Fonctions réelles

Introduction

Définitions

Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’un ensemble D ⊂ R (appelé domaine de définition) vers R.
Elle est le plus souvent précisée par une expression f(x) ∈ R dépendant d’une variable x ∈ D avec la notation f : D → R, x ↦ f(x) .
Pour tout (x, y) ∈ D × R tel que y = f(x), on dit que y est l’image de x et que x est un antécédent de y.

Deux fonctions f et g sont égales si et seulement si elles ont le même domaine de définition D et si pour tout x ∈ D, on a f(x) = g(x).

Dans le cadre du cours, on s'intéressera exclusivement aux fonctions définies sur une réunion d'intervalles non dégénérés.

Par défaut, on note 𝒟_f le domaine de définition d’une fonction f.

Exemples

Les fonctions affines, de la forme x ↦ ax + b, sont définies sur R. Les coefficients a et b sont respectivement leur taux d'accroissement et leur valeur à l'origine.
Parmi ces fonctions, les constantes sont les fonctions de la forme x ↦ c et les fonctions linéaires sont de la forme x ↦ ax. En particulier, la fonction nulle est la fonction x ↦ 0 et la fonction identité est la fonction x ↦ x.
La fonction carré x ↦ x² et la fonction cube x ↦ x³ sont définies sur R, comme toutes les fonctions puissances de la forme x ↦ xⁿ avec n ∈ N, et plus généralement toutes les fonctions polynômes, qui sont des combinaisons linéaires de puissances.
La fonction inverse est définie sur R* par x ↦ 1/x.
La fonction racine carrée est définie sur R⁺ par x ↦ √(x).
La fonction valeur absolue x ↦ |x| est définie sur R.
La fonction exponentielle est définie sur R.
La fonction logarithme est définie sur R^+∗.
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur R, mais la fonction tangente est définie sur R ∖ {π/2 + kπ, k ∈ Z}.

Définition

La restriction d’une fonction f à une partie A de son domaine de définition est la fonction f_|A : A → R, qui vérifie pour tout x ∈ A, f_|A(x) = f(x).

Exemple

La fonction x ↦ (x − 2)/(2 − x) est la restriction de la fonction constante de valeur −1 à l’ensemble R ∖ {2}.

Courbe représentative

Définition

La courbe représentative d'une fonction réelle f d'une variable réelle est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y) satisfont l'équation y = f(x).
Par défaut, on note 𝒞_f cette courbe.

En particulier, les droites non verticales dans le plan sont exactement les courbes représentatives des fonctions affines.

Remarque

Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont la même courbe représentative.

Définition

Soient f et g deux fonctions réelles définies sur le même domaine D. On dit que la courbe de f est (strictement) au-dessus de la courbe de g si la différence f−g est (strictement) positive. Dans ce cas, on dit aussi que la courbe de g est (strictement) en-dessous de la courbe de f.

Exemple

La courbe de la fonction racine carrée restreinte à l'intervalle [0 ; 1] est au-dessus de la courbe de la fonction identité restreinte à ce même intervalle.

Définition

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D non vide de R.
Soit x ∈ D. On dit que x est un point fixe de f si f(x) = x.

Les points fixes de f sont les abscisses des intersections de la courbe représentative avec la première bissectrice.

Parité et périodicité

Définition

Une fonction f est dite paire si pour tout x ∈ 𝓓_f on a −x ∈ 𝓓_f et f(−x) = f(x).
Elle est dite impaire si pour tout x ∈ 𝓓_f on a −x ∈ 𝓓_f et f(−x) = −f(x).

Exemples

Les fonctions constantes, la fonction valeur absolue, la fonction carré et plus généralement toutes les fonctions puissances d'exposant pair sont paires.
Les fonctions linéaires, la fonction inverse et toutes les fonctions puissances d'exposant impair sont impaires.

Propriété

Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.

Propriété

Si une fonction impaire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de même sens sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.
Si une fonction paire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de sens contraire sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.

Définition

Soit T ∈ R^∗+. Une fonction f : D → R est dite T-périodique si pour tout x ∈ D et pour tout k ∈ Z on a x + kT ∈ D et f(x + T) = f(x).

Exemples

La fonction partie fractionnaire est 1-périodique.
Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques.
La fonction tangente est π-périodique.

Propriété

Une fonction est T-périodique si et seulement si sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur (T ; 0).

Variations

Définitions

Soit A une partie de R et f une fonction réelle définie sur A.

On dit que f est croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A² tel que x ≤ y on a f(x) ≤ f(y).
On dit que f est strictement croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A² tel que x < y on a f(x) < f(y).

On dit que f est décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A² tel que x ≤ y on a f(x) ≥ f(y).
On dit que f est strictement décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A² tel que x < y on a f(x) > f(y).

On dit que f est (strictement) monotone sur A si elle est (strictement) croissante ou décroissante sur A.

Exemples

Les fonctions constantes sont les seules fonctions simultanément croissantes et décroissantes.
Toute fonction affine est monotone (strictement croissante si le taux d'accroissement est strictement positif, strictement décroissante si le taux d'accroissement est négatif).
La fonction carré est strictement décroissante sur R⁻ et strictement croissante sur R⁺.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur R⁺.
La fonction inverse est strictement décroissante sur R^∗+ et sur R^∗− mais pas sur R^∗.
Les fonctions exp et ln sont strictement croissantes sur leur domaine de définition.

Démonstration

Pour la fonction carré, on démontre les variations séparément sur R⁺ et sur R⁻.

Pour tout (x, y) ∈ (R⁺)² tel que x < y on a les équivalences : x² < y² ⇔ x² − y² < 0 ⇔ (x + y)(x − y) < 0 ce qui est vrai par règle des signes.

Pour tout (x, y) ∈ (R⁻)² tel que x < y on a les équivalences : x² > y² ⇔ x² − y² > 0 ⇔ (x + y)(x − y) > 0 ce qui est vrai par règle des signes.

En pratique, les variations d’une fonction se déterminent le plus souvent en étudiant le signe de sa dérivée, mais si la fonction s’écrit comme une composée de fonctions de référence, il est plus rapide d’obtenir les variations par composition.

Image

L’image d'une fonction est l'image directe de son domaine de définition, autrement dit c'est l'ensemble des ordonnées des points de sa courbe représentative.

Exemples

L’image de toute fonction constante est un singleton.
L’image de la fonction carré, de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est R⁺.
L’image de la fonction inverse est R^∗.
L’image de la fonction exp est R^+∗.
L’image de la fonction ln est R.
Les fonctions sin et cos ont toutes deux pour image l’intervalle [−1 ; 1].

Remarque

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle définie sur [a, b]. Il n’y a pas d’inclusion en général entre l’ensemble image f([a, b]) et l’intervalle [f(a) , f(b)], ni dans un sens ni dans l’autre.

Définition

Soit I un intervalle réel non dégénéré et f une fonction réelle définie sur I. On dit que l’intervalle I est stable par f si on a f(I) ⊂ I.

Bornes

Définition

Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel.
Une fonction est dite bornée si son image est bornée.

Caractérisation des fonctions bornées: Une fonction est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée.

Démonstration

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ⊂ R non vide.

S'il existe (m, M) ∈ R² tel que pour tout x ∈ D on ait m ≤ f(x) ≤ M alors on trouve −|M| − |m| ≤ − |m| ≤ m ≤ f(x) ≤ M ≤ |M| ≤ |M| + |m| donc |f(x)| ≤ |M| + |m|.

Réciproquement, s'il existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ D on ait |f(x)| ≤ M alors on trouve −M ≤ f(x) ≤ M

Propriété

Soient f et g deux fonctions définies sur un même domaine D. Si f et g sont bornées alors leur somme et leur produit sont bornés aussi sur D.

Démonstration

Supposons qu'il existe (M, M′) ∈ R² tel que pour tout x ∈ D on ait |f(x)| ≤ M et |g(x)| ≤ M′.

Pour tout x ∈ D on a |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ M + M′ et |f(x) × g(x)| ≤ M × M′
donc f+g et f×g sont bornées.

Composition

Définition

Soit f : D → R et soit g une fonction définie sur l’image de f. La composée de f par g, notée g ∘ f, est la fonction définie sur D par x ↦ g(f(x)).

En pratique, on ne compose en général qu’une restriction de la première fonction de façon à ce que son image soit incluse dans le domaine de définition de la deuxième.

Exercice

Calculer les neuf composées possibles des fonctions suivantes d’une variable réelle :

f : x ↦ √(x − 1)
g : x ↦ 1 + (1)/(x)
h : x ↦ x² + 1

Propriété

La composition est associative, au sens où si f, g et h sont trois fonctions réelles d’une variable réelle, on a h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.

Remarque

La composition n’est pas commutative.

Propriété

L’identité est neutre pour la composition de fonctions.

Composée de fonctions monotones: La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est croissante. La composée de deux fonctions monotones de sens de variation contraires est décroissante.

Démonstration

On procède par disjonction de cas. Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R et soient f ∈ 𝓕(I, J) et g ∈ 𝓕(J, R).

Si f et g sont toutes deux croissantes alors pour tout (x, y) ∈ I² tel que x ≤ y on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction g ∘ f est croissante.

Si f et g sont toutes deux décroissantes alors pour tout (x, y) ∈ I² tel que x ≤ y on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction g ∘ f est croissante.

Si f est croissante et g décroissante alors pour tout (x, y) ∈ I² tel que x ≤ y on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction g ∘ f est décroissante.

Si f est décroissante et g croissante alors pour tout (x, y) ∈ I² tel que x ≤ y on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction g ∘ f est décroissante.

Injectivité

Définition

Une fonction f : D → R est dite injective si pour tout couple de réels distincts (x, x′) du domaine de définition de f on a f(x) ≠ f(x′).
Autrement dit, pour tout (x, x′) ∈ D² tel que f(x) = f(x′) on a x = x′.

Exemple

Les fonctions affines non constantes, les fonctions inverse, racine carrée, exponentielle et logarithme sont injectives.

Propriété

Une fonction strictement monotone est toujours injective.

La réciproque est fausse, comme dans le cas de la fonction inverse.

Propriété

La composée de deux fonctions injectives est injective.

Démonstration

Soit f : D_f → R et g : D_g → R deux fonction injectives telles que f(D_f) ⊂ D_g.
Soit (x, x′) ∈ D_f² tel que (g ∘ f)(x) = (g ∘ f)(x′) c’est-à-dire g(f(x)) = g(f(x′)). Par injectivité de g on trouve f(x) = f(x′) donc par injectivité de f on trouve x = x′.
Finalement, g ∘ f est injective.

Définition

Soit f et g deux fonctions réelles d’une variable réelle.
On dit que g est la réciproque de f si leurs composées coïncident avec l’identité, autrement dit pour tout x ∈ 𝒟_f, g(f(x)) = x et pour tout x ∈ 𝒟_g, f(g(x)) = x.

Exemples

Toute fonction affine non constante a pour réciproque une fonction affine avec un coefficient linéaire inverse. En particulier, la fonction identité est sa propre réciproque.
La restriction de la fonction carré à R⁺ a pour réciproque la fonction racine carrée.
Les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques l’une de l’autre.

Propriété

Une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est injective. Dans ce cas la réciproque est injective aussi et chaque fonction est la réciproque de sa réciproque.

Propriété

Toute fonction strictement monotone, alors elle admet une réciproque strictement monotone avec le même sens de variation.