Matrices

Pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², on appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans R toute famille (a_i,j)_{1≤i≤n, 1≤j≤p} d'éléments de R et on note ℳ_n,p(R) l'ensemble de ces matrices.

On appelle matrice colonne toute matrice à une seule colonne et matrice ligne toute matrice à une seule ligne. Les vecteurs de composantes réelles sont identifiés tantôt à des matrices lignes, tantôt à des matrices colonnes.

On appelle matrice élémentaire toute matrice dont un seul coefficient vaut 1 et tous les autres sont nuls. Si ce coefficient est sur la ligne l et la colonne m, on note habituellement cette matrice E_l,m.

Les coefficients peuvent éventuellement être définis à l’aide du symbole de Kronecker : pour tout i ≠ j, on pose δ_i,j = 0 et pour tout i, δ_i,i = 1. En particulier, les matrices élémentaires peuvent alors s’écrire : E_l,m = (δ_i,l δ_j,m).

Opérations

Structure linéaire

Pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², on définit la somme de deux matrices à n lignes et p colonnes par (a_i,j) + (b_i,j) = (a_i,j + b_i,j).

Propriété

Pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², l'addition est associative et commutative sur ℳ_n,p(R) avec pour neutre la matrice nulle (dont tous les coefficients sont nuls). En outre, toute matrice A = (a_{i, j}) a une opposée −A = (−a_{i, j})

Pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², et pour tout λ ∈ R, on définit la multiplication scalaire d'une matrice à n lignes et p colonnes par λ·(a_{i, j}) = (λ × a_{i, j}).

Propriété

L'ensemble ℳ_{n, p}(R) des matrices à n lignes et p colonnes est un espace vectoriel, c'est-à-dire qu’il satisfait les propriétés suivantes :

l’addition est associative et commutative avec une matrice nulle et toute matrice A = (a_i,j) a une matrice opposée −A = (−a_i,j)
la multiplication scalaire est distributive par rapport à l'addition dans R et l'addition matricielle,
pour tout A ∈ ℳ_{n, p}(R), on a 1·A = A et pour tout (λ, μ) ∈ R², λ·(μ·A) = (λ × μ)·A.

En particulier, pour toute matrice A = (a_i,j) ∈ ℳ_n,p(R), on a A = ∑_{1≤i≤n, 1≤j≤p} a_i,j E_i,j.

On a la décomposition suivante :
[[1 ;2][0 ;−1]] = [[1 ;0][0 ;0]] + [[0 ;2][0 ;0]] + [[0 ;0][0 ;−1]] = E_1,1 + 2 E_1,2 + 0.E_2,1 − E_2,2.

Produit matriciel

Pour tout (n, p, q) ∈ (N^∗)³, on définit le produit matriciel de deux matrices A = (a_i,j) ∈ ℳ_n,p(R) et B = (b_i,j) ∈ ℳ_p,q(R) par A × B = (∑_k=1^p a_i,k b_k,j) ∈ ℳ_n,q(R).

Propriété

Le produit matriciel est associatif, c'est-à-dire que pour tout (n, p, q, r) ∈ (N^∗)⁴, pour tout A ∈ ℳ_n,p(R), B ∈ ℳ_p,q(R) et C ∈ ℳ_q,r(R) on a A × (B × C) = (A × B) × C.

Propriété

Le produit matriciel est bilinéaire, c'est-à-dire que pour tout (n, p, q) ∈ (N^∗)³,

si A ∈ ℳ_n,p(R) avec (B, C) ∈ ℳ_p,q(R)² et λ ∈ R, alors A × (λ·B + C) = λ·(A × B) + A × C,
si (A, B) ∈ ℳ_n,p(R)² avec C ∈ ℳ_p,q(R) et λ ∈ R, alors (λ·A + B) × C = λ·(A × C) + B × C.

Propriété

Pour tout (l, m, n, p, q, r, s) ∈ (N^∗)⁷, si E_l,m ∈ ℳ_n,p(R) et E_r,s ∈ ℳ_p,q(R) avec m ≠ r, alors E_l,m × E_r,s est la matrice nulle, mais E_l,m × E_m,s = E_l,s∈ ℳ_n,q(R).

Démonstration

Pour tout (i, j) ∈ N² tel que 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ q, le coefficient de la ligne i et de la colonne j dans E_l,m × E_r,s s'écrit ∑_k=1^p δ_i,l δ_k,m δ_k,r δ_j,s = δ_i,l δ_m,r δ_j,s donc tous les coefficients sont nuls en dehors de celui de la ligne l et de la colonne s, qui vaut δ_m,r.

Transposée

Définition

Pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², la transposée d'une matrice A = (a_i,j) ∈ ℳ_{n, p}(R) est la matrice (a_j,i) ∈ ℳ_{p, n}(R), en général notée ^tA ou A^T, obtenue en intervertissant lignes et colonnes.

Propriétés

L’application de transposition A ↦ A est involutive : pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², pour tout A ∈ ℳ_{n, p}(R), (A^T)^T = A.
L’application de transposition est linéaire : pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², pour tout (A, B) ∈ ℳ_n,p(R)² et λ ∈ R, (λ·A + B)^T = λ·A^T + B^T.
La transposée du produit est égale au produit des transposées mais en renversant l’ordre des facteurs : pour tout (n, p, q) ∈ (N^∗)³, pour tout A ∈ ℳ_{n, p}(R) et B ∈ ℳ_{p, q}(R), (A × B)^T = B^T × A^T.

Interprétations vectorielles

Propriété

Tout système de n équations linéaires sur les inconnues (x₁, … , x_p) peut s’écrire sous forme matricielle AX = B où A est la matrice des coefficients des inconnues dans le système et B est le vecteur colonne listant les seconds membres des équations.

Démonstration

En notant A = (a_i,j) ∈ ℳ_n,p(R) la matrice des coefficients du système
et B = [[b₁][⋮][b_p]] le vecteur des seconds membres, avec X = [[x₁][⋮][x_p]], l’équation matricielle s’écrit pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, ∑_j=1^p a_i,jx_j = b_i.

Définition

Pour toute matrice A = (a_i,j) ∈ ℳ_n,p(R), le système associé est le système homogène d’équations ∑_j=1^p a_i,jx_j = 0 d’inconnues x₁, … , x_p avec i ∈ ⟦1 ; n⟧.

Propriété

Les différentes opérations élémentaires sur les systèmes correspondent dans l’interprétation matricielle à la multiplication à gauche par des matrices précisées ci-dessous :

pour l’interversion des lignes i et j, la matrice de permutation P_i,j = I_n − E_i,i − E_j,j + E_i,j + E_j,i ;
pour l’ajout des coefficients de la ligne j multipliés par un réel λ sur la ligne i ≠ j, la matrice de transvection T_i,j,λ = I_n + λ·E_i,j ;
pour la multiplication de la ligne i par un coefficient non nul λ, la matrice de dilatation D_i,λ = I_n + (λ − 1)E_i,i.

P_i,j = [[[[1 ; ;][ ;⋱ ;][ ; ;1]] ; ;(0) ; ;(0)][ ;0 ; ;1 ;][(0) ; ;[[1 ; ;(0)][ ;⋱ ;][(0) ; ;1]] ; ;(0)][ ;1 ; ;0 ;][(0) ; ;(0) ; ;[[1 ; ;][ ;⋱ ;][ ; ;1]]]] ; T_i,j,λ = [[[[1 ; ;][ ;⋱ ;][ ; ;1]] ; ;(0) ; ;(0)][ ;1 ; ;λ ;][ ; ;[[1 ; ;(0)][ ;⋱ ;][ ; ;1]] ; ;(0)][ ; ; ;1 ;][(0) ; ; ; ;[[1 ; ;][ ;⋱ ;][ ; ;1]]]] ; D_i,λ = [[[[1 ; ;][ ;⋱ ;][ ; ;1]] ; ;(0)][ ;λ ;][(0) ; ;[[1 ; ;][ ;⋱ ;][ ; ;1]]]].

Propriété

Soit A ∈ ℳ_n,p(R) et X ∈ ℳ_p,1(R). Le produit AX est une combinaison linéaire des colonnes de A avec pour coefficients les composantes de X.

En particulier, pour tout i ∈ ⟦1, m⟧, si X = E_i est la matrice colonne élémentaire avec un coefficient 1 en ligne i, alors AE_i est la i-ème colonne de cette matrice.

Démonstration

En notant C₁, … , C_p les colonnes de A = (a_i,j)_{1≤i≤n; 1≤j≤p}, le produit AX a pour coefficients(∑_j=1^p a_i,jx_j) donc AX = ∑_j=1^p x_j·C_j .

Définition

Une matrice est dite échelonnée si ses lignes forment une famille échelonnée, c’est-à-dire que sur chaque ligne, le premier coefficient non nul apparait dans une colonne plus à droite que sur la ligne précédente. Dans ce cas, cette matrice ne peut avoir que des lignes nulles après une ligne nulle.

Matrices carrées

Algèbre

Pour tout n ∈ N^∗, on note ℳ_n(R) l'ensemble des matrices carrées de taille n (c'est-à-dire avec n lignes et n colonnes) à coefficients dans R. La diagonale d’une telle matrice est la liste des coefficients dont le numéro de ligne est le même que le numéro de colonne.

Exemple

Pour tout n ∈ N^∗, la matrice identité de taille n est la matrice I_n = (δ_i,j) ∈ ℳ_n(R), dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 en dehors.

Propriété

L’identité est neutre pour la multiplication : pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², pour tout (n, p) ∈ (N^∗)², pour tout A ∈ ℳ_{n, p}(R), on a I_n × A = A = A × I_p.

Le produit matriciel définit une opération associative dans ℳ_n(R). En particulier, on peut alors définir les puissances de matrices par récurrence comme pour les puissances de nombres.

Il est tentant de manipuler les matrices comme des scalaires, mais certaines propriétés des corps ne s'appliquent pas à l'ensemble des matrices de taille n > 1.

Non-commutativité du produit: Il existe des matrices carrées de même taille qui ne commutent pas.
Existence de diviseurs de zéro: Le produit de deux matrices non nulles peut donner une matrice nulle.
Existence de matrices nilpotentes: Il existe des matrices non nulles dont une puissance est nulle.

Démonstration

Tous ces résultats peuvent s'obtenir en calculant les produits et carrés des deux matrices suivantes A = [[1 ;0][0 ;0]] et B = [[0 ;1][0 ;0]], ou bien avec C = [[1 ;−1][1 ;−1]] et D = [[1 ;−1][−1 ;1]].

Ces résultats impliquent notamment que l'on ne peut utiliser directement les identités remarquables, ni la formule du binôme de Newton, ni la différence de puissances. On ne peut pas non plus simplifier une équation de la forme A × B = A × C, ni effectuer de division.

Cependant, les formules des identités remarquables, du binôme de Newton et des différences de puissances sont valables pour un couple de matrices qui commutent. La division est remplacée par une multiplication par l'inverse lorsqu'elle existe.

Propriété

Soient A et B deux matrices carrées de même taille qui commutent. Alors on a

pour tout (n, p) ∈ N², AⁿB^p = B^pAⁿ.
la formule du binôme de Newton : (A + B)ⁿ = ∑_k=0ⁿ (k parmi n) A^kB^n−k
la formule de Bernoulli Aⁿ − Bⁿ = (A − B) × (∑_k=0ⁿ⁻¹ A^kB^n−1−k)

Trace

Définition

Soit A ∈ ℳ_n(R). La trace de A, notée Tr(A) est la somme de ses coefficients diagonaux.

Si A = (a_i,j)_1≤i,j≤n alors Tr(A) = ∑_i=1ⁿ a_i,i.

Propriétés

La trace est linéaire : pour tout (λ, A, B) ∈ R × ℳ_n(R)², Tr(λA + B) = λ Tr(A) + Tr(B).
La trace est invariante par la transposée : pour tout A ∈ ℳ_n(R), Tr(A^T) = Tr(A)

Trace du produit: Pour tout (A, B) ∈ ℳ_n(R)², Tr(A × B) = Tr(B × A)

Démonstration

En notant A = (a_i,j)_1≤i,j≤n et B = (b_i,j)_1≤i,j≤n, on trouve Tr(A × B) = ∑_i=1ⁿ ∑_k=1ⁿ a_i,k b_k,i = ∑_k=1ⁿ ∑_i=1ⁿ b_k,i a_i,k = Tr(B × A)

Triangulaires et diagonales

Définitions

Soit A = (a_{i, j}) ∈ ℳ_n(R). La matrice A est dit triangulaire supérieure si tous ses coefficients sous-diagonaux sont nuls, c'est-à-dire que pour tout i > j, on a a_{i, j} = 0. De même, elle est dite triangulaire inférieure si pour tout i < j, on a a_{i, j} = 0. Elle est dite diagonale si elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure, c'est-à-dire si pour tout i ≠ j on a a_{i, j} = 0. En particulier, elle est dite scalaire si elle est diagonale avec des coefficients diagonaux tous égaux.

On peut noter Diag(λ₁, …, λ_n) la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont listés entre parenthèses.

Une matrice carrée est triangulaire supérieure si et seulement si sa transposée est une matrice triangulaire inférieure.
Les matrices scalaires sont celles qui s'obtiennent par multiplication scalaire sur la matrice identité et elles commutent avec toutes les matrices.

Propriété

La somme et le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) sont triangulaires supérieures (resp. inférieures) et les coefficients diagonaux du produit sont les produits des coefficients diagonaux homologues. Toute puissance d'une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est triangulaire supérieure (resp. inférieure) et les coefficients diagonaux de la puissance sont les puissances des coefficients diagonaux homologues.

Démonstration

Si (a_i,j) et (b_i,j) sont les coefficients de deux matrices triangulaires supérieures de taille n, alors pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n⟧² tel que i ≥ j, le coefficient diagonal du produit sur la ligne i et la colonne j s’écrit ∑_k=iⁿ a_i,k b_k,j car pour tout k < i, on a a_i,k = 0. Comme pour tout k > j, on a b_k,j = 0, si j = i il reste uniquement a_i,i b_i,i, et si i > j le coefficient est nul.
La propriété sur les puissances s’obtient ensuite par récurrence, et les propriétés s’étendent aux matrices triangulaires inférieures à l’aide de la transposée.

Symétriques et antisymétriques

Définition

Une matrice carrée est dite symétrique (resp. antisymétrique) si elle est égale à sa transposée (resp. si elle est égale à l'opposé de sa transposée).

Propriétés

La somme de deux matrices symétriques (resp. antisymétriques) est symétrique (resp. antisymétrique).
Toute matrice diagonale est symétrique.
Les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.
La matrice nulle est la seule qui soit à la fois symétrique et antisymétrique.
Toute matrice se décompose d'une unique façon comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.

Démonstration

Soient A et B deux matrices symétriques de même taille. Alors on a (A + B)^T = A^T + B^T = A + B donc A+B est symétrique.
De même, si A et B sont deux matrices antisymétriques de même taille. Alors on a (A + B)^T = A^T + B^T = −A − B = −(A + B) donc A+B est antisymétrique.
Soit D = (d_{i, j}) une matrice diagonale. Alors pour tout i on a d_{i, i} = d_{i, i} et pour tout i ≠ j on a d_{i, j} = 0 = d_{j, i}.
Pour toute matrice A = (a_{i, j}) antisymétrique de taille n, on a pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, a_{i, i} = −a_{i, i} donc a_{i, i} = 0.
Toute matrice A qui soit à la fois symétrique et antisymétrique vérifie A = −A^T = −A donc A = 0.
Soit A une matrice carrée. Alors on a A = 1/2 (A + A^T) + 1/2 (A − A^T) or la matrice B = 1/2(A + A^T) est symétrique et la matrice C = 1/2(A − A^T) est antisymétrique.
Soit B′ une matrice symétrique et C′ une matrice antisymétrique de même taille telles que A = B′ + C′. Alors on trouve B + C = B′ + C′ donc la matrice symétrique B − B′ est égale à la matrice antisymétrique C′ − C, donc ces deux différences sont nulles donc B = B′ et C′ = C.

Matrices inversibles

Définition et premiers exemples

Définition

Une matrice A ∈ ℳ_n,p(R) est dite inversible à droite s’il existe une matrice B ∈ ℳ_p,n(R) (appelée inverse à droite) telle que AB = I_n.
Elle est dite inversible à gauche s’il existe une matrice B ∈ ℳ_p,n(R) (appelée inverse à gauche) telle que BA = I_p.
Elle est dite inversible s'il existe B ∈ ℳ_p,n(R) telle que A × B = I_n et B × A = I_p. Dans ce cas, la matrice B est une matrice inverse pour A.

Propriété

Les matrices traduisant les opérations élémentaires sur un système sont inversibles. Plus précisement :

chaque matrice de permutation P_i,j est inverse pour elle-même,
chaque matrice de transvection T_i,j,λ admet pour inverse la matrice de transvection de coefficient opposé T_i,j,−λ,
chaque matrice de dilatation D_i,λ admet pour inverse la matrice de dilatation de rapport inverse D_i,1/λ.

Démonstration

On a P_i,j = ∑_{h≠i, h≠j} E_h,h + E_i,j + E_j,i et on calcule (∑_{h≠i, h≠j} E_h,h + E_i,j + E_j,i) × (∑_{h≠i, h≠j} E_h,h + E_i,j + E_j,i) = ∑_{h≠i, h≠j} E_h,h + E_i,i + E_j,j = I_n.
On calcule (I_n + λ·E_i,j) × (I_n − λ·E_i,j) = I_n + λ·E_i,j − λ·E_i,j + λ²E_i,j × E_i,j = I_n.
On a (I_n + (λ − 1) E_i,i) × (I_n + (1/λ − 1) E_i,i) = I_n + (λ − 1 + 1/λ − 1 + (λ − 1)(1/λ − 1))E_i,i = I_n.

Caractérisation

Propriété

Une matrice A ∈ ℳ_n,p(R) est inversible à droite si et seulement si ses colonnes forment une famille génératrice dans R^p.

Démonstration

L’ensemble {AX, X ∈ Rⁿ} est l’ensemble des combinaisons linéaires sur les colonnes de A. La famille des colonnes est donc génératrice si et seulement s’il existe une famille (X₁, … , X_p) de vecteurs de Rⁿ tels que les vecteurs (AX₁, … , AX_p) forment la base canonique de Rⁿ, c’est-à-dire que la matrice B obtenue en juxtaposant les colonnes (X₁, … , X_p) soit une inverse à droite pour A.

Propriété

Une matrice est inversible à droite si et seulement si sa transposée est inversible à gauche.

Démonstration

On a l’équivalence AB = I_n ⇔ B^TA^T = I_n.

Propriété

Une matrice inversible est nécessairement carrée.

Démonstration

Soit A ∈ ℳ_n,p(R). Si A est inversible, alors elle est inversible à gauche et à droite donc ses lignes forment une famille génératrice de n vecteurs dans R^p et ses colonnes forment une famille génératrice de p vecteurs dans Rⁿ, donc n ≥ p et p ≥ n donc n = p.

Propriété

Soit A ∈ ℳ_n(R). Les propositions suivantes sont équivalentes.

La matrice A est inversible à gauche.
La seule solution de l’équation AX = 0 est le vecteur nul X = 0.
Les colonnes de A forment une famille libre de Rⁿ.
Les colonnes de A forment une base de Rⁿ.
Les colonnes de A forment une famille génératrice de Rⁿ.
La matrice A est inversible à droite.

Si elles sont satisfaites, alors la matrice A est inversible, elle n’a qu’une seule inverse notée A⁻¹, et pour tout vecteur colonne Y ∈ Rⁿ, l’équation AX = Y a une unique solution X = A⁻¹Y.

Démonstration

On démontre d’abord que chaque proposition implique la suivante.

(1) ⇒ (2): S’il existe B ∈ ℳ_n(R) tel que BA = I_n, alors pour tout vecteur X tel que AX = 0, on trouve 0 = B(AX) = (BA)X = I_nX = X.
(2) ⇒ (3): L’équation AX = 0 se traduit par une combinaison linéaire nulle sur les colonnes de A. Si la seule solution est donnée par le vecteur X = 0, les coefficients d’une combinaison linéaire nulle sont nécessairement nuls, donc les colonnes de A forment une famille libre.
(3) ⇒ (4): Si la famille des n colonnes de A est libre dans Rⁿ alors c’est une base.
(4) ⇒ (5): Une base est toujours une famille génératrice.
(5) ⇒ (6): Une matrice dont les colonnes forment une famille génératrice est inversible à droite.

Il reste à justifier que la dernière proposition implique la première. Si A est inversible à droite, alors A^T est inversible à gauche, donc inversible à droite d’après les implications précédentes, donc A est inversible à gauche.
Enfin, si toutes ces conditions sont satisfaites, pour tout (B, B′) ∈ ℳ_n(R)² tel que BA = AB′ = I_n, on a B = B(AB′) = (BA)B′ = B′. Donc toutes les inverses à droite et à gauche sont identiques et la matrice A est inversible avec une seule inverse.

Propriété

Une matrice est inversible si et seulement si le système associé est de Cramer.

Démonstration

On utilise la caractérisation ci-dessus.

Propriétés

L'inverse d'une matrice inversible est inversible avec (A⁻¹)⁻¹ = A.
Le produit de deux matrices inversibles de même taille est inversible avec (A × B)⁻¹ = B⁻¹ × A⁻¹.
La transposée d'une matrice inversible est inversible avec (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T.

Démonstration

Soient A et B deux matrices inversibles de même taille n. On a

A⁻¹ × A = I_n donc (A⁻¹)⁻¹ = A,
(A × B) × (B⁻¹ × A⁻¹) = A × I_n × A⁻¹ = A × A⁻¹ = I_n,
A^T × (A⁻¹)^T = (A⁻¹ × A)^T = I_n^T = I_n.

Cas particuliers

Propriété

Toute matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est alors une matrice triangulaire de même sens avec des coefficients diagonaux inverses.

Démonstration

On traite le cas des matrices triangulaires supérieures. La propriété s’en déduit pour les matrices triangulaires inférieures en passant à la transposée.
La condition sur les coefficients diagonaux est nécessaire d’après le système triangulaire associé.
On procède par récurrence sur la taille de la matrice.

Une matrice de ℳ₁(R) est réduite à son coefficient diagonal t_1,1. S’il est non nul alors la matrice est inversible d’inverse (1/t_1,1).

Soit n ∈ N^∗ tel que la propriété soit vraie pour toute matrice triangulaire de taille n. Soit T_n+1 ∈ ℳ_n+1(R) une matrice triangulaire avec des coefficients diagonaux non nuls. Alors on peut noter T = (t_i,j)_{1≤i,j≤n+1} et la matrice T_n = (t_i,j)_1≤i,j≤n est aussi triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux non nuls. Donc par hypothèse de récurrence, il existe U_n triangulaire supérieure de taille n avec des coefficients diagonaux non nuls telle que U_n × T_n = I_n.
On prolonge alors U_n en une matrice U_n+1 ∈ ℳ_n+1(R) triangulaire supérieure par u_i,n+1 = (−1)/(t_n+1,n+1) ∑_k=1ⁿ u_i,k t_k,n+1 pour tout i ∈ ⟦1 ; n], puis u_n+1,n+1 = (−1)/(t_n+1,n+1) Alors par construction, U_n+1 × T_n+1 = I_n+1 et les coefficients diagonaux de U_n+1 sont non nuls.

Cette propriété donne aussi la condition nécessaire et suffisante pour l’inversibilité d’une matrice diagonale et l’expression de l’inverse.

Définition

Soit [[a ;b][c ;d]] ∈ ℳ₂(R). On appelle déterminant de la matrice la différence ad − bc.

Propriété

Une matrice [[a ;b][c ;d]] ∈ ℳ₂(R) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul et dans ce cas, son inverse s’écrit (1)/(ad − bc) [[d ;−b][−c ;a]].

Démonstration

On procède par disjonction de cas.

Si le déterminant est non nul alors on vérifie que la matrice est inversible en calculant son produit avec la matrice annoncée.

Si le déterminant est nul alors les deux vecteurs colonnes u = [[a][c]] et v = [[b][d]] sont colinéaires donc forment une famille liée donc la matrice n’est pas inversible.