Systèmes d'équations linéaires

Révisions: Nombres réels; Sommes et produits
Notions: Système d’équations, systèmes équivalents, résolution, équation linéaire, système échelonné, système homogène, algorithme du pivot de Gauss
Définition: Système de Cramer
Résultats: Condition d’existence et d’unicité des solutions pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues; Lien entre les solutions d’un système linéaire et celles du système homogène associé
Compétences: Résoudre un système de plusieurs équations à plusieurs inconnues (en général quatre ou moins); Échelonner un système en appliquant la méthode du pivot de Gauss; Déterminer l’existence et l’unicité des solutions sur un système échelonné

Vocabulaire

Un système d'équations est simplement une liste d'équations portant sur les mêmes inconnues. Une solution d'un système à p inconnues est une liste de p valeurs par lesquelles on peut remplacer les inconnues pour satisfaire simultanément toutes les équations du système. L'ensemble des solutions d'un système peut éventuellement être vide.

Deux systèmes (portant sur les mêmes inconnues) sont dits équivalents s'ils ont même ensemble de solutions. C'est le cas si l'un est obtenu à partir de l'autre par l'une des opérations suivantes :

échange de deux équations,
multiplication des deux membres d'une équation par un même coefficient non nul,
ajout à chaque membre d'une équation un multiple par un même coefficient du membre correspondant dans une autre équation,
substitution d'une inconnue dans une équation par son expression obtenue dans une autre équation,
suppression d'une équation tautologique.

D'autres opérations préservent l'ensemble des solutions d'un système en toute généralité, comme le changement de variable, la décomposition d'une équation à produit nul ou le remplacement d'un sous-système par un système équivalent.

La résolution d'un système est l'obtention, par une succession opérations élémentaires, d'un système équivalent dans lequel les inconnues sont libres ou s'expriment en fonction de variables libres.

Dans tout ce chapitre et sauf précision contraire, toutes les variables (notamment les coefficients et inconnues) seront réelles ou complexes.

Une équation linéaire sur les inconnues x₁, …, x_p est une équation de la forme ∑_j=1^p λ_jx_j = b où les coefficients λ₁, …, λ_p et le second membre b sont tous indépendants des inconnues.

Par factorisation, on peut donc représenter un système d'équations linéaires en ne faisant apparaitre chaque inconnue qu'une seule fois par équation. Il est usuel d'aligner verticalement ces inconnues.

Premiers cas

Équation linéaire seule

Dans le cas d'une équation linéaire seule avec p inconnues, n'importe quelle inconnue avec un coefficient non nul peut être exprimée en fonction des autres. Dans ce cas, l'ensemble des solutions est paramétré par p−1 variables libres. Si p > 1, il existe donc plusieurs solutions.

Une équation linéaire dans laquelle tous les coefficients sont nuls est soit tautologique (0 = 0), soit impossible (de la forme 0 = C avec un terme C non nul).

Système de deux équations linéaires avec deux inconnues

Un système de deux équations linéaires avec deux inconnues x et y s'écrit donc sous la forme {ax + by = c ; a′x + b′y = c′ où (a, b, c, a′, b′, c′) est une famille de coefficients.

Si l’une des équations est tautologique (de la forme 0 = 0), le système se réduit à une seule équation. Si l’une des équations est impossible (de la forme C = 0), le système n’a pas de solution. Dans tous les autres cas, les solutions du système sont les coordonnées de l’intersection de deux droites du plan.

D’après la caractérisation du parallélisme, on distingue trois cas.

Si les droites sont sécantes, c’est-à-dire si ab′ ≠ a′b alors il y a un unique point d’intersection.
Si les droites sont confondues, c’est-à-dire si ab′ = a′b et que le même coefficient de proportionalité s’applique au second membre, alors l’ensemble des solutions est toute la droite décrite indifféremment par l’une ou l’autre équation.
Si les droites sont strictement parallèles, c’est-à-dire si ab′ = a′b mais que le coefficient de proportionalité ne s’applique pas au second membre, alors il n’y a pas de solution au système.

Système homogène

Définition

Un système d'équations linéaires est dit homogène si dans chaque équation le second membre est nul.

Tout système d'équations linéaires homogène admet au moins la solution nulle (c'est-à-dire en donnant la valeur 0 à chaque inconnue).
Si (x₁, …, x_n) et (x′₁, …, x′_n) sont deux solutions d'un système d'équations linéaires homogène alors la somme (x₁ + x′₁, …, x_n + x′_n) est aussi une solution du système.
Si (x₁, …, x_n) est une solution d'un système d'équations linéaires homogène alors pour tout coefficient λ, la liste (λx₁, …, λx_n) est aussi une solution du système.

Définition

Si E est un système d'équations linéaires, le système homogène associé (souvent noté E₀) est le système obtenu à partir des équations de E en remplaçant chaque second membre par 0.

Liens entre les solutions d'un systèmes et celles du système homogène associé: Si (x₁, …, x_n) est une solution d'un système E alors il y a équivalence entre (x′₁, …, x′_n) est solution de E et (x′₁ − x₁, …, x′_n − x_n) est solution de E₀.

Par conséquent, pour obtenir l'ensemble S des solutions d'un système d'équations linéaires, il suffit de connaitre une solution particulière x et l'ensemble S₀ des solutions du système homogène associé : S = {x + u, u ∈ S₀}.

Système échelonné

Un système est dit échelonné lorsque le rang du premier coefficient non nul est strictement croissant dans la liste d'équations. D'une ligne à la suivante, le premier coefficient non nul apparait donc de plus en plus loin à droite.

Propriété

L'ensemble des solutions d'une système échelonné avec r lignes de premier membre non nul et p inconnues est un ensemble de p-uplets avec p−r variables libres et r combinaisons linéaires de ces variables et des seconds membres.

Démonstration

On procède par récurrence sur le nombre de lignes du système.

Dans un système échelonné avec une seule équation linéaire ayant au moins un coefficient non nul, on peut noter x_k la première inconnue avec un coefficient non nul. Alors l'équation ∑_j=1^p λ_jx_j = b se réécrit x_k = 1/λ_k (b − ∑_j=k+1^p λ_jx_j) et les p−1 autres inconnues sont libres.

Soit r ∈ N* et supposons la propriété vraie pour tous les systèmes échelonnés avec r lignes de premier membre non nul. On considère un système échelonné sans équation impossible et de rang r+1. On note x_k la première inconnue avec un coefficient non nul dans la première équation. Alors les r équations suivantes forment un système échelonné sur les inconnues (x_k+1, …, x_p), donc par hypothèse de récurrence son ensemble de solutions s'exprime avec (p − k) − r variables libres. Les k−1 premières inconnues n'apparaissent dans aucune équation donc sont libres>. Enfin, l'inconnue x_k s'exprime en fonction des inconnues suivantes et des seconds membres. Il y a donc au total p − r − 1 variables libres, ce qui achève l'hérédité.

La plupart du temps, un système donné n'est pas échelonné. Cependant, l'algorithme du pivot de Gauss permet de transformer n'importe quel système d'équations linéaires en un système échelonné équivalent.

Algorithme du pivot de Gauss: On cherche la première inconnue x_k admettant un coefficient non nul dans le système, puis on intervertit au besoin la première équation avec une équation dans laquelle cette inconnue a un coefficient non nul.
Si le système contient plus d'une équation avec un premier membre non nul, on soustrait ensuite à toutes les équations suivantes un multiple de la première équation, de façon à annuler à chaque fois le coefficient correspondant à l'inconnue x_k, puis on itère l'algorithme sur le sous-système de la deuxième à la dernière équation, pour lequel les seuls coefficients non nuls apparaissent après l'inconnue x_k.

Système de Cramer

Un système de Cramer est un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et admettant une unique solution.

Un système d'équations linéaire avec autant d'équations que d'inconnues est dit triangulaire si chaque inconnue x_k n'apparait que dans les k premières équations.

Propriété

Soit n ∈ N*. Un système triangulaire avec n équations et n inconnues est de Cramer si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls, c'est-à-dire que pour tout entier k entre 1 et n, le coefficient de la k-ième inconnue est non nul dans la k-ième équation.

Démonstration

On procède par récurrence sur n.

Un système avec une équation et une inconnue s'écrit λx = b. Il admet une unique solution si et seulement si λ ≠ 0.

Soit n ∈ N* et supposons la propriété vraie pour tout système échelonné de n équations à n inconnues. Considérons un système échelonné de n+1 équations à n+1 inconnues x₁, …, x_n+1. On raisonne alors par disjonction de cas.

Si pour tout entier k entre 1 et n+1, le coefficient de la k-ième inconnue est non nul dans la k-ième équation, alors le sous-système formé de la deuxième à la dernière équation, sur les inconnues x₂, …, x_n+1 est de Cramer par hypothèse de récurrence. Donc il admet une unique solution et la première équation détermine x₁ comme une combinaison linéaire des seconds membres.
Si le coefficient de x₁ est nul sur la première ligne alors cette inconnue est absente du système donc toute solution fournit une infinité d'autres solutions en changeant la valeur de x₁.
Sinon, si un autre coefficient diagonal est nul alors par hypothèse de récurrence il n'y a pas d'existence ou pas d'unicité de la solution.

Propriété

Un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues est de Cramer si et seulement si la seule solution du système homogène associé est la solution nulle.

Démonstration

On procède par disjonction de cas sur un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues.

Si le système a au moins deux solutions distinctes x₁, …, x_n et x′₁, …, x′_n alors pour chaque équation du système on a ∑_j=1ⁿ λ_jx_j = b et ∑_j=1ⁿ λ_jx′_j = b donc par différence ∑_j=1^p λ_j(x_j − x′_j) = 0. Finalement, le n-uplet (x₁ − x′₁, …, x_n − x′_n) est une solution non nulle du système homogène associé.
Si le système n'a aucune solution, alors une mise sous forme échelonnée fait apparaitre une équation impossible, donc la mise sous forme échelonnée du système homogène associé fait apparaitre une équation tautologique, donc ce dernier système est de rang au moins 1, donc il admet plusieurs solutions.
Si le système est effectivement de Cramer, en notant x₁, …, x_n sa solution, alors pour toute solution y₁, …, y_n du système homogène associé, on obtient une solution (x₁ + y₁, …, x_n + y_n) du système initial. Donc par unicité on en déduit que la seule solution du système homogène est la solution nulle.