Structures algébriques

Loi de composition interne

Définition

Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E×E vers E, souvent notée de façon infixe (x, y) ↦ x ∗ y.

L'addition et la multiplication sont des lois de composition internes sur les ensembles de nombres N, Z, Q, R et sur C.
La soustraction est une loi de composition interne sur Z, Q, R et sur C, mais pas sur N où la soustraction de 3 à 2 n'est pas définie.
La division ne constitue une loi de composition interne sur aucun des ensembles de nombres usuels, car la division par zéro n'est jamais définie. En revanche, la division fournit une loi de composition interne sur Q^∗, R^∗ et C^∗.
La composition définit une loi de composition sur l'ensemble des fonctions de R dans R, et plus généralement sur l'ensemble des applications d'un ensemble dans lui-même.
L'addition fournit une loi de composition interne sur l'ensemble des vecteurs du plan, mais pas la multiplication scalaire, qui fait interagir des éléments issus d'ensembles différents.
Le produit matriciel induit une loi de composition interne sur l'ensemble des matrices carrées de même taille à coefficients dans R ou C.
L'application qui à tout couple (A, B) de points du plan associe le milieu du segment [AB] définit une loi de composition interne sur le plan euclidien.

Définitions

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée ∗.

On dit que la loi est associative si pour tout (x, y, z) ∈ E³ on a (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

On dit que la loi est commutative si pour tout (x, y) ∈ E² on a x ∗ y = y ∗ x.

L'addition et la multiplication sont associatives et commutatives, mais le produit matriciel n'est pas commutatif.
La soustraction et la division ne sont ni associatives, ni commutatives.
La composition d'applications est associative mais elle n'est en général pas commutative.
L'application milieu ou la distance entre réels constitue une loi de composition commutative mais pas associative.

Définition

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée ∗. Soit e ∈ E. On dit que e est un neutre pour la loi ∗ si pour tout x ∈ E on a x ∗ e = e ∗ x = x.

Le nombre 0 est neutre pour l'addition de nombres, comme le vecteur nul est neutre pour l'addition de vecteurs.
Le nombre 1 est neutre pour la multiplication de nombres.
L'identité est neutre pour la composition d'applications.
La matrice identité est neutre pour le produit matriciel.

Propriété

Une loi de composition interne ne peut admettre deux neutres différents.

Démonstration

Soit e et e′ deux neutres pour une loi de composition interne ∗ sur un ensemble E. On trouve e = e ∗ e′ = e′.

Définition

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne notée ∗ avec un neutre noté e. Soit (x, y) ∈ E². On dit que y est symétrique de x pour la loi ∗ si on a x ∗ y = y ∗ x = e.

Propriété

Un élément donné ne peut avoir qu'un seul symétrique pour une loi et quand c'est le cas, il est le symétrique de son symétrique.

Dans les ensembles de nombres Z, Q, R et C et dans les ensembles de vecteurs, tout élément admet son opposé comme symétrique pour l'addition.
Dans les ensembles de nombres Q, R et C, tout nombre non nul admet son inverse comme symétrique pour la multiplication.
Soit f une application d'un ensemble E dans lui-même. Elle admet un symétrique pour la composition si et seulement si elle est bijective est dans ce cas son symétrique est l'application réciproque.

Groupe

Définitions

Un groupe est un ensemble G muni d'une loi de composition interne associative avec un neutre et pour laquelle tous les éléments de G admettent un symétrique.

Un groupe est dit abélien si sa loi de composition interne est commutative.

Les ensembles de nombres Z, Q, R et C ainsi que les ensembles de vecteurs constituent des groupes abéliens pour l'addition.
Les ensembles Q^∗, R^∗ et C^∗ constituent des groupes abéliens pour la multiplication.
L'ensemble S(E) des bijections d'un ensemble E dans lui-même forme un groupe (non abélien) pour la composition.
L'ensemble des rotations vectorielles du plan euclidien forme un groupe abélien pour la composition.
L'ensemble 𝒢ℒ_n(R) des matrices carrées inversibles de même taille n à coefficients réels forme un groupe pour le produit matriciel.
L'ensemble GL(E) des automorphismes d'un espace vectoriel E forme un groupe pour la composition.

Sauf précision explicite, la composition dans un groupe peut être notée additivement ou multiplicativement.

En notation additive, la loi est généralement notée +, le neutre est noté 0 et le symétrique d'un élément a est noté −a. Cette notation ne s'emploie que dans le cas d'un groupe abélien.
En notation multiplicative, la loi peut être notée avec la croix de multiplication (×), l'astérisque (∗), un point ou un point médian (), voire par simple accolement des variables. Le neutre est noté 1 et le symétrique d'un élément a est noté a⁻¹.

Propriété

Soit G un groupe. En notation multiplicative, pour tout (a, b) ∈ G² on a (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.

Démonstration

On a bien (a ∗ b) ∗ (b⁻¹ ∗ a⁻¹) = a ∗ (b ∗ b⁻¹) ∗ a⁻¹ = a ∗ 1 ∗ a⁻¹ = a ∗ a⁻¹ = 1 et (b⁻¹ ∗ a⁻¹) ∗ (a ∗ b) = b⁻¹ ∗ (a⁻¹ ∗ a) ∗ b = b⁻¹ ∗ 1 ∗ b = b⁻¹ ∗ b = 1.

Cette relation s'écrit en notation additive ∀(a, b) ∈ G², −(a + b) = (−a) + (−b).

Corps commutatif

Définition

Soit K un ensemble muni de deux lois de composition internes notées + et ×. On dit que K forme un corps commutatif si

l'ensemble K forme un groupe abélien pour la loi +,
la loi × est associative et commutative,
la loi × est munie d'un neutre (noté 1) différent de celui de la loi + (noté 0),
la loi × est distributive par rapport à la loi +, c'est-à-dire que pour tout (a, b, c) ∈ K³ on a a × (b + c) = a × b + a × c,
tout élément de K\{0} admet un symétrique pour la loi ×.

Les ensembles de nombres Q, R et C sont des corps pour l'addition et la multiplication.
L'ensemble {pair ; impair} forme un corps pour l'addition et la multiplication des entiers.
L'ensemble K(X) des fractions rationnelles à coefficient dans un corps K forme lui-même un corps.

Remarque

Sauf précision contraire, dans un corps commutatif K, la première loi est notée additivement et la seconde multiplicativement. On définit aussi la soustraction en posant pour tout (a, b) ∈ K², a − b = a + (−b) et la division en posant pour tout (a, b) ∈ K × K^∗, a/b = a × b⁻¹ .

Propriétés

Pour tout a ∈ K on a −a = −1 × a et 0 × a = 0 (l'élément 0 est absorbant pour la multiplication).
Le produit de deux éléments est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.

Définition

On définit les puissances de tout élément a ∈ K par récurrence en posant a⁰ = 1 et pour tout n ∈ N aⁿ⁺¹ = aⁿ × a.

Identités remarquables

Pour tout (a, b) ∈ K², on a :

(a + b)² = a² + b² + 2ab
(a − b)² = a² + b² − 2ab
(a + b)(a − b) = a² − b².

Opérations sur les puissances

∀(b, n, p) ∈ K × N², b^n+p = bⁿ × b^p et (bⁿ)^p = b^n×p
∀(a, b, n) ∈ K² × N, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
∀(a, b, n) ∈ K × K^∗ × N, ((a)/(b))ⁿ = aⁿ/bⁿ

Formule de Bernoulli

∀(a, b, n) ∈ K² × N^∗, aⁿ − bⁿ = (a − b) × (∑_k=0ⁿ⁻¹ a^n−1−kb^k)

On définit aussi les puissances d'exposant négatif en posant pour tout (a, n) ∈ K^∗ × N, a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

On obtient alors une extension des opérations sur les puissances avec des exposants entiers relatifs tant que la base est non nulle.