Un nombre complexe est un objet mathématique qui peut s’écrire d’une seule manière sous la forme a + bi, appelée forme algébrique avec (a, b) ∈ R2.
Approche algébrique
L’ensemble C des nombres complexes est un corps commutatif comprenant l’ensemble des nombres réels
et contenant un élément noté i, parfois appelé unité imaginaire, satisfaisant les propriétés suivantes :
- son carré est défini par
i2 = −1,
- pour tout z ∈ C,
il existe un unique couple (a, b) ∈ R2
tel que z = a + b × i
et dans ce cas on note
Re(z) = a sa partie réelle
et Im(z) = b sa partie imaginaire.
La partie imaginaire est un nombre réel.
Puisque C est un corps, il satisfait les propriétés associées :
identités remarquables,
règle d’annulation du produit,
opérations sur les puissances,
formule de Bernoulli (sur la différence entre deux puissances de même degré),
formule du binôme de Newton.
Tout nombre réel est un carré dans C.
Tout nombre réel positif est déjà un carré dans R.
Pour tout x ∈ R−, on trouve
x = (i√−x)2.
L’ensemble C n’est pas muni d’une relation d’ordre total compatible.
En particulier, le nombre i n’est ni inférieur, ni supérieur à 0.
Conjugué et module
Pour tout z = a + bi ∈ C, on appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe
z = a − bi.
Pour tout
(z, z′) ∈ C2,
pour tout
n ∈ N, on a
-
z = z
-
z + z = 2 Re(z)
-
z − z = 2i Im(z)
-
z + z′ = z + z′
-
z × z′ = z × z′
-
zn = zn
Pour tout
z = a + bi ∈ C, on appelle
module de
z
le réel
|z| = √(a2 + b2).
Ce module étend la définition de la valeur absolue définie sur R.
Pour tout
(z, z′) ∈ C2,
pour tout
n ∈ N, on a
-
|z| ≥ 0
-
|z| = 0 ⇔ z = 0
-
|z|2 = z z
-
|z|
= |−z|
= |z|
-
|zz′|
= |z| × |z′|
-
|zn|
= |z|n
En particulier, on a obtenu le résultat suivant.
Pour tout z ∈ C∗, on a
1/z
= z/|z|2.
Pour tout (z, z′) ∈ C × C∗, on a
(z/z′)
= z/z′
et |z/z′|
= |z|/|z′|.
Pour tout (z, z′) ∈ C,
on a
|z + z′|
≤ |z| + |z′|
Équation du second degré à coefficients réels
Le fait que tout nombre réel soit un carré dans C permet d’étendre la résolution de l’équation du second degré.
Résolution de l’équation du second degré à coefficients réels dans C
Soit
(a, b, c) ∈ R* × R2. On distingue trois cas selon le signe du
discriminant Δ de l’équation
ax2 + bx + c = 0.
- Si Δ > 0, l’équation n’a que deux solutions réelles : −b − √Δ/2a
et −b + √Δ/2a.
- Si Δ = 0, l’équation a une seule solution qui est réelle : −b/2a.
- Si Δ < 0, l’équation n’a pas de solution réelle mais a deux solutions complexes conjuguées qui sont −b − i√|Δ|/2a
et −b + i√|Δ|/2a.
On met sous
forme canonique
ax2 + bx + c
= a((x
+ b/2a)2
− Δ/4a2
).
Or quel que soit le signe du réel Δ, il existe un nombre complexe δ (réel ou imaginaire pur) tel que Δ = δ2 d’où l’on tire
ax2 + bx + c
= a
(x
+ (b + δ)/2a)(x
+ (b − δ)/2a).
La règle d’annulation du produit achève la démonstration.
Approche géométrique
Le plan complexe identifie les points d’un plan euclidien muni d’un repère orthonormé (O, u, v) avec l’ensemble C des nombres complexes, en associant à chaque point M de coordonnées (x, y) son affixe z = x + iy. La longueur OM correspond au module de z. Si M ≠ O, une mesure de l’angle θ = (u, OM) en radians correspond à la longueur de l’arc OM′ sur le cercle trigonométrique parcouru dans le sens positif, où M′ est l’intersection de ce cercle avec la demi-droite [OM).
L’argument d’un nombre complexe z non nul désigne tout nombre réel arg(z) = θ vérifiant les relations
Re(z) = |z| cos(θ) et Im(z) = |z| sin(θ).
Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous forme trigonométrique z = ρ (cos(θ) + i sin(θ)) où ρ est le module de z et θ est un argument de z.
Deux nombres réels θ et θ′ sont deux arguments d’un même nombre complexe non nul si et seulement si leur différence est un multiple de 2π.
Pour tout θ ∈ R, on note eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous forme exponentielle z = ρ eiθ où ρ est le module de z et θ est un argument de z.
Pour tout (θ, θ′) ∈ R2, on a ei(θ+θ′)
= eiθ × eiθ′.
Cette propriété est la traduction en nombres complexes des relations d’addition des angles pour les fonctions sinus et cosinus.
Pour tout réel θ et pour tout n ∈ N on a
(eiθ)n = einθ.
Formules d’Euler
Pour tout réel θ on a
cos(θ) = (eiθ + e−iθ/2
et sin(θ) = (eiθ − e−iθ/2i.
Racines de l’unité
Soit n ∈ N∗.
Il existe exactement n nombres complexes satisfaisant l’équation
zn = 1,
qui sont tous de module 1 et qui s’écrivent
ei 2kπ/n,
avec k ∈ ⟦0 ; n − 1⟧
et qu’on appelle racines n-ièmes de l’unité.
Pour tout
z ∈ C
tel que
zn = 1
on a
|z|n = |1| = 1
donc
|z| = 1
donc
z s’écrit
eiθ.
En outre, pour tout θ ∈ R
on a les équivalences
(eiθ)n = 1
⇔ einθ = ei 0
⇔ k ∈ Z :
nθ = 2kπ.
Et pour tout m ∈ Z,
en notant q et r le quotient et le reste
de la division euclidienne de k par n on trouve
0 ≤ r < n
et k = qn + r
donc ei 2kπ/n
= ei (2qπ + 2rπ/n)
= ei 2rπ/n.
Réciproquement, tout nombre complexe sous cette forme est une racine de l’unité.
Enfin, ces nombres sont tous distincts puisque les arguments de
ei 2kπ/n
et ei 2hπ/n
diffèrent de 2 (k − h) π/n) ∈ ]0 ; 2π[
si 0 ≤ h < k < n.
En particulier, les nombres 1, −1, i et −i sont les quatre racines quatrièmes de l’unité. Les racines troisièmes de l’unité sont les nombres 1,
j = e2i π/3 et j = e−2i π/3.
La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle et le produit de ces racines vaut (−1)n−1.
D’après la formule de la différence des puissances, on a
(ei 2π/n − 1)
× (∑k=0n−1
ei 2kπ/n 1n−1−k)
= ei 2nπ/n − 1n
= 1 − 1 = 0
donc ∑k=0n−1
ei 2kπ/n = 0.
En outre, on a
∏k=0n−1
ei 2kπ/n
= eiS
où S = ∑k=0n−1
2kπ/n)
= 2π/n)
n(n − 1)/2)
= (n − 1)π.
Donc on trouve eiS
= (eiπ)n−1
= (−1)n−1.
Soit ω
= ρ eiθ ∈ C∗
et n ∈ N∗.
Il existe exactement n nombres complexes satisfaisant l’équation
zn = ω,
qui s’écrivent
z = n√ρ
ei(θ+2kπ)/n,
avec k ∈ ⟦0 ; n − 1⟧.
Les nombres proposés sont clairement des racines n-ièmes
de ω.
Réciproquement, pour tout z ∈ C
tel que zn = ω,
le nombre z′
= z/n√ρ)
e−iθ/n
vérifie z′n
= ω/ρ)
e−iθ = 1
donc il existe un entier k entre 0 et n−1
tel que z′
= e−ikπ/n,
donc z a bien la forme annoncée.
Exponentielle complexe
La fonction t ↦ eit est une fonction définie sur R à valeurs dans C dont l’image est le cercle unité, ensemble des nombres complexes de module 1, correspondant au cercle de centre à l’origine et de rayon 1.
Cette fonction est continue au sens où sa partie réelle (cos) et sa partie imaginaire (sin) sont des fonctions continues.
Cette fonction n’est pas à valeurs réelles et ne satisfait pas les conclusions du théorème de Rolle : elle est 2π-périodique donc prend la même valeurs aux extrémités du segment [0 ; 2π] et pourtant sa dérivée t ↦ i eit ne s’annule jamais.