Intégration sur un segment

Introduction

Représentation graphique d’une intégrale
comme aire algébrique d’un domaine du plan

Il existe plusieurs procédés pour définir l'intégrale d'une fonction réelle f continue sur un segment [a, b] de R. Si la fonction est positive, cette intégrale, notée ∫_a^b f(t) dt, représente l'aire du domaine délimité au dessus de l’axe des abscisses et en dessous de la courbe, entre les deux axes verticaux d’équation x = a et x = b dans le plan muni d'un repère orthonormé. Dans le cas général, l'intégrale mesure l'aire algébrique du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses, c'est-à-dire que les composantes situées sous l'axe des abscisses sont comptées négativement.

Par convention, on note aussi ∫_b^a f(t) dt = −∫_a^b f(t) dt.

L'intégrale de Riemann traduit analytiquement cette définition géométrique, qui aboutit aux propriétés fondamentales suivantes.

Cohérence avec les aires de rectangles: Pour toute fonction constante de valeur c ∈ R sur un intervalle I de R, pour tout (a, b) ∈ I², on a ∫_a^b c dt = c × (b − a).
Positivité: Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a, b]. Alors on a ∫_a^b f(t) dt ≥ 0.
Additivité (relation de Chasles): Soit f continue sur un intervalle I. Pour tout (a, b, c) ∈ I³ on a ∫_a^b f(t) dt + ∫_b^c f(t) dt = ∫_a^c f(t) dt.
Linéarité: Soit I un intervalle réel. Soit λ ∈ R et soient f et g deux fonctions continues sur I. Pour tout (a, b) ∈ I² on a ∫_a^b(λf(t) + g(t)) dt = λ∫_a^bf(t) dt + ∫_a^bg(t) dt.

Intégrale d’une constante

Relation de Chasles

L'additivité implique qu'une intégrale entre deux bornes identiques est nécessairement nulle : ∫_a^a f(t) dt = 0.

Premières propriétés

Croissance: Soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a, b]. Si on a f ≤ g alors ∫_a^b f(t) dt ≤ ∫_a^b g(t) dt.

Démonstration

La différence de deux fonctions continues étant continue, on a ici g − f ≥ 0 donc ∫_a^b (g(t) − f(t)) dt ≥ 0 donc par linéarité de l'intégrale on obtient ∫_a^b g(t) dt − ∫_a^b f(t) dt ≥ 0.

Stricte positivité: Soit f une fonction continue et de signe constant sur un segment [a, b] avec a < b.
Si la fonction f n’est pas constamment nulle sur [a, b] alors ∫_a^b f(t) dt ≠ 0.
Si ∫_a^b f(t) dt = 0 alors la fonction f est constamment nulle sur [a, b].

Démonstration

On démontre d’abord la première implication dans le cas où la fonction est positive.

Supposons qu'il existe x₀ ∈ ]a, b[ tel que f(x₀) > 0. Alors la fonction f est strictement supérieure à f(x₀)/2 au voisinage de x₀ donc il existe deux réels c et d tels que a < c < x₀ < d < b et pour tout x ∈ ]c, d[ on ait f(x) > f(x₀)/2.

On trouve alors ∫_a^b f(t) dt = ∫_a^c f(t) dt + ∫_c^d f(t) dt + ∫_d^b f(t) dt ≥ ∫_c^d f(x₀)/2 dt = f(x₀)/2(d − c) > 0.

Pour une fonction négative, on applique la propriété à la fonction opposée, qui est positive d'intégrale nulle.

La deuxième implication est simplement la contraposée de la première.

Inégalité triangulaire: Pour toute fonction f continue sur un segment [a, b], on a |∫_a^b f(t) dt| ≤ ∫_a^b |f(t)| dt

Démonstration

On a pour tout t ∈ [a, b], −|f(t)| ≤ f(t) ≤ |f(t)| donc −∫_a^b|f(t)| dt ≤ ∫_a^bf(t) dt ≤ ∫_a^b|f(t)| dt.

Valeur moyenne

Définition

Pour toute fonction f continue sur un segment [a, b] avec a < b, sa valeur moyenne est définie par 1/ b − a∫_a^b f(t) dt.

Remarque

La formule de la valeur moyenne est valable même si les bornes sont données dans l'ordre décroissant : 1/ b − a ∫_a^b f(t) dt = 1/ a − b ∫_b^a f(t) dt.

Inégalités de la moyenne: Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] non dégénéré.
Si f est minorée par m et majorée par M alors on a m ≤ 1/ (b − a)∫_a^b f(t) dt ≤ M.

Démonstration

On a pour tout t ∈ [a, b], m ≤ f(t) ≤ M donc ∫_a^b m dt ≤ ∫_a^bf(t) dt ≤ ∫_a^b M dt c'est-à-dire m × (b − a) ≤ ∫_a^bf(t) dt ≤ M × (b − a).

Relations avec la dérivée

Définition

Si f et F sont deux fonctions définies sur un même intervalle, on dit que F est une primitive de f si F est dérivable avec F′ = f.

Théorème fondamental de l'analyse: Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I non dégénéré. Soit a ∈ I.
La fonction F : x ↦ ∫_a^x f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.

Démonstration

Soit x ∈ I et h ∈ R^+∗ tel que x + h ∈ I.

Le taux d'accroissement de F entre x et x+h se note 1/h ∫_x^x+h f(t) dt, c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle entre x et x+h (quel que soit le signe de h).

Pour tout intervalle ouvert J contenant f(x), il existe un intervalle ouvert contenant x d'image dans J, donc par inégalités de la moyenne, le taux d'accroissement appartient aussi à J.

Finalement, le taux d'accroissement de F en x tend vers f(x) donc la fonction F est dérivable en x avec F′(x) = f(x).

Il est clair que F s'annule en a, et pour toute autre primitive G de f s'annulant en a, la différence F−G est de dérivée nulle donc est constante mais s'annule en a, donc F − G = 0.

Corolaire

Toute fonction continue sur un intervalle I de R admet une primitive sur I.

Remarque

Au lieu d'utiliser l'intégrale de Riemann, on peut aussi démontrer ce corolaire d'une autre manière et transformer le théorème fondamental de l'analyse en définition de l'intégrale pour une fonction continue. Les propriétés de l'introduction s'en déduisent facilement.

Propriété

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur cet intervalle.
Alors pour tout (a, b) ∈ I² on a ∫_a^b f(t) dt = [F(t)]_a^b = F(b) − F(a).

Cette propriété permet de calculer de nombreuses intégrales grâce aux formules de dérivées des fonctions de référence.

Intégration par parties: Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, avec g dérivable sur I.
Soit F une primitive de f sur I et (a, b) ∈ I².
Alors on a ∫_a^b f(t) g(t) dt = [F(t) g(t)]_a^b − ∫_a^b F(t) g′(t) dt.

Démonstration

La fonction F × g est une primitive de la fonction continue f × g + F × g′ donc on trouve [F(t) g(t)]_a^b = ∫_a^b (F(t) g′(t) + f(t) g(t)) dt = ∫_a^b F(t) g′(t) dt + ∫_a^b f(t) g(t) dt .

Changement de variable: Soit φ une fonction de classe 𝒞¹ sur un segment [a, b] à valeur dans un intervalle J. Soit f une fonction continue sur J.
Alors on a ∫_φ(a)^φ(b) f(t) dt = ∫_a^b f(φ(u)) φ′(u) du

Démonstration

Notons F une primitive de la fonction f.

Alors pour tout x ∈ [a, b] on a φ(x) ∈ J et ∫_φ(a)^φ(x) f(t) dt = F(φ(x)) − F(φ(a)).

Donc la fonction x ↦ ∫_φ(a)^φ(x) f(t) dt est une primitive de la fonction x ↦ φ′(x) × f(φ(x)) et elle s'annule en a.

Par conséquent, pour tout x ∈ [a, b] on a ∫_φ(a)^φ(x) f(t) dt = ∫_a^x f(φ(u)) φ′(u) du.

Le changement de variable s'utilise en général en sur une intégrale de la forme ∫_a^b f(t) dt en posant t = φ(u) où φ est une fonction de classe 𝒞¹ sur un intervalle I et par laquelle les réels a et b admettent des antécédents. Dans ce cas, on note en général dt = φ′(u) du, on cherche des antécédents α et β pour les bornes a et b puis on calcule ∫_a^b f(t) dt = ∫_α^β f(φ(u)) φ′(u) du.

Exemple

Pour calculer ∫₀⁴ exp(√x) dx, on peut poser x = t², la fonction carré étant de classe C¹ sur R⁺, avec dx = 2t dt, les bornes 0 et 4 admettant pour antécédents respectifs 0 et 2, on en déduit ∫₀⁴ exp(√x) dx = ∫₀² exp(t) 2t dt et une intégration par parties permet de conclure ∫₀² exp(t) 2t dt = [exp(t) 2t]₀² − 2∫₀² exp(t) dt = 4 e² − 2(e² − 1) = 2 e² + 2.

Sommes de Riemann

Les sommes de Riemann (à droite) associées à une fonction f continue sur un segment [a, b] s'écrivent pour tout n ∈ N^∗, S_n = (b − a) / n ∑_k=1ⁿ f(a + k(b−a)/n).

On peut aussi définir des sommes de Riemann à gauche sous la forme (b − a) / n ∑_k=0ⁿ⁻¹ f(a + k(b−a)/n).

Propriété

La suite des sommes de Riemann converge vers l'intégrale ∫_a^b f(t) dt.

En particulier, pour toute fonction f continue sur [0 ; 1], on a lim_n→+∞ 1/n ∑_k=1ⁿ f(k/n) = ∫₀¹ f(t) dt.