(1 + x2) dx, on peut poser pour tout x ∈ [−1, 3], u(x) = 1 + x2 avec u′(x) = 2x. On reconnait alors la forme u′uα avec α = −1/2.
Donc ∫−13 3x/√(1 + x2) dx = 3/2 ∫−13 2x/√(1 + x2) dx = 3/2 [1/(α+1) u(x)α+1]−13 = 3/2 [2√u(x)]−13 = 3(√10 − √2).

Intégration par parties

Si la fonction à intégrer se décompose en un produit de deux fonctions (f × g), l’une admettant une primitive connue et l’autre étant dérivable, on peut appliquer la formule de l'intégration par parties en cherchant en priorité la primitive d’une forme exponentielle, sinon d’une fonction trigonométrique, sinon d’une fonction puissance, sinon d’une fonction constante non nulle et on dérive l’autre fonction. On vérifie bien qu’entre les crochets, on a remplacé une fonction par une primitive, et dans la nouvelle intégrale, on a gardé la primitive et dérivé l’autre fonction. On vérifie aussi qu’on a bien fait la soustraction de la variation par la nouvelle intégrale.

Exemple
Pour calculer ∫02 x e−2x dx, on note pour tout x ∈ [0, 2], f(x) = x et g(x) = e−2x avec f′(x) = 1 et G(x) = −1/2 e−2x vérifiant G′ = g.

On obtient donc ∫02x e−2x dx = [x −1/2 e−2x]02 − ∫02 1 × −1/2 e−2x dx = 2 −1/2 e−4 + 1/2 ∫02 e−2x dx par linéarité. On en déduit ∫02x e−2x dx = − e−4 − 1/4 [e−2x]02 = −5 e−4/4 + 1/4.

Parfois, il peut être utile de considérer une fonction comme un produit d'elle-même avec 1. Cela permet notamment d'intégrer le logarithme et les fonctions trigonométriques inverses.

Changement de variable

Parfois, pour simplifier un calcul d’intégrale, il peut être utile d’effectuer un changement de variable, par exemple pour se débarrasser d’un terme en √x ou ln(x), ou suivant une indication de l’énoncé.

On introduit une relation entre l’ancienne variable et la nouvelle, de la forme u = φ(t). Si t est l’ancienne variable, qui variait entre a et b, la nouvelle varie donc entre φ(a) et φ(b) même si ces bornes ne sont plus rangées dans l’ordre croissant.

Pour remplacer l’ancien élément différentiel, il faut au contraire exprimer t en fonction de u : si t = ψ(u) alors dt = ψ′(u) du.

On obtient finalement ∫ab f(φ(t)) dt = ∫φ(a)φ(b) f(u) ψ′(u) du.

Comme dans l’intégration par parties, cette méthode ne permet jamais de calculer directement une intégrale, mais simplement de se ramener éventuellement à une intégrale plus simple.

Exemple
Pour calculer ∫14 dx/(1 + √x), on peut poser u = √x avec x variant entre 1 et 4 donc u variant entre 1 et 2.

En outre on trouve x = u2 donc dx = 2u du donc ∫14 dx/(1 + √x) = ∫12 2u du/(1 + u).

Cette dernière intégrale peut se calculer en remarquant que le numérateur s’écrit 2u = 2(1 + u) − 2 ou bien en procédant à un second changement de variable de la forme t = 1 + u.