Droites du plan en géométrie analytique

Le plan réel euclidien est un ensemble admettant une bijection avec R2 qui permet d'y définir les notions de distance et d'angle. Les éléments du plan sont appelés des points. Étant donnée une telle bijection, chaque point du plan est donc associé à un couple de coordonnées appelées respectivement abscisse et ordonnée.

Distance

Définition
Soit A et B deux points du plan représentés par leurs coordonnées (xA, yA) et (xB, yB).

La distance entre les deux points est définie par AB = √((xB − xA)2 + (yB − yA)2).

Propriété
La distance entre deux points est toujours positive et elle ne s’annule que lorsque les deux points sont confondus.
Démonstration
La positivité découle de celle de la racine carrée. Avec les notations de la définition, si AB = 0 alors (xB − xA)2 + (yB − yA)2 = 0 or une somme de termes positifs ne s’annule que si tous les termes sont nuls, donc xB − xA = 0 et yB − yA = 0 donc A et B ont les mêmes coordonnées.
Inégalité triangulaire
Soient A, B, C trois points du plan. Alors AB + BC ≥ AC.
Démonstration
En notant (xA, yA), (xB, yB), (xC, yC) puis s = xB − xA, t = yB − yA, u = xC − xB, v = yC − yB, l’inégalité triangulaire se réécrit √(s2 + t2) + √(u2 + v2) ≥ √((s + u)2 + (t + v)2)
⇔ s2 + t2 + u2 + v2 + 2√((s2 + t2)(u2 + v2)) ≥ (s + u)2 + (t + v)2
⇔ 2√((s2 + t2)(u2 + v2)) ≥ 2su + 2tv. Si le membre de droite est négatif, l’inégalité est vérifiée. Sinon, elle est équivalente à
(s2 + t2)(u2 + v2) ≥ (su + tv)2
⇔ s2u2 + s2v2 + t2u2 + t2v2 ≥ s2u2 + t2v2 + 2stuv
⇔ s2v2 + t2u2 − 2stuv ≥ 0
⇔ (sv − tu)2 ≥ 0, ce qui est vrai également.
Définition
Soit A et B deux points du plan. Le segment [A, B] est l’ensemble des points M du plan satisfaisant l’égalité AM + MB = AB.
Le segment est dit non dégénéré
Propriété
Les coordonnées (x, y) des points d’un segment satisfont une équation de la forme ax + by = c.
Démonstration
Le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire se traduit par l’égalité (x − xA)(yB − y) − (y − yA)(xB − x) = 0
⇔ (yB − yA)x − (xB − xA)y + yAxB − xAyB = 0 .

Équation de droite

Définition
Pour tout (a, b, c) ∈ R3 tel que (a ; b) ≠ (0 ; 0), la droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0 est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) satisfont l'équation.
Propriété
Toute équation de droite est équivalente à une équation de la forme y = mx + p ou à une équation de la forme x = q.
Démonstration
On procède par disjonction de cas pour une équation de la forme ax + by + c = 0.

Si b ≠ 0, l'équation se réécrit y = −a/bx + −c/b.

Si b = 0, l'équation se réécrit x = −c/a.

Définitions

L'axe des abscisses est la droite d'équation y = 0. L'axe des ordonnées est la droite d'équation x = 0. La première bissectrice est la droite d'équation y = x et la deuxième bissectrice est la droite d'équation y = −x.

Propriété
Toute droite contient au moins deux points.
Démonstration
On procède par disjonction de cas.

Toute droite d'équation y = mx + p ou à une équation de la forme x = q contient les points de coordonnées (0 ; p) et (1 ; m + p).

Toute droite d'équation x = q contient les points de coordonnées (q ; 0) et (q ; 1).

Propriété
Soient A : (xA ; yA), et B : (xB ; yB) deux points distincts du plan.

Si xA = xB, la seule droite passant par A et B a pour équation réduite x = xA.

Sinon, une seule droite passant par A et B, et elle a pour équation y = yB − yA/xB − xA (x − xA) + yA.

Démonstration
On procède par disjonction de cas.

Dans le cas xA = xB, on montre qu'il n'existe aucune droite d'équation y = mx + p qui passerait par les deux points. En effet, pour une telle droite on aurait yA = mxA + p = mxB + p = yB, ce qui contredirait l'hypothèse A ≠ B.

Dans le cas xA ≠ xB, aucune droite verticale ne passe par les deux points. Soit (m, p) ∈ R2. La droite d'équation y = mx + p passe par les deux points si et seulement si les relations suivantes sont vérifiées : yA = mxA + p et yB = mxB + p. On résout donc le système suivant par équivalences.

{yA = mxA + pyB = mxB + p ⇔ {yA = mxA + pyB − yA = m(xB − xA) ⇔ {p = yA − mxAm = yB − yA/xB − xA.

La seule solution donne l'équation annoncée.

Définitions
Pour tout couple (A, B) de points distincts du plan, l'unique droite passant par A et B est notée (AB).

Si elle admet une équation réduite de la forme y = mx + p, le réel m est appelé coefficient directeur de la droite et le réel p est son ordonnée à l’origine.

Elle est dite horizontale si elle admet un coefficient directeur nul.

Elle est dite verticale si elle admet une équation de la forme x = q.

Position relative

On déduit aussi de la propriété précédente que deux droites distinctes ont au maximum un point commun.

Définitions

Deux droites avec un seul point d'intersection sont dites sécantes.

Deux droites du plan sans point en commun sont dites strictement parallèles.

Deux droites sont dites parallèles si elles sont strictement parallèles ou confondues.

Propriété
Deux droites sont parallèles si elles sont toutes deux verticales ou si elles ont le même coefficient directeur. Si elles ont pour équations cartésiennes ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c′ = 0, le parallélisme est équivalent à la condition ab′ = a′b.
Démonstration
On utilise les équations réduites.

Soient deux droites verticales d’équations x = q et x = q′. Si q = q′ alors les droites sont confondues, sinon elles sont disjointes. Dans les deux cas elles sont parallèles et avec les équations cartésiennes, on trouve b = b′ = 0.

Soit une droite d’équation y = mx + p et une droite verticale d’équation x = q′, le seul point d’intersection a pour coordonnées (q′, mq′ + p) donc les droites sont sécantes avec b′ = 0 mais a′b ≠ 0.

Soient deux droites d’équations y = mx + p et y = m′x + p′. On distingue deux cas.

Représentation paramétrique

Définition
Soient A (xA, yA) et B (xB, yB) deux points du plan. Le vecteur de A vers B est le couple A→B = (xB − xA, yB − yA), qui est alors appelé vecteur directeur de la droite (AB).

On note en général les vecteurs avec une flèche suscrite pour les distinguer des couples de coordonnées.

Propriété
Soient A (xA, yA) et B (xB, yB) deux points distincts du plan.
La droite (AB) est l’ensemble des points de coordonnées (xA + t(xB − xA), yA + t(yB − yA)) lorsque t ∈ R.
Démonstration

Tous les points de coordonnées comme ci-dessus satisfont l’équation (yB − yA)x − (xB − xA)y = yBxA − yAxB qui est l’équation de droite de (AB).

Réciproquement, soit (x, y) les coordonnées d’un point de (AB). On distingue deux cas selon que la droite est verticale ou non.

Définition
La donnée d’un point et d’un vecteur directeur (non nul) définit une représentation paramétrique de la droite.

Transformations

Définitions

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (x, −y).

La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (−x, y).

La symétrie par rapport à l'origine associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (−x, −y).

La symétrie par rapport à la première bissectrice associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (y, x).

La translation de vecteur (a, b) associe à tout point de coordonnées (x, y) le point de coordonnées (x + a, y + b).

Régression linéaire

Définitions
La moyenne d’une liste de nombres (x1, … , xn) ∈ Rn est définie par x‾ = 1/n ∑k=1n xk et sa variance est définie par Vx = 1/n ∑k=1n (xk − x‾)2.
Propriété
La variance est toujours positive. Elle ne s’annule que pour des listes de nombres identiques.
Définition
L’écart type d’une liste de nombres est la racine carrée de sa variance σx = √Vx.
Définition
Le point moyen d’une liste de points du plan repérés par leurs coordonnées (x1, y1), (x2, y2), … , (xn, yn) est le point de coordonnées (x‾, y‾).
Propriété
Le coefficient directeur de la droite de régression linéaire pour une liste de points non alignés verticalement, suivant la méthode des moindres carrés, et passant par le point moyen s’écrit a = cx,y/Vx où cx,y = 1/n ∑k=1n (xk − x‾) (yk − y‾).
Démonstration
Pour tout k ∈ ⟦1, n⟧, la distance en ordonnées du point de coordonnées (xk, yk) à la droite d’équation y = ax + b s’écrit |yk − (axk + b)| donc la somme des distances au carré s’écrit ∑k=1n (yk − axk − b)2.

Or le fait que la droite passe par le point moyen s’écrit y‾ = ax‾ + b donc la somme des distances au carré se réécrit ∑k=1n (yk − y‾ − a(xk − x‾))2 = ∑k=1n ((yk − y‾)2 + a2(xk − x‾)2 − 2a(xk − x‾)(yk − y‾)) = ∑k=1n (yk − y‾)2 + a2∑k=1n (xk − x‾)2 − 2a∑k=1n (xk − x‾)(yk − y‾).

Ce trinôme du second degré (avec un coefficient dominant strictement positif) admet un minimum en (∑k=1n (xk − x‾)(yk − y‾))/(∑k=1n (xk − x‾)2).

Pour aller plus loin…
Vecteurs réels