Exercices sur les matrices

Calcul matriciel

Exercice
Calculer les coefficients des matrices suivantes :
Exercice
Proposer une formule pour les coefficients des matrices suivantes :
Exercice
Pour chacune des matrices A suivantes, calculer AAT et ATA.
Exercice
ENS 2017 problème B question 4.a
On note C = [[0 ;3][1 ;−2]]. Calculer −3I2 + 2C + C2.
Exercice
Ecricome 2010 problème 1.3
Vérifier que la matrice A = [[7 ;5 ;−5][10 ;2 ;−5][20 ;10 ;−13]] satisfait la relation A2 + A − 6I = 0.
Exercice
Calculer AAT et ATA lorsque A= [[1 ;−1 ;0][1 ;1 ;2]].
ENS 2017 planche 8 exercice 2 question 4
Exercice
ENS 2012 exercice IA question 1
On note A = [[5 ;1 ;−1][2 ;4 ;−2][1 ;−1 ;3]] et b = [[0][−2][2]]. Résoudre l'équation Ax = b par la méthode du pivot de Gauss.
Exercice
ENS 2012 exercice IA question 2
On note A = [[1 ;1][1 ;1]] et b = [[1][1]] Déterminer et représenter graphiquement l'ensemble des solutions de l'équation Ax = b.
Exercice
ESCP 2015 planche 4 question 5
On considère A = [[1 ;−1 ;0][−1 ;1 ;0][0 ;0 ;2]] et B = [[0 ;0 ;1][0 ;0 ;−1][1 ;−1 ;−1]].
  1. Ces deux matrices commutent-elles ?
  2. Montrer que les produits A2, AB, BA et B2 s'écrivent tous sous la forme aA + bB avec (a, b) ∈ R2.
Exercice
Ecricome 2007 problème 1.1
Déterminer l'inverse de la matrice P = [[1 ;1 ;1][1 ;2 ;4][1 ;2 ;0]].
Exercice
ENS 2018 problème B première partie
On pose A = [[−1 ;−2][1 ;2]] et B = [[2 ;−2][1 ;−1]].
  1. Calculer A2 et B2.
  2. Montrer que I2 − AB et A + B − AB sont inversibles.
Exercice
ENS 2012 planche 1 exercice 2
On pose A = [[0 ;1 ;0][0 ;0 ;1][(1)/(3) ;(1)/(3) ;(1)/(3)]], P = [[1 ;−9 ;0][1 ;3 ;3√(2)][1 ;1 ;−2√(2)]]. Montrer que la matrice P est inversible et calculer P−1AP.
Exercice
ENS 2013 exercice 1
On pose A = [[2 ;−1 ;1][1 ;0 ;−1][2 ;−4 ;−1]].
  1. Calculer A2 puis A3, puis vérifier que A3 − A2 − 7A + 11I3 est la matrice nulle.
  2. Montrer que A est inversible puis calculer A−1 en fonction de A2 et A.
Exercice
BCE 2020 problème question 3a
On pose P =[ [ 1 ; 1 ; 1] [ −1 ; 0 ; 1] [ 0 ; −1 ; 1] ].
  1. Calculer P3 − 2P2 + 3P − 3I.
  2. Justifier que P est inversible et calculer son inverse.
Exercice
ENS 2013 planche 8 exercice 2
Soit α un réel non nul. On note M = [[α ;−1 ;0][1 ;α ;0][0 ;0 ;α]].
  1. Montrer que la matrice M est inversible et calculer son inverse.
  2. Soit (a, b, c) ∈ R3. Montrer que la fonction définie pour tout réel x par f(x) = eαx (a sin(x) + b cos(x) + c) admet une primitive s'écrivant pour tout réel x F(x) = eαx (A sin(x) + B cos(x) + C) avec (A, B, C) ∈ R3.
    Montrer que dans ce cas on a [[A][B][C]] = M−1[[a][b][c]].
Exercice
ENS 2017 planche 7 exercice 1 question 3
Pour tout k ∈ ⟦1 ; 4⟧ on définit la matrice Jk dont les coefficients s’écrivent (Jk)i,j = {1 si j = i + k − 1 ;0 sinon.
Trouver tous les entiers k tels que Jk2 = 0.
Exercice
ENS 2015 exercice 2 question 3.c
Montrer que toute matrice B ∈ ℳ2(R) qui commute avec toutes les matrices de ℳ2(R) est un multiple de la matrice identité.
Exercice
ENS 2019 problème B question 1
Les matrices suivantes sont-elles symétriques ? antisymétriques ?
Exercice
ENS 2019 problème B question 8
Montrer que pour tout A ∈ ℳn(R) et X, Y ∈ Rn on a XTAY = YTATX.
Exercice
ENS 2010 exercice II question 4
Soit n ∈ N∗ et (a0, … , an−1) ∈ Rn. On considère la matrice M triangulaire inférieure dont les coefficients s'écrivent ∀i≥j,   Mi,j = ai−j.
Montrer que M est inversible si et seulement si a0 ≠ 0.
Exercice
ENS 2017 planche 8 exercice 2
Soit A ∈ ℳm,n(R).
  1. Soit X ∈ ℳm,1(R) tel que XTX = 0. Montrer que X = 0.
  2. Soit Y ∈ ℳn,1(R) tel que ATAY = 0. Montrer que AY = 0.
  3. Montrer que rg(A) = rg(ATA) puis que rg(A) = rg(AAT).
Exercice
Étant donnés une matrice A ∈ ℳn(R), un vecteur x0 ∈ Rn et une suite de réels (δk)k∈N, on définit une suite (xk)k∈N à valeurs dans Rn par ∀ k ∈ N,   xk+1 = xk − δk tA (Axk − b), où tA désigne la transposée de A. On suppose aussi qu'il existe x∗ ∈ Rn tel que Ax∗ = b et on pose pour tout k ∈ N, yk = xk − x∗. Pour tout entier k, déterminer une matrice Mk telle que yk+1 = Mkyk.
ENS 2012 exercice IB question 3

Applications matricielles

Exercice
ENS 2019 problème B question 3
Déterminer le rang et la dimension du noyau de l’application u associée à la matrice [ [ 0 ; −1 ; 1] [ 1 ; 0 ; 1] [ −1 ; −1 ; 0] ]. Donner aussi une base de Ker(u).
Exercice
ENS 2019 planche 2 exercice 1
On considère A = [ [ 1 ; −1 ; 1] [ 0 ; 1 ; −1] [ 1 ; 0 ; 0] ] et B = [ [ 1] [ 1] [ 1] ].
  1. Donner le rang de A et une base de son noyau.
  2. L’équation AX = B admet-elle une solution ?
Exercice
ENS 2016 exercice 2 question 2
Pour tout x = (x1, … , xn) ∈ Rn, on définit l’application ψx : (y1, … , yn) ∈ Rn ↦ ∑i=1n xiyi.

Soit x ∈ Rn. Montrer que l’application ψx est linéaire, calculer son rang et la dimension de son noyau.

Exercice
ENS 2017 planche 6 exercice 2
Soient f et g deux endomorphismes de Rn tels que f ∘ g = 0.
  1. Montrer que rg(g) ≤ dim(Ker(f)).
  2. Montrer que dim(Ker(f)) + dim(Ker(g)) ≥ n.
Exercice
ENS 2017 planche 7 exercice 1 question 1
Soit u un endomorphisme de Rn tel que u2 = 0.
Donner une relation d’inclusion entre Ker(u) et Im(u) et en déduire rg(u) ≤ n/2.
Exercice
ENS 2017 planche 11 exercice 1 question 2
Soit M ∈ ℳ2(R) telle que M2 = −Id.
  1. Quel est le rang de M ?
  2. Soit x un vecteur non nul de R2 et u l’endomorphisme de R2 canoniquement associé à M.
    Montrer que (x, u(x)) est une base de R2 et donner la matrice de u dans cette base.
  3. Trouver toutes les matrices A ∈ ℳ3(R) telles que A2 = −Id.
Exercice
ENS 2020 problème B question 6
Soit r > 0 et s ∈ ]0, 1] ainsi que trois suites réelles (ak)k≥1, (bk)k≥1 et (ck)k≥1 satisfaisant pour tout k ≥ 1 le système { ak+1 = rbk + ck ; bk+1 = ak ; ck+1 = sbk On note aussi Fk = (:ak ; bk ; ck).
  1. Déterminer une matrice M telle que pour tout k ≥ 1 on ait Fk+1 = MFk.
  2. Supposons qu’il existe une matrice P inversible et une matrice diagonale Λ = (:(λ1 ;0 ;0) (0 ;λ2 ;0) (0 ;0 ;λ3)) telles que P−1 MP = Λ.
    1. Donner une relation de récurrence sur la suite vectorielle définie pour tout k ≥ 1 par Gk = P−1Fk.
    2. Pour tout k ≥ 1, exprimer Gk en fonction de G1 et Λ.
    3. Montrer que si les coefficients diagonaux de Λ sont tous compris dans ]0, 1[ alors les coefficients de Gk et ceux de Fk tendent vers 0 lorsque k tend vers +∞.

Si les trois suites convergent avec des limites strictement positives, montrer que r + rs = 1.

Problèmes

Problème : Puissances de matrices triangulaires
ENS 2014 planche 11 exercice 1
On définit A = [[1 ;1 ;1][0 ;1 ;1][0 ;0 ;1]] et J = [[0 ;1 ;1][0 ;0 ;1][0 ;0 ;0]]
  1. Calculer A2 et A3.
  2. Calculer J2, J3 puis déterminer Jn pour tout n ≥ 2.
  3. À l'aide d'une récurrence sur n ∈ N, démontrer An = [[1 ;n ;(n(n+1))/(2)][0 ;1 ;n][0 ;0 ;1]].
  4. Redémontrer l'égalité précédente à l'aide de la formule du binôme de Newton.
Problème : Puissances de matrices
ENS 2014 planche 17 exercice 1
On introduit les matrices A = [[1 ;0 ;0][−4 ;5 ;−4][−2 ;2 ;−1]] et B = [[0 ;0 ;0][2 ;−2 ;2][1 ;−1 ;1]]
  1. Calculer A2.
  2. Montrer qu'il existe un réel x tel que B2 = xB.
  3. Montrer qu'il existe un réel λ tel que A = I3 + λB et recalculer A2 à l'aide de cette relation.
  4. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N il existe un réel an tel que An = [[1 ;0 ;0][2an ;1 − 2an ;2an][an ;−an ;1 + an]], en précisant la valeur de a1 et un relation de récurrence sur la suite (an).
  5. Déterminer le terme général de la suite (an).
Problème : Puissances de matrices (2)
Ecricome 2001 problème II

On pose J = [[−1 ;0 ;−2][1 ;1 ;1][1 ;0 ;2]] et M = [[−7 ;0 ;−8][4 ;1 ;4][4 ;0 ;5]].

  1. Calculer J2 et en déduire une expression de Jn pour tout n ≥ 2.
  2. Montrer que J n’est pas inversible.
  3. Déterminer deux réels a et b tels que aI + bJ = M.
  4. En déduire une expression pour Mn comme combinaison linéaire de I et J.
Problème : Suites récurrentes couplées
ENS 2013 planche 9 exercice 1
On définit trois suites réelles u, v et w par
[[u0][v0][w0]] = [[1][1][−1]] et pour tout n ∈ N, [[un+1][vn+1][wn+1]] = [[2un + 3vn − 3wn][−un + wn][−un + vn]].
  1. Déterminer une matrice A telle que pour tout n ∈ N, [[un+1][vn+1][wn+1]] = A[[un][vn][wn]].
  2. Pour tout n ∈ N, exprimer [[un][vn][wn]] en fonction de [[u0][v0][w0]], A et n.
Problème : Matrice uniforme
ENSAI 2010

On note A = [[1 ;1 ;1][1 ;1 ;1][1 ;1 ;1]] et B = [[3 ;1 ;1][1 ;3 ;1][1 ;1 ;3]].

  1. Déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire représenté par A dans la base canonique de R3, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
  2. Calculer A2 et exprimer le résultat linéairement en fonction de A.
    En déduire pour tout n ∈ N∗ une expression de An comme multiple de A.
  3. Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B2 et la matrice identité.
  4. En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
  5. Donner une expression de Bn pour tout n ∈ N∗.
Problème : Matrices stochastiques
ENS 2011 problème questions 4 et 5
Soit k ∈ N∗. On dit qu'une matrice M ∈ ℳk(R) est stochastique si ∀ (i, j) ∈ {1 ; … ; k}2,   Mi,j ≥ 0 et ∀ i ∈ {1 ; … ; k},   ∑j=1k Mi,j = 1. On note J = t(1 ; … ; 1) ∈ Rk le vecteur colonne dont toutes les composantes sont égales à 1.
  1. Soit M ∈ ℳk(R). Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    • M est stochastique ;
    • MJ = J et tous les coefficients de M sont positifs ou nuls.
  2. Montrer que si M est stochastique alors pour tout n ∈ N sa puissance Mn est stochastique.
Problème : Matrice compagnon
ENS 2017 problème B question 4
Soit (a0, … , an−1) ∈ Rn. On pose C = [[0 ;0 ;⋯ ;0 ;0 ;−a0][1 ;0 ;⋯ ;0 ;0 ;−a1][0 ;1 ;⋱ ;⋮ ;⋮ ;⋮][⋮ ;0 ;⋱ ;0 ;0 ;−an−3][⋮ ;⋮ ;⋱ ;1 ;0 ;−an−2][0 ;0 ;⋯ ;0 ;1 ;−an−1]] et on note (E1, … , En) la base canonique de ℳn,1(R).
  1. Montrer que pour tout k ∈ ⟦1, n−1⟧ on a CEk = Ek+1.
  2. Expliciter CEn.
  3. On pose M = a0In + a1C + ⋯ + an−1Cn−1 + Cn. Montrer que ME1 = 0 puis justifier que M = 0.

Annales

ENS 2015 exercice 1
Propriétés et caractérisation de la trace
ENS 2014 exercice 1
Rang et noyau de matrices rectangulaires
ENS 2011 exercice III
Matrices stochastiques
ENS 2010 exercice II
Endomorphismes dans un espace vectoriel de polynômes
ENS 2009 exercice I
Polynôme de matrice
ENS 2008 exercice II
Matrice aléatoire
ENS 2007 problème partie 1
Matrices nilpotentes, matrices semblables
Ecricome 2008 problème 1
Espace vectoriel de matrices et exponentielle matricielle
Ecricome 2001 problème II
Puissances de matrices