Applications linéaires

Entre espaces de vecteurs à composantes réelles

Définition

Soit m et n deux entiers naturels non nuls. Une application φ : R^m → Rⁿ est dite linéaire si pour tout (λ, u, v) ∈ R × R^m × R^m on a φ(u + v) = φ(u) + φ(v) et φ(λ.u) = λ.φ(v).
On note L(R^m, Rⁿ) l’ensemble des applications linéaires de R^m vers Rⁿ.

L’application (x, y, z) ↦ (2x + y − 3z, −x + 5z) est une application linéaire de R³ vers R².
Les applications d’identité u ↦ u sont linéaires sur chaque espace Rⁿ.
Pour tout (m, n) ∈ (N^∗)², l’application nulle de R^m vers Rⁿ est linéaire.
Pour tout n ∈ N^∗, pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, la projection (x₁, … , x_n) ↦ x_i est linéaire.

Remarque

Une application φ : R^m → Rⁿ est linéaire si chacune des composantes de l’image d’un vecteur est une combinaison linéaire des composantes du vecteur avec des coefficients constants.

Généralisation

Définition

Soit φ ∈ L(R^m, Rⁿ). Le noyau de φ, noté Ker(φ), est l’ensemble des antécédents du vecteur nul.

Propriété

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul.

Définition

Soit m et n deux entiers naturels non nuls. On note (e₁, … , e_m) la base canonique de R^m.

La matrice représentative canonique d’une application linéaire φ ∈ L(R^m, Rⁿ) est la matrice M = (m_i,j)_{1≤i≤n, 1≤j≤m} définie par la relation φ(e_j) = (m_1,j, m_2,j, … , m_n,j).

L’application linéaire (x, y, z) ↦ (2x + y − 3z, −x + 5z) est représentée par la matrice [[2 ;1 ;−3 ;]][−1 ;0 ;5 ;]].
Les applications d’identité sont représentées canoniquement par les matrices identité.
Les applications nulles sont représentées canoniquement par les matrices nulles.
Les projections sont représentées par les matrices lignes élémentaires [[0 ;… ;0 ;1 ;0 ;… ;0 ;]].

Propriété

Soit f ∈ L(R^m, Rⁿ) et g ∈ L(Rⁿ, R^p) représentées canoniquement par les matrices respectives A ∈ ℳ_n,m(R) et B ∈ ℳ_p,n(R). La composée g ∘ f est représentée par la matrice produit B × A.

Démonstration

En notant (e₁, … , e_m) la base canonique de R^m, avec A = (a_i,j)_{1≤i≤n, 1≤j≤m} et B = (b_i,j)_{1≤i≤p, 1≤j≤n}, on trouve pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧, (g ∘ f)(e_j) = g(f(e_j)) = g(a_1,j, a_2,j, … , a_n,j) = ∑_k=1ⁿ a_k,jg(e_k) = (∑_k=1ⁿ a_k,j b_1,k, … , ∑_k=1ⁿ a_k,j b_p,k) .

Dans tout ce cours, on considère deux entiers naturels non nuls m et n, un sous-espace vectoriel E de R^m et un sous-espace vectoriel F de Rⁿ, mais les résultats restent valables si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie.

Définition

Une application φ : E → F est dite linéaire si pour tout (λ, u, v) ∈ R × E² on a φ(u + v) = φ(u) + φ(v) et φ(λ.u) = λ.φ(v).
On note L(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E vers F.

L’application (x, y, z) ↦ (2x + y − 3z, −x + 5z) est une application linéaire de R³ vers R².
Les applications d’identité u ↦ u sont linéaires sur chaque espace Rⁿ.
Pour tout (m, n) ∈ (N^∗)², l’application nulle de R^m vers Rⁿ est linéaire.
Pour tout n ∈ N^∗, pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, la projection (x₁, … , x_n) ↦ x_i est linéaire.

Définition

Soit φ ∈ L(E, F). Le noyau de φ, noté Ker(φ), est l’ensemble des antécédents du vecteur nul.

Propriété

L’image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’ensemble but. La préimage d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’ensemble de départ. En particulier, l’image et le noyau d’une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels.

Démonstration

Soit φ ∈ L(E, F). est un sous-espace vectoriel Im(φ) ⊂ F.

Propriété

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul.

Démonstration

Soit φ ∈ L(E, F). On procède par double implication.

Si φ est injective, alors pour tout x ∈ Ker(φ) on a φ(x) = 0 = φ(0) donc par injectivité on trouve x = 0.

Réciproquement, si Ker(φ) = {0} alors pour tout (x, x′) ∈ E² tel que φ(x) = φ(x′) on a φ(x − x′) = φ(x) − φ(x′) = 0 donc x − x′ ∈ Ker(φ) donc x − x′ = 0 donc x = x′. Donc φ est injective.

Image d'une base par une application linéaire

Si E est muni d'une base (e₁, …, e_k), soit φ une application linéaire de E vers F. On a les équivalences suivantes.

L'application φ est injective si et seulement si la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est libre.
L'application φ est surjective si et seulement si la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est génératrice dans F.
L'application φ est un isomorphisme si et seulement si la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est une base de F.

Démonstration

On procède par double implication dans chacun des deux premiers cas. Le troisième cas combine les deux premiers.

Supposons que l'application φ est injective. Soit (λ₁, …, λ_k) ∈ R^k tel que ∑_i=1^k λ_i.φ(e_i) = 0. Alors on trouve φ(∑_i=1^k λ_i.e_i) = 0 donc ∑_i=1^k λ_i.e_i = 0 donc pour tout i, λ_i = 0. Donc la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est libre.
Réciproquement, supposons que la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est libre. Soit x ∈ Ker(φ). Il existe (λ₁, …, λ_k) ∈ R^k tel que x = ∑_i=1^k λ_i.e_i donc 0 = φ(x) = ∑_i=1^k λ_i.φ(e_i) donc pour tout i, λ_i = 0 donc x = 0. Donc φ est injective.
Supposons que l'application φ est surjective. Soit y ∈ F. Il existe x ∈ E tel que φ(x) = y et il existe (λ₁, …, λ_k) ∈ R^k tel que x = ∑_i=1^k λ_i.e_i donc y = φ(x) = ∑_i=1^k λ_i.φ(e_i). Donc la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est génératrice.
Réciproquement, supposons que la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est génératrice dans F. Soit y ∈ F. Il existe (λ₁, …, λ_k) ∈ R^k tel que y = ∑_i=1^k λ_i.φ(e_i) = φ(∑_i=1^k λ_i.e_i) ∈ Im(φ). Donc φ est surjective.

Propriété

Si E est muni d'une base (e₁, …, e_k). L'application (λ₁, … , λ_k) ↦ ∑_i=1^k λ_i.e_i constitue un isomorphisme entre R^k et E.

Démonstration

La base (e₁, … , e_k) est l’image par φ de la base canonique de R^k donc φ est bijective.

Vecteurs et matrices représentatives

Définition

Soit (e₁, … , e_n) une base de E.

Pour tout vecteur x ∈ E, s'écrivant x = ∑_i=1ⁿ λ_i e_i, on dit que x est représenté par la matrice colonne [[λ₁] ⋮ [λ_n]] dans la base (e₁, … , e_n).

Si (x₁, … , x_p) est une famille de vecteurs de E, respectivement représentés par les matrices colonnes (X₁, … , X_p) la matrice représentative de cette famille est obtenue en accolant ces matrices colonnes dans l'ordre.

Exemple

Les quatre fonctions polynômes définies par f(x) = x² + 1, g(x) = 2x² − x + 3, h(x) = 9 et k(x) = 5x − 1 sont respectivement représentées par les vecteurs colonnes 1 0 1, 3 −1 2, 9 0 0 et −1 5 0 dans la base canonique de R₂(x), donc la matrice représentative de la famille (f, g, h, k) est la matrice 139−1 0−105 1200.

Soient ℬ = (e₁, … , e_m) une base de E et ℬ′ = (e′₁, … , e′_n) une base de F.
La matrice représentative d’une application linéaire φ ∈ L(E, F) entre les bases ℬ et ℬ′ est la matrice obtenue en juxtaposant les vecteurs colonnes représentant les vecteurs φ(e₁), … , φ(e_m) dans la base (e′₁, … , e′_n). Autrement dit, il s'agit de la matrice A = (a_{i, j}) ∈ ℳ_{n, m}(R), notée M_ℬ,ℬ′(φ), telle que pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧, φ(e_j) = ∑_i=1ⁿ a_{i, j}.e′_i.

Propriété

Si x est un vecteur de E représenté par la matrice colonne X ∈ R^m dans la base ℬ et si φ est une application linéaire de E vers F représentée par la matrice A entre les bases ℬ et ℬ′, alors le vecteur φ(x) est représenté par la matrice colonne AX dans la base ℬ′.

Propriété

Soit φ une application linéaire de E vers F représentée par la matrice M entre les bases ℬ et ℬ′. Soit ψ une application linéaire de F vers G représentée par la matrice N entre les bases ℬ′ et ℬ″.
La composée ψ ∘ φ est représentée par le produit N × M entre les bases ℬ et ℬ″.

Attention, le produit de deux matrices représentatives ne suit pas la relation de Chasles à laquelle on s'attendrait : M_{ℬ′,ℬ″}(ψ) × M_ℬ,ℬ′(φ) = M_ℬ,ℬ″(ψφ).

Propriété

Si E et F deux espaces vectoriels munis des bases respectives ℬ = (e₁, … , e_p) et ℬ′ = (e′₁, … , e′_n), l'application φ ↦ M_{ℬ, ℬ′}(φ), qui à toute application linéaire associe sa matrice représentative, définit un isomorphisme entre L(E, F) et ℳ_n,p(K).

Changement de base

Soit E un espace vectoriel muni de deux bases ℬ et ℬ′. La matrice de changement de base ou matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′ est la matrice représentative de la base ℬ′ dans la base ℬ. Autrement dit, il s'agit de la matrice M_ℬ′,ℬ(Id_E), parfois notée P_ℬ^ℬ′.

Cette matrice est facile à calculer lorsque l'on connait les coordonnées de la nouvelle base ℬ′ dans l'ancienne base ℬ et permet de calculer les coordonnées dans l'ancienne base de vecteurs dont on connait les coordonnées dans la nouvelle base.

Propriété

Si un vecteur est représenté par X dans la base ℬ et par X′ dans la base ℬ′ alors on a X = P_ℬ^ℬ′ X′.

Propriété

Soit E un espace vectoriel muni d'une base ℬ. Soit φ ∈ L(E) un endomorphisme représenté par la matrice A dans la base ℬ. Soit ℬ′ une autre base de E.
On note P la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′. Alors la matrice représentative de φ dans la base ℬ′ s'écrit P⁻¹AP.

Les matrices représentatives d'un même endomorphisme dans différentes bases sont des matrices semblables.