Définitions
Une application f est la donnée d’un ensemble de départ ou ensemble source E, d’un ensemble d’arrivée ou ensemble but F et d’un graphe Γ inclus dans E×F tel que pour tout élément x ∈ E il existe un unique y ∈ F, appelé image de x et noté f(x), pour lequel (x, y) ∈ Γ. Dans ce cas, on dit que x est un antécédent de y.
Lorsque les ensembles source et but sont définis par une liste exhaustive, une application peut être représentée par un diagramme sagittal, dans lequel on trace une flèche entre chaque élément de la source et son image. Une application peut aussi être définie par une expression, notamment dans le cadre des fonctions numériques.
L'ensemble des applications de E dans F peut être noté ℱ(E, F) mais s'identifie à l'ensemble FE des familles d'éléments de F indexées par E.
Deux applications f et g sont égales si elles ont même ensemble source, même ensemble but et si pour tout x dans l’ensemble source on a f(x) = g(x).
Injectivité, surjectivité, bijectivité
Elle est dite surjective si tout élément de l’ensemble but a au moins un antécédent.
Elle est dite injective si tout élément de l’ensemble but a au plus un antécédent, c’est-à-dire si deux éléments distincts de la source ont toujours deux images distinctes.
Elle est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si tout élément de l’ensemble but admet exactement un antécédent. Dans ce cas, l’application réciproque de f, notée f−1, est l’application qui à tout élément y ∈ F associe son antécédent par f.
- L’application identité sur un ensemble E, notée idE , est l’application bijective de E dans E définie pour tout x ∈ E par idE(x) = x. Son graphe est la diagonale de E : ΔE = {(x, x), x ∈ E} ⊂ E × E.
- Les projections d’un produit cartésien E × F sur son premier ou son deuxième facteur sont les applications définies pour tout (x, y) ∈ E × F par pr1(x, y) = x ∈ E et pr2(x, y) = y ∈ F. Elles sont surjectives dès lors que les deux facteurs sont non vides.
Images directe et réciproque
Soit f ∈ 𝓕(E, F). Pour tout A ∈ 𝓟(E), l’image directe de A par f est l’ensemble des images des éléments de A et se note f(A) = {f(x), x ∈ A}.
Pour tout B ∈ 𝓟(F), l’image réciproque de B par f est l’ensemble des antécédents des éléments de B et se note f−1(B) = {x ∈ E : f(x) ∈ B}.
Autrement dit, une application est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble but.
Pour tout (A, B) ∈ 𝓟(E)2 on a f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) et f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B).
Pour tout (A, B) ∈ 𝓟(F)2 on a f−1(A ∪ B) = f−1(A) ∪ f−1(B) et f−1(A ∩ B) = f−1(A) ∩ f−1(B).
Un contre-exemple à l'égalité pour l'intersection des images directes est donné par la fonction carré avec les parties R+ et R−.
Composition
La composée de f par g, notée g ∘ f ∈ 𝓕(E, G) est l'application définie par ∀x ∈ E, (g ∘ f)(x) = g(f(x)) ∈ G.
- f : x ↦ √(x − 1)
- g : 1 + (1)(x)
- h : x2 + 1
Supposons que f et g sont injectives. Soit (x, x′) ∈ E2 tel que (g ∘ f)(x) = (g ∘ f)(x′) c'est-à-dire g(f(x)) = g(f(x′)). Alors par injectivité de g on trouve f(x) = f(x′) donc par injectivité de f on obtient x = x′. Finalement, la composée g∘f est bien injective.
Supposons maintenant que f et g sont surjectives. Soit z ∈ G. Puisque g est surjective, il existe y ∈ F tel que g(y) = z. Puisque f est surjective, il existe x ∈ E tel que f(x) = y, donc g(f(x) = z. Finalement, la composée g ∘ f est surjective.
- Si la composée g ∘ f est injective alors f est injective.
- Si la composée g ∘ f est surjective alors g est surjective.