Espaces vectoriels

Structure

Définition

Un espace vectoriel (réel) est un ensemble E dont les éléments sont appelés vecteurs, muni d’une addition associative et commutative, d’un vecteur nul 0 neutre pour l’addition, et d’une multiplication scalaire qui associe à tout scalaire λ ∈ R et à tout vecteur u ∈ E, un vecteur λ·u ∈ E, en satisfaisant les propriétés suivantes :

tout vecteur u admet un opposé −u tel que u + (−u) = 0 ;
la multiplication scalaire est distributive par rapport à l'addition dans R et par rapport à l'addition dans E : pour tout (λ, μ, u, v) ∈ R² × E², on a (λ + μ)·u = λ·u + μ·u et λ·(u + v) = λ·u + λ·v ;
la multiplication scalaire est compatible avec la multiplication dans R : pour tout (λ, μ, u) ∈ R² × E, on a (λ × μ)·u = λ·(μ·u) et 1·u = u.

Le singleton {0} est un espace vectoriel appelé espace vectoriel nul.
Pour tout n ∈ N^∗, l’ensemble Rⁿ est un espace vectoriel.
Pour tout (m, n) ∈ (N^∗)², l’ensemble ℳ_n,m(R) des matrices à n lignes et m colonnes est un espace vectoriel.
L’ensemble C est un espace vectoriel réel.
Si A est un ensemble non vide quelconque et E un espace vectoriel, l'ensemble 𝓕(A, E) des applications de A dans E est un espace vectoriel pour l’addition des valeurs et la multiplication scalaire des valeurs. En particulier, l’ensemble ℱ(R, R) des fonctions de R dans R et l’ensemble R^N des suites réelles sont aussi des espaces vectoriels.
L’ensemble des variables aléatoires (discrètes ou à densité) qui admettent une espérance est un espace vectoriel.

Propriété

Pour tout u ∈ E, on a 0·u = 0 et (−1)·u = −u.

Démonstration

On a 1·u + 0·u = (1 + 0)·u = 1·u donc par soutraction on trouve bien 0·u = 0.
Ensuite, on a u + (−1)·u = 1·u + (−1)·u = (1 + (−1))·u = 0·u = 0.

Propriété

Si E et F sont deux espaces vectoriels alors le produit cartésien E × F est aussi un espace vectoriel pour l'addition (u, v) + (u′, v′) = (u + u′, v + v′) et pour la multiplication scalaire λ·(u, v) = (λ·u, λ·v).
Plus généralement, pour tout p ∈ N*, l'ensemble E^p des listes de p éléments de E est un espace vectoriel pour l'addition terme à terme et la multiplication scalaire sur chaque composante.

Sous-espace vectoriel

Définition

Soit E un espace vectoriel. On appelle sous-espace vectoriel de E toute partie F non vide et stable par addition et par multiplication scalaire.

En particulier, tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul.

L'espace vectoriel nul est un sous-espace vectoriel de tout espace vectoriel.
Tout espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de lui-même.
Les droites R et Ri sont des sous-espaces vectoriels réels de C.
L'ensemble 𝓒⁰(I, R) des fonctions réelles continues sur un intervalle réel I non vide, forme un sous-espace vectoriel de 𝓕(I, R).
L'ensemble 𝓓¹(I, R) des fonctions réelles dérivables sur I est lui-même un sous-espace vectoriel de 𝓒⁰(I, R).
L'ensemble des suites réelles convergentes forme un sous-espace vectoriel de l'ensemble R^N des suites réelles.
Pour tout n ∈ N, l'ensemble R_n[x] des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n forme un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions polynômes.

En pratique, pour démontrer qu'un ensemble constitue un espace vectoriel, on se contente d’utiliser la propriété suivante.

Propriété

Soit E un espace vectoriel. Soit F une partie non vide de E. Si pour tout (λ, u, v) ∈ R × F² on a λ·u + v ∈ F, alors F est un sous-espace vectoriel de E.

Démonstration

Comme F est non vide, elle contient un vecteur x donc elle contient (−1)·x + x = 0. Par conséquent, pour tout (λ, u) ∈ R × E elle contient λ.u + 0 = λ.u.
Et pour tout (u, v) ∈ F² on a u + v = 1.u + v ∈ F.
Finalement, l'ensemble F est bien un sous-espace vectoriel de E.

Si G est un sous-espace vectoriel de F qui est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E, alors G est un sous-espace vectoriel de E.

Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E, alors leur intersection F ∩ G est encore un sous-espace vectoriel de E.
Plus généralement, si (F_i) est une famille de sous-espaces vectoriels de E alors leur intersection F = ⋂_i F_i est encore un sous-espace vectoriel de E.

On applique le critère donné ci-dessus.

Tout sous-espace vectoriel contient le vecteur nul donc 0 ∈ F donc F est non vide.

Soit (λ, u, v) ∈ R × F². En particulier, pour tout i, on a u ∈ F_i et v ∈ F_i donc λ.u + v ∈ F_i.
Finalement, λ.u + v ∈ ⋂_i F_i = F.

En revanche, l'union de deux sous-espaces vectoriels n'est presque jamais un sous-espace vectoriel, sauf si l'un est inclus dans l'autre.

Application linéaire

Définition

Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit φ : E → F. On dit que φ est linéaire si elle vérifie pour tout (λ, u, v) ∈ R × E², φ(u + v) = φ(u) + φ(v) et φ(λ·u) = λ·φ(u).
On note L(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E vers F.

En pratique, on vérifie directement la relation φ(λ·u + v) = λ·φ(u) + φ(v).

Soient E et F deux espaces vectoriels. L’application nulle x ↦ 0 est linéaire.
Pour tout ensemble D ⊂ R, pour tout a ∈ D, l’application d’évaluation f ↦ f(a) est linéaire de ℱ(D, R) vers R.
La dérivation est une application linéaire de 𝒟¹(I, R) vers ℱ(I, R).
Pour tout (a, b) ∈ R² tel que a < b, l’intégration f ↦ ∫_a^b f(t) dt est une application linéaire de 𝒞⁰([a, b], R) vers R.
Si I et J sont deux intervalles de R et si u est une fonction de I vers J, la composition à droite f ↦ f ∘ u définit une application linéaire de ℱ(J, R) vers ℱ(I, R).
L’opérateur de limite est une application linéaire de l’ensemble des suites réelles convergentes vers R.
L’application transposition M ↦ M^T est linéaire de ℳ_n,p(R) vers ℳ_p,n(R).
L’espérance est linéaire de l’espace des variables aléatoires qui en admettent une vers R.

Propriété

L’ensemble L(E, F) est lui-même un espace vectoriel.

Propriété

La restriction d’une application linéaire à un sous-espace vectoriel de son espace de départ est encore une application linéaire.

On retrouve aussi toutes les propriétés démontrées pour les applications linéaires entre espaces de vecteurs à composantes réelles.

Propriété

La composée de deux applications linéaires est linéaire.

Propriété

Soit φ ∈ L(E, F). Pour tout sous-espace vectoriel G ⊂ E, l’image φ(G) = {φ(x), x ∈ G} est un sous-espace vectoriel de F.
Pour tout sous-espace vectoriel H ⊂ F, la préimage φ⁻¹(H) = {x ∈ E : φ(x) ∈ H} est un sous-espace vectoriel de E.

En particulier, l’image Im(φ) = φ(E) et le noyau Ker(φ) = φ⁻¹({0}) sont des sous-espaces vectoriels.

Propriété

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est nul.

Définition

Un isomorphisme (d’espaces vectoriels) est une application linéaire bijective.

Soit F un sous-espace vectoriel non nul de Rⁿ. Soit ℬ = (e₁, … , e_p) une base de F. L’application qui à tout vecteur de F associe ses coordonnées dans la base ℬ définit un isomorphisme entre F et R^p.
L’application qui à toute application linéaire de R^m vers Rⁿ associe sa matrice représentative définit un isomorphisme entre L(R^m, Rⁿ) et ℳ_n,m(R).

Propriété

La composée de deux isomorphismes est encore un isomorphisme.

Propriété

L’application réciproque d’un isomorphisme est aussi un isomorphisme.

Définition

Deux espaces vectoriels E et F sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme entre E et F.

Propriété

Tout espace vectoriel est isomorphe à lui-même.
Deux espaces vectoriels isomorphes à un même troisième sont isomorphes entre eux.

Famille de vecteurs

Définitions

Soit E un espace vectoriel et p ∈ N^∗. Soit (x₁, … , x_p) ∈ E^p et (λ₁, … , λ_p) ∈ R^p.

La combinaison linéaire sur les vecteurs x₁, … , x_p avec les coefficients λ₁, … , λ_p s’écrit ∑_k=1^p λ_kx_k.

La famille (x₁, … , x_p) est dite libre si la seule combinaison linéaire nulle sur ces vecteurs est celle avec des coefficients nuls. Elle est dite liée dans le cas contraire.

La famille (x₁, … , x_p) est dite génératrice de E si E est l’ensemble des combinaisons linéaires sur ces vecteurs et dans ce cas on note E = Vect(x₁, … , x_p).

Une base de E est une famille à la fois libre et génératrice.

L’espace ℳ_n,p(R) admet pour base la famille des matrices élémentaires (E_i,j) avec 1≤i≤n et 1≤j≤p.
L’espace C admet pour base le couple (1, i).

Propriété

Une famille de vecteurs (x₁, … , x_p) ∈ E^p est une base si et seulement si pour tout vecteur y ∈ E il existe une unique famille de coefficients (λ₁, … , λ_p) ∈ R^p telle que ∑_k=1^p λ_kx_k = y.

Démonstration

On procède comme pour la caractérisation des bases dans Rⁿ.

Théorème de la base incomplète: Soit E un espace vectoriel admettant une famille libre ℱ et une famille génératrice 𝒢 (éventuellement vides). Il existe alors une base de E constituée des vecteurs de ℱ et de certains des vecteurs de 𝒢.

Démonstration

On procède comme pour la démonstration du théorème dans Rⁿ.

Propriété

Soit E et F deux espaces vectoriels. Soit (e₁, … , e_n) une base de E.
Pour tout (y₁, … , y_n) ∈ Fⁿ il existe une unique application linéaire φ ∈ L(E, F) telle que pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧ on ait φ(e_i) = y_i.

Image d'une base par une application linéaire

Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit (e₁, …, e_n) une base de E et φ ∈ L(E, F). On a les équivalences suivantes.

L'application φ est injective si et seulement si la famille (φ(e₁), …, φ(e_n)) est libre.
L'application φ est surjective si et seulement si la famille (φ(e₁), …, φ(e_n)) est génératrice dans F.
L'application φ est bijective si et seulement si la famille (φ(e₁), …, φ(e_n)) est une base de F.

Démonstration

On procède par double implication dans chacun des deux premiers cas. Le troisième cas combine les deux premiers.

Supposons que l'application φ est injective. Soit (λ₁, …, λ_k) ∈ R^k tel que ∑_i=1^k λ_i.φ(e_i) = 0. Alors on trouve φ(∑_i=1^k λ_i.e_i) = 0 donc ∑_i=1^k λ_i.e_i = 0 donc pour tout i, λ_i = 0. Donc la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est libre.
Réciproquement, supposons que la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est libre. Soit x ∈ Ker(φ). Il existe (λ₁, …, λ_k) ∈ R^k tel que x = ∑_i=1^k λ_i.e_i donc 0 = φ(x) = ∑_i=1^k λ_i.φ(e_i) donc pour tout i, λ_i = 0 donc x = 0. Donc φ est injective.
Supposons que l'application φ est surjective. Soit y ∈ F. Il existe x ∈ E tel que φ(x) = y et il existe (λ₁, …, λ_k) ∈ R^k tel que x = ∑_i=1^k λ_i.e_i donc y = φ(x) = ∑_i=1^k λ_i.φ(e_i). Donc la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est génératrice.
Réciproquement, supposons que la famille (φ(e₁), …, φ(e_k)) est génératrice dans F. Soit y ∈ F. Il existe (λ₁, …, λ_k) ∈ R^k tel que y = ∑_i=1^k λ_i.φ(e_i) = φ(∑_i=1^k λ_i.e_i) ∈ Im(φ). Donc φ est surjective.

Propriété

Si E est muni d'une base (e₁, …, e_k). L'application (λ₁, … , λ_k) ↦ ∑_i=1^k λ_i.e_i constitue un isomorphisme entre R^k et E.

Démonstration

La base (e₁, … , e_k) est l’image par φ de la base canonique de R^k donc φ est bijective.

Propriété

Soit φ un isomorphisme entre deux espaces vectoriels E et F.
Une famille de vecteurs (x₁, … , x_p) ∈ E^p est libre (resp. génératrice de E, resp. une base de E) si et seulement si la famille (φ(x₁), … , φ(x_p)) est libre (resp. génératrice de F, resp. une base de F).

Dimension finie

Définition

Un espace vectoriel (réel) E est dit de dimension finie s’il est nul ou s’il admet une famille génératrice finie.

Propriété

Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s’il existe un entier n ∈ N et un isomorphisme φ : Rⁿ → E. Dans ce cas, toutes les bases de E sont constituées de n vecteurs.

Démonstration

Si E admet une famille génératrice alors par théorème de la base incomplète, il admet une base ℬ, donc il existe une application linéaire φ ∈ L(Rⁿ, E) qui associe aux vecteurs de la base canonique de Rⁿ ceux de la base ℬ, donc φ est un isomorphisme.
Réciproquement, s’il existe un isomorphisme φ ∈ L(Rⁿ, E) alors les images des vecteurs de la base canonique de Rⁿ constituent une base de E. En outre, l’isomorphisme φ⁻¹ envoie chaque base de E sur une base de Rⁿ donc toutes les bases de E sont constituées de n vecteurs.

Définition

On appelle dimension d’un espace vectoriel E le nombre de vecteurs dans chacune de ses bases et on la note dim(E).

L’ensemble C est un espace vectoriel réel de dimension 2.
Pour tout (n, p) ∈ (N^∗)² on a dim(ℳ_n,p(R)) = n × p.
Pour tout n ∈ N^∗ on retrouve dim(Rⁿ) = n.
Pour tout n ∈ N, on a dim(R_n[x]) = n + 1.

L’isomorphisme assure aussi que toutes les propriétés énoncées sur les familles de vecteurs dans Rⁿ s’étendent aux espaces vectoriels de dimension n : toute famille libre est constituée d’au plus n vecteurs, toute famille génératrice est constituée d’au moins n vecteurs, toute famille libre ou génératrice et constituée d’exactement n vecteurs est une base.

Propriété

Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension.

Propriété

Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors E × F aussi et on a dim(E × F) = dim(E) + dim(F).

Propriété

Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors L(E, F) aussi et on a dim(L(E, F)) = dim(E) × dim(F).

Propriété

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace vectoriel de E est aussi de dimension finie, inférieure à celle de E.
Le seul sous-espace vectoriel de E qui a la même dimension est E lui-même.

Rang

Définitions

Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension de l’espace vectoriel engendré.
Le rang d’une application linéaire φ est la dimension de son image, si elle existe. On la note alors rg(φ).

Théorème du rang: Soit E et F deux espaces vectoriels et φ ∈ L(E, F).
Si E est de dimension finie alors Im(φ) aussi et on a dim(E) = dim(Ker(φ)) + rg(φ).

Démonstration

On procède comme dans le cas des applications matricielles.

Propriété

Si φ ∈ L(E, F) est une application linéaire injective, tout sous-espace vectoriel de E a la même dimension que son image.

Démonstration

Soit G un sous-espace vectoriel de E. L’application induite ^~φ ∈ L(G, φ(G)) est un isomorphisme donc dim(G) = dim(φ(G)).

Endomorphisme

Définition

Soient E un espace vectoriel. Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E.

L’identité x ↦ x est un endomorphisme sur n’importe quel espace vectoriel E.
La dérivation définit un endomorphisme sur l’espace des polynômes.
L’application de renversement, qui à toute fonction f : R → R associe la fonction x ↦ f(−x) est un endomorphisme de ℱ(R, R).
Pour tout ensemble D ⊂ R non vide, pour toute fonction g : D → R, la multiplication f ↦ f × g est un endomorphisme de ℱ(D, R).
L’application de décalage, qui à toute suite (u_n)_n∈N associe la suite (u_n+1)_n∈N est un endomorphisme de R^N.
La sommation, qui à toute suite (u_n)_n∈N associe la suite des sommes partielles (∑_k=0ⁿu_k)_n∈N est un endomorphisme de R^N.

Propriété

Soit E un espace vectoriel. La composition définit une opération associative mais en général non commutative sur L(E), distributive par rapport à l’addition et admettant l’identité pour neutre.

Pour tout u ∈ L(E), on note u⁰ = id_E et pour tout k ∈ N, on note u^k+1 = u ∘ u^k.
Cette notation ne doit pas être confondue avec la puissance comme répétition de multiplication.