Vecteurs de réels

Soit n ∈ N^∗. Un vecteur à n composantes réelles est une liste de réels (x₁, … , x_n). Un tel vecteur est parfois noté à l'aide d'une lettre surmontée d'une flèche pointant vers la droite, à la manière des vecteurs géométriques, surtout au début de l’apprentissage.

Structure

L'ensemble des vecteurs à n composantes réelles est muni de deux opérations : l'addition composante par composante et la multiplication scalaire.

Définition

Pour tout (λ, x, y) ∈ R × Rⁿ × Rⁿ, en notant x = (x₁, … , x_n) et y = (y₁, … , y_n), on pose x + y = (x₁ + y₁, … , x_n + y_n) et λ·x = (λx₁, … , λx_n).

Les opérations précédentes satisfont plusieurs propriétés qui permettront de définir la structure d'espace vectoriel.

Structure de groupe abélien: L’addition des vecteurs est associative et commutative dans Rⁿ, avec le vecteur nul 0 = (0, … , 0) pour neutre, et tout vecteur (x₁, … , x_n) admet un opposé (−x₁, … , −x_n).
Distributivité: La multiplication scalaire est distributive à gauche par rapport à l'addition des scalaires et distributive à droite par rapport à l'addition des vecteurs.
Pseudo-associativité et neutre: Pour tout (λ, μ, x) ∈ R × R × Rⁿ, (λ × μ)·x = λ·(μ·x) et 1·x = x.

Une première conséquence de ces propriétés est la persistance de l’équation de produit nul, qui reste valable dans ce contexte mais ne le sera plus sur l’ensemble des matrices.

Équation de produit nul: Soit (λ, x) ∈ R × Rⁿ. On a l'équivalence suivante : λ·x = 0 ⇔ λ = 0 ou x = 0.

Colinéarité et combinaison linéaire

Définition

Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires s’il existe un réel λ tel que u = λ·v.

Propriété

La relation de colinéarité est une relation d’équivalence sur les vecteurs non nuls, c’est-à-dire que :

tout vecteur est colinéaire à lui-même,
un vecteur u est colinéaire à un vecteur v si et seulement si v est colinéaire à u,
deux vecteurs colinéaires à un même troisième (non nul) sont colinéaires entre eux.

Remarque

On dira que le vecteur nul est colinéaire à tous les autres vecteurs, en prenant garde au fait que deux vecteurs non colinéaires entre eux sont quand même tous les deux colinéaires au même vecteur nul.

Définition

On dit qu'un vecteur y est engendré par une famille (x₁, …, x_p) de vecteurs s'il existe une famille de scalaires (λ₁, …, λ_p) appelés coefficients telle que y = ∑_j=1^p λ_j·x_j, autrement dit s'il peut s'écrire comme une combinaison linéaire sur les vecteurs (x₁, …, x_p).

Remarque

Le vecteur nul est engendré par n'importe quelle famille de vecteurs en choisissant des coefficients tous nuls.

L’expression des coefficients s’obtient à l’aide d’un système d’équations linéaires avec n lignes (une par composante), dont les inconnues sont les p coefficients. Ce système peut se résoudre à l’aide de la méthode du pivot de Gauss.

Famille libre

Définition

Une famille de vecteurs est simplement une liste de vecteurs (x₁, … , x_p).
Elle est dite liée si elle peut engendrer le vecteur nul avec au moins un coefficient non nul. Dans ce cas, on obtient une relation linéaire entre les vecteurs de la famille.
Sinon, on dit que les vecteurs sont linéairement indépendants ou encore qu'ils forment une famille libre.

Propriété

Le fait qu’une famille soit libre ou liée ne dépend pas de l’ordre de ses termes.

Démonstration

Cette propriété vient de l’associativité et la commutativité de l’addition des vecteurs.

Propriété

Une famille d’un seul vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul. Une famille de deux vecteurs est libre si et seulement si ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

Propriété

Toute famille de vecteurs extraits d’une famille libre est libre.

Définition

Une famille de vecteurs non nuls est dite échelonnée si le rang du premier coefficient non nul est strictement croissant d’un vecteur au suivant.

Propriété

Une famille échelonnée est toujours libre.

Démonstration

On raisonne par récurrence sur le nombre de vecteurs de la famille.

Un seul vecteur non nul forme nécessairement une famille libre.

Soit r un entier tel que toute famille échelonnée de r vecteurs soit libre. Soit (x₁, … , x_r+1) une famille échelonnée et (α₁, … , α_r+1) ∈ R^r+1 tel que α₁x₁ + ⋯ + α_r+1x_r+1 = 0. Au rang du premier coefficient non nul de x₁, tous les autres vecteurs ont un coefficient nul donc on trouve α₁ = 0. La combinaison linéaire se réduit alors à r lignes échelonnées, donc tous les autres coefficients sont nuls par hypothèse de récurrence. Donc la famille (x₁, … , x_r+1) est libre.

Finalement, la propriété est vraie par principe de récurrence.

Propriété

Toute famille libre dans Rⁿ est composée d’au plus n vecteurs.

Démonstration

Soit (x₁, … , x_p) une famille libre dans Rⁿ.
L’équation ∑_i=1ⁿ a_i·x_i = 0 d’inconnues a₁, … , a_p se ramène à un système de n équations à p inconnues, avec une seule solution donc de rang r = p mais r ≤ n donc p ≤ n.

Sous-espace vectoriel

Définition

Soit F ⊂ Rⁿ. On dit que F est un sous-espace vectoriel de Rⁿ si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

le vecteur nul appartient à F,
l’ensemble F est stable par addition de vecteurs et par multiplication scalaires, autrement dit pour tout (λ, x, y) ∈ R × F², on a x + y ∈ F et λ·x ∈ F.

L’ensemble {0} constitue un sous-espace vectoriel de Rⁿ appelé sous-espace nul.
L’ensemble Rⁿ est un sous-espace vectoriel de lui-même.
L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires homogène est un sous-espace vectoriel.

Pour démontrer qu’un ensemble de vecteurs constitue un sous-espace vectoriel de Rⁿ, on se contente en général de vérifier le critère suivant.

Propriété

Un sous-ensemble non vide F de Rⁿ est un sous-espace vectoriel si et seulement si pour tout (λ, x, y) ∈ R × F², on a λx + y ∈ F.

Propriété

L’ensemble des combinaisons linéaires sur une famille de vecteurs (x₁, … , x_p) est un sous-espace vectoriel noté Vect(x₁, … , x_p) et appelé sous-espace vectoriel engendré.

Démonstration

On note F = Vect(x₁, … , x_p), qui contient la combinaison linéaire ∑_i=1^p 0·x_i = 0.
Soit (λ, u, v) ∈ R × F². On note u = ∑_i=1^p a_i·x_i et v = ∑_i=1^p b_i·x_i, d’où λ·u + v = λ·∑_i=1^p a_i·x_i + ∑_i=1^p b_i·x_i = ∑_i=1^p (λa_i + b_i)·x_i ∈ F.

Définition

Pour tout vecteur non nul u ∈ Rⁿ, la droite vectorielle engendrée par u est le sous-espace vectoriel Vect(u) = {λ·u, λ ∈ R}.

Propriété

Tout sous-espace vectoriel est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire que pour tout (λ₁, … , λ_k, x₁, … , x_k) ∈ R^k × F^k, on a ∑_i=1^k λ_i·x_i ∈ F.

Démonstration

On procède par récurrence sur k.

Classification des sous-espaces vectoriels de R²: Les seuls sous-espaces vectoriels de R² sont le sous-espace nul {0}, les droites vectorielles et l’espace R².

Démonstration

Soit F un sous-espace vectoriel de R². Il contient nécessairement le vecteur nul.

Si F ≠ {0} alors il existe u ∈ F ∖ {0} donc F contient la droite vectorielle engendrée par u.

Si F contient un vecteur v en dehors de cette droite vectorielle, alors les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires donc la famille (u, v) est libre. Pour tout x ∈ R², la famille (u, v, x) contient 3 vecteurs donc elle n’est pas libre dans F, donc il existe une relation a·u + b·v + c·x = 0, avec (a, b, c) ∈ R³ ∖ {(0, 0, 0)}, mais c ≠ 0 puisque la famille (u, v) est libre, donc x = (−1)/(c)·(a·u + b·v) ∈ F. Donc F = R².

Famille génératrice

Définition

Soit (x₁, … , x_p) une famille de vecteurs et F un sous-espace vectoriel de Rⁿ.
On dit que la famille est génératrice de F si F = Vect(x₁, … , x_p)

Propriété

Le fait qu’une famille soit génératrice ne dépend pas de l’ordre de ses termes.

Propriété

Toute famille dont on peut extraire une famille génératrice est génératrice.

Propriété

Toute famille génératrice dans Rⁿ contient au moins n vecteurs.

Démonstration

Soit ℱ une famille génératrice de Rⁿ avec p vecteurs. Supposons p < n. Pour tout (a₁, … , a_n), la relation a₁x₁ + ⋯ + a_nx_n = 0 est satisfaite pour tous les vecteurs x de la famille ℱ si et seulement si (a₁, … , a_n) est solution d’un système homogène de p équations linéaires avec n inconnues. Puisque n > p, il existe une solution (a₁, … , a_n) ∈ Rⁿ ∖ {0}.
Comme l’équation linéaire a₁x₁ + ⋯ + a_nx_n = 0 est satisfaite pour tous les vecteurs de la famille génératrice ℱ, donc elle est satisfaite pour tous les vecteurs de Rⁿ, et en particulier pour le vecteur (a₁, … , a_n), donc a₁² + ⋯ + a_n² = 0.
Mais une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chacun des termes est nul, ce qui contredit l’hypothèse (a₁, … , a_n) ≠ 0.
Finalement, on a n ≤ p.

Remarque

Les adjectifs « libre » et « génératrice » ne sont pas contradictoires. Une famille peut très bien n’être ni libre ni génératrice, ou les deux à la fois comme dans la définition suivante.

Base

Définition

Une famille de vecteurs d’un sous-espace vectoriel F de Rⁿ est appelée base de F si elle est à la fois libre et génératrice de F.

Exemple

Tout vecteur non nul constitue une base de la droite vectorielle qu’il engendre.

Propriété

Toute base de Rⁿ contient exactement n vecteurs.

Caractérisation des bases: Une famille de vecteurs d’un sous-espace vectoriel F est une base de F si et seulement si elle permet d’engendrer n’importe quel vecteur de F de façon unique.

Démonstration

On procède par double implication.

Si (e₁, … , e_p) est une base de F, alors elle est génératrice donc permet d’engendrer n’importe quel autre vecteur par définition. Soit x ∈ F et deux décompositions x = ∑_i=1^p a_i·e_i = ∑_i=1^p b_i·e_i.
Alors par différence on trouve ∑_i=1^p (a_i − b_i)·e_i = 0 mais comme la famille est libre on trouve pour tout i ∈ ⟦1 ; p⟧, a_i − b_i = 0 donc a_i = b_i.

Réciproquement, si tout vecteur se décompose d’une unique manière sur la famille (e₁, … , e_p) alors cette famille est génératrice par définition et on a 0 = ∑_i=1^p 0·e_i donc il n’y a pas d’autre décomposition du vecteur nul, ce qui justifie que la famille est libre.

Définition

La base canonique de Rⁿ est la famille (e₁, … , e_n), dans laquelle chaque vecteur e_i a sa i-ème composante qui vaut 1 et toutes les autres sont nulles.

Propriété

Une famille libre maximale, c’est-à-dire qui ne peut être prolongée en une famille libre avec un vecteur supplémentaire, est nécessairement une base.

Démonstration

Soit (x₁, … , x_p) une famille libre maximale dans un sous-espace vectoriel F.
Pour tout y ∈ F, la famille (x₁, … , x_p, y) n’est pas libre donc il existe (a₁, … , a_p, b) ∈ R^p+1 ∖ {0} tel que a₁·x₁ + ⋯ + a_p·x_p + by = 0.
Or la famille (x₁, … , x_p) est libre donc b ≠ 0 donc y = (−1)/(b) (a₁·x₁ + ⋯ + a_p·x_p) ∈ Vect(x₁, … , x_p).
Finalement, la famille (x₁, … , x_p) est aussi génératrice de F donc c’est une base de F.

Propriété

Tout sous-espace vectoriel non nul admet une base.

Démonstration

Soit F un sous-espace vectoriel non nul de Rⁿ. Il contient au moins un vecteur non nul qui constitue une famille libre dans F de longueur 1.
L’ensemble des longueurs de familles libres dans F est une partie non vide de N et majorée par n. Il admet un maximum m et il existe une famille libre de longueur m. Par construction, cette famille est de longueur maximale donc elle est maximale, donc c’est une base.

Par convention, le sous-espace vectoriel nul admet une unique base vide (de longueur 0).

Théorème de la base incomplète: Soit ℱ une famille libre et 𝒢 une famille génératrice dans un même sous-espace vectoriel F de Rⁿ. Si la famille ℱ n’est pas déjà une base, on peut la prolonger avec certains vecteurs de la famille 𝒢 pour obtenir une base de F.

Démonstration

On note A l’ensemble des longueurs de familles libres obtenues en prolongeant la famille ℱ à l’aide de vecteurs de 𝒢.
L’ensemble A est une partie non vide de N et majorée par n donc A admet un maximum m.
Il existe donc une famille libre ℬ de m vecteurs obtenue en prolongeant la famille ℱ avec des vecteurs de 𝒢. Comme tout prolongement avec un vecteur de 𝒢 donne une famille liée, on obtient que tous les vecteurs de 𝒢 sont engendrés par ℬ, donc ℬ est génératrice de F, or elle est libre par définition, donc c’est une base de F.

Coordonnées

Définition

Si (e₁, … , e_p) est une base d’un sous-espace vectoriel F de Rⁿ, pour tout x ∈ F s’écrivant de manière unique x = ∑_i=1^p λ_i·e_i, la famille (λ₁, … , λ_p) est appelée coordonnées de x dans la base (e₁, … , e_p).
On note en général ces coordonnées sous la forme d’un vecteur colonne [[λ₁][⋮][λ_p]]

Remarque

Les coordonnées d’un vecteur dans la base canonique sont simplement ses composantes.

Les coordonnées d’une combinaison linéaire de vecteurs sont obtenues par combinaison linéaires des coordonnées avec les mêmes coefficients, ce qui permet de justifier la propriété suivante.

Propriété

Soit ℱ une famille de vecteurs dans un sous-espace vectoriel F admettant une base (e₁, … , e_p).
La famille ℱ est libre (ou génératrice dans F) si et seulement si la famille de ses vecteurs de coordonnées est libre (ou génératrice dans R^p).

Dimension

Propriété

Toute famille libre a autant ou moins de vecteurs qu’une famille génératrice dans le même sous-espace vectoriel.

Démonstration

Soit ℱ une famille libre et 𝒢 une famille génératrice dans le même sous-espace vectoriel admettant une base ℬ = (e₁, … , e_p).
Les vecteurs de coordonnées des termes de ℱ dans la base ℬ forment une famille libre dans R^p donc ℱ contient au plus p vecteurs, tandis que les vecteurs de coordonnées des termes de 𝒢 dans la base ℬ forment une famille génératrice dans R^p donc 𝒢 contient au moins p vecteurs.

Théorème de la dimension: Dans un sous-espace vectoriel, toutes les bases ont le même nombre de vecteurs.

Démonstration

Soient ℬ et ℬ′ deux bases d’un sous-espace vectoriel F.
Chacune des deux bases est libre et génératrice, donc chacune a au plus autant de vecteurs que l’autre, donc elles ont autant de vecteurs.

Définition

La dimension d’un sous-espace vectoriel F est le nombre de vecteurs de chacune de ses bases et on la note dim(F).
Par convention, dim({0}) = 0.

Pour tout entier n ≥ 0, dim(Rⁿ) = n
La dimension d’une droite vectorielle vaut 1.

Propriété

Dans un sous-espace vectoriel F de dimension d, toute famille libre ou génératrice contenant exactement d vecteurs est une base de F.

Démonstration

Soit x₁, … , x_d une famille libre dans F. Il est possible de la compléter en une base de F, qui aurait aussi d vecteurs, donc la famille est déjà une base de F.
Soit 𝒢 = y₁, … , y_d une famille génératrice de F. Le vecteur y₁ constitue une famille libre, qu’il est possible de la compléter en une base de F avec (d − 1) vecteurs de 𝒢, donc cette base est 𝒢.

Propriété

Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Rⁿ tels que F ⊂ G alors dim(F) ≤ dim(G).

Démonstration

Il existe une base ℬ de F, avec dim(F) vecteurs. La base ℬ qui est une famille libre de G donc contient au plus dim(G) vecteurs. Finalement, dim(F) ≤ dim(G).

Propriété

Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Rⁿ tels que F ⊂ G avec dim(F) = dim(G) alors F = G.

Démonstration

On note p = dim(F) = dim(G). Il existe une base ℱ de F qui est libre avec p vecteurs dans G, donc ℱ est aussi une base de G.