Limite d’une suite réelle

Définitions

Soit u une suite réelle et L ∈ R.

On dit que u converge vers L et on note lim_n→+∞ u_n = L si pour tout intervalle ouvert J contenant L, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n ∈ J.

Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente.

On dit que u tend vers +∞ et on note lim_n→+∞ u_n = +∞ si pour tout M ∈ R, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n > M.

On dit que u tend vers −∞ et on note lim_n→+∞ u_n = −∞ si pour tout M ∈ R, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n < M.

Toute suite constante converge vers sa valeur.
La suite (n)_{n ∈ N} tend vers +∞.
La suite (1/n)_{n ∈ N^∗} tend vers 0.

Soit c ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant c. Tous les termes de la suite appartiennent à J.
Soit M ∈ R. D'après le caractère archimédien de R il existe N ∈ N tel que N > M dont pour tout n > N on a n > M.
Soit J un intervalle ouvert contenant 0. On note J = ]a, b[ avec a < 0 < b et pour tout n ∈ N^∗, on a 0 < 1/n < b ⇔ n > 1/b. Or d’après le caractère archimédien de R, il existe N ∈ N tel que N > 1/b donc pour tout n > N on a 0 < 1/n < b.

Propriété

Si une suite admet une limite, alors toute sous-suite extraite (par exemple, la suite des termes de rang pair) a la même limite.

Majoration et minoration

Propriété

Toute suite convergente est bornée.

Soit u une suite convergente. On note L sa limite.

Il existe un rang N ∈ N à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ouvert ]L − 1 ; L + 1[. On note alors M = max({u₀, u₁, …, u_N, L + 1}) et m = min({u₀, u₁, …, u_N, L − 1}). Finalement, pour tout n ∈ N on a m ≤ u_n ≤M, donc la suite est bornée.

Propriété

Toute suite qui tend vers +∞ est minorée mais non majorée.

Démonstration

Soit u une suite qui tend vers +∞.

Il existe un rang N ∈ N à partir duquel tous les termes de la suite seront supérieurs à 0. On note alors m = min({u₀, u₁, …, u_N, 0}). Finalement, pour tout n ∈ N on a u_n ≥m, donc la suite est minorée par m.

Soit M ∈ R. Il existe un rang N′ ∈ N à partir duquel tous les termes de la suite seront strictement supérieurs à M donc en particulier u_N′+1 > M.

Finalement, la suite n’est pas majorée.

On démontre de manière analogue la propriété suivante.

Propriété

Toute suite qui tend vers −∞ est majorée mais non minorée.

Comparaison de limites

Propriété

Soient u et v deux suites réelles convergentes de limites respectives L et L′.

Si on a L > L′ alors il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n > v_n.
S’il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n ≤ v_n alors on a L ≤ L′.

Remarque

Ces deux implications ne sont pas contraposées l’une de l’autre. En outre, leurs réciproques admettent des contre-exemples, comme celui constitué par u = (1/n) et v = (0), de même limite 0.

Démonstration

On démontre la deuxième implication à l’aide de la première.

Supposons L > L′. On pose ε = (L−L′)/2. Alors il existe un rang N ∈ N à partir duquel tous les termes de u sont dans l’intervalle ouvert I = ]L − ε ; L + ε[ et un rang N′ ∈ N à partir duquel tous les termes de v sont dans l’intervalle ouvert I′ = ]L′ − ε ; L′ + ε[. En particulier, pour tout n > max(N, N′), on obtient u_n > L − ε = (L+L′)/2 = L′ + ε > v_n.

Supposons à présent qu’il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n ≤ v_n. On raisonne par l’absurde. Supposons donc en outre L > L′. D’après le cas précédent, il existe un rang à partir duquel tous les termes de u sont strictement supérieurs à ceux de v, ce qui est contradictoire avec l’inégalité large de sens contraire.

Unicité de la limite: Une suite ne peut pas avoir deux limites distinctes.

On procède par disjonction de cas.

Si une suite tend vers +∞, elle est non majorée donc ne peut converger ni tendre vers −∞.

Si une suite tend vers −∞, elle est non minorée donc ne peut converger non plus.

Soit u une suite admettant deux limites finies notée L et L′ avec L > L′. Alors il existe un rang à partir duquel tous les termes de u sont strictement supérieurs à eux-mêmes, ce qui est absurde.

Finalement, une suite ne peut converger que vers une seule limite.

On en déduit que toute suite admettant deux sous-suites extraites avec des limites différentes ne peut avoir de limite.

Opérations

Limite d’une somme

Soit u et v deux suites réelles.

Si u et v convergent alors leur somme converge aussi et on trouve lim_n→+∞ (u_n + v_n) = lim_n→+∞ u_n + lim_n→+∞ v_n.
Si u tend vers +∞ et si v est minorée alors lim_n→+∞ (u_n + v_n) = +∞.
Si u tend vers −∞ et si v est majorée alors lim_n→+∞ (u_n + v_n) = −∞.

On démontre le premier et le deuxième cas. Le troisième se démontre de manière analogue au deuxième.

Supposons que u et v convergent. On note L et L′ leurs limites respectives.
Soit J un intervalle ouvert contenant L + L′. Il existe ε ∈ R^∗+ tel que ]L + L′ − ε, L + L′ + ε[ ⊂ J.

Il existe un rang N ∈ N à partir duquel tous les termes de u appartiennent à l’intervalle ouvert ]L − ε/2, L + ε/2[ et il existe un rang N′ ∈ N à partir duquel tous les termes de v appartiennent à l’intervalle ouvert ]L′ − ε/2, L′ + ε/2[.

Soit n > max(N, N′). On a L − ε/2 < u_n < L + ε/2 et L′ − ε/2 < v_n < L′ + ε/2 donc par addition on trouve L + L′ − ε < u_n + v_n < L + L′ + ε donc u_n + v_n ∈ J.

Finalement, la suite (u + v) converge effectivement vers (L + L′).
Supposons que u tende vers +∞ et qu’il existe m ∈ R tel que pour tout n ∈ N on ait v_n ≥ m.
Soit M ∈ R. Il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on ait u_n ≥ M − m donc par addition on trouve u_n + v_n ≥ M.

Finalement, la suite (u + v) tend effectivement vers +∞.

Limite d’un produit

Soit u et v deux suites réelles.

Si u tend vers 0 et si v est bornée alors leur produit converge vers 0.
Si u et v convergent alors leur produit converge aussi et on trouve lim_n→+∞ (u_n × v_n) = lim_n→+∞ u_n × lim_n→+∞ v_n.
Si u tend vers +∞ alors
- pour tout k ∈ R^∗+ on a lim_n→+∞ ku_n = +∞ ;
- pour tout k ∈ R^∗− on a lim_n→+∞ ku_n = −∞.

On démontre les trois cas successivement.

Supposons que u converge vers 0 et qu’il existe M ∈ R^∗+ tel que pour tout n ∈ N on ait |v_n| ≤ M.
Soit J un intervalle ouvert contenant 0. Il existe ε ∈ R^∗+ tel que ]− ε, ε[ ⊂ J. Puisque la suite u converge vers 0, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on ait u_n ∈ ]− ε/M, ε/M[ donc |u_n| ≤ ε/M donc par multiplication on trouve |u_nv_n| ≤ ε donc u_nv_n ∈ J.

Finalement, la suite (u_nv_n) converge effectivement vers 0.
Supposons que u et v convergent. On note L et L′ leurs limites respectives.
Pour tout n ∈ N on a u_nv_n − LL′ = u_n(v_n − L′) + (u_n − L)L′.

Or les suites (u_n − L) et (v_n − L′) convergent vers 0 et la suite u converge donc est bornée.

Donc on trouve lim_n→+∞u_n(v_n − L′) = lim_n→+∞ (u_n − L)L′ = 0 donc lim_n→+∞(u_nv_n − LL′) = 0 donc lim_n→+∞u_nv_n = LL′.
Supposons que u tende vers +∞ et soit k ∈ R^∗. On distingue deux cas.
- Si k > 0, soit M ∈ R^∗+. Il existe un rang N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n > M/k donc par multiplication on obtient ku_n > M.
  Finalement, la suite (ku_n) tend effectivement vers +∞.
- Si k < 0, soit M ∈ R^∗−. Il existe un rang N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n > M/k donc par multiplication on obtient ku_n < M.
  Finalement, la suite (ku_n) tend effectivement vers +∞.

Limite de l’inverse

Soit u une suite réelle.

Si u converge avec une limite L réelle non nulle alors u ne s’annule plus à partir d’un certain rang et son inverse converge vers 1/L.
Si u converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang alors son inverse tend vers +∞.
Si u admet une limite infinie alors elle ne s’annule plus à partir d’un certain rang et son inverse tend vers 0.

On démontre les trois cas successivement.

Supposons que u converge avec une limite L non nulle.
Par propriété, u ne s’annule plus à partir d’un certain rang et pour tout n ∈ N on a 1/u_n − 1/L = L − u_n/u_nL. Or il existe un rang N ∈ N tel que pour tout n > N on a |u_n| > |L|/2 donc 1/|u_n| < 2/|L|. Donc la suite (1/u_nL) est bornée par 2/L² et la suite (L − u_n) tend vers 0 donc leur produit tend aussi vers 0.
Supposons que u converge vers 0 et que tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang. Alors pour tout M ∈ R^+∗ il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on ait 0 < u_n < 1/M donc 1/u_n > M. Donc la suite (1/u_n) tend vers +∞.
Supposons que u tende vers +∞. Alors tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang et pour tout ε ∈ R^+∗ il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on ait u_n > 1/ε donc 0 < 1/u_n < ε. Donc la suite (1/u_n) tend vers 0.

On en déduit les règles de calcul de limites du quotient.

Limite du quotient

Soient u et v deux suites réelles telles que v ne s’annule plus à partir d’un certain rang.

Si u et v convergent avec lim_n→+∞ v_n ≠ 0 alors u/v converge vers lim_n→+∞ u_n/lim_n→+∞ v_n.
Si u tend vers l’infini et si v converge avec une limite non nulle alors u/v tend vers l’infini en respectant la règle des signes.
Si u est bornée et si v tend vers l’infini alors le quotient u/v converge vers 0.
Si u admet une limite non nulle et si v tend vers 0 avec des termes tous strictement positifs à partir d’un certain rang alors le quotient u/v tend vers l’infini en respectant la règle des signes.

Théorèmes

Théorème des limites de suites monotones: Toute suite croissante majorée converge.; Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.; Toute suite décroissante minorée converge.; Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.

On démontre les deux premiers cas. Les deux suivants se démontrent de façon analogue.

Soit u une suite croissante majorée. On note L = sup({u_n, n ∈ N}). Soit J = ]a, b[ un intervalle ouvert contenant L.
Puisque a < L il existe N ∈ N tel que u_N > a. Alors pour tout n > N on a a < u_N ≤ u_n ≤ L < b donc u_n ∈ J.

Finalement, la suite u converge bien vers L.

Soit u une suite croissante non majorée. Soit M ∈ R. Il existe N ∈ N tel que u_N > M. Alors pour tout n > N on a u_n > u_N > M.

Finalement, la suite u tend bien vers +∞.

Pour tout M ∈ R, une suite croissante majorée par M ne converge pas nécessairement vers M.

Le théorème montre notamment que pour tout x ∈ R, la suite ((1 + x/n)ⁿ) admet une limite dans R^∗+ ∪ {+∞} car elle est croissante à partir d'un certain rang.

Soit x ∈ R. Pour tout n > |x|, on a (1 + x/n)ⁿ(1 − x/n)ⁿ = (1 − x²/n²)ⁿ < 1 donc aucune des deux suites ((1 + x/n)ⁿ) et ((1 − x/n)ⁿ) ne peut tendre vers +∞ et on peut définir exp(x) = lim_n→+∞(1 + x/n)ⁿ ∈ R.

Théorème de comparaison

Soient u et v deux suites réelles telles que pour tout n ∈ N à partir d’un certain rang on a u_n ≤ v_n.

Si lim_n→+∞ u_n = +∞ alors lim_n→+∞ v_n = +∞.
Si lim_n→+∞ v_n = −∞ alors lim_n→+∞ u_n = −∞.

On traite le premier cas. Le second se traite de manière analogue.

Supposons lim_n→+∞ u_n = +∞. Soit M ∈ R. Il existe un rang à partir duquel tous les termes de u sont supérieurs à M donc tous les termes de v aussi.

Finalement, la suite v tend aussi vers +∞.

Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes: Soient u, v, w trois suites réelles telles que u et w convergent vers la même limite et telles que pour tout n ∈ N à partir d’un certain rang on a u_n ≤ v_n ≤ w_n. Alors la suite v converge vers la même limite.

On note N₀ un rang à partir duquel on a les inégalités.

Soit J = ]a, b[ un intervalle ouvert contenant la limite commune à u et w. Il existe un rang N à partir duquel tous les termes de u sont dans J et un rang N′ à partir duquel tous les termes de w sont dans J. Donc pour tout n > max(N₀, N, N′) on a a < u_n ≤ v_n ≤ w_n < b, donc v_n ∈ J.

Finalement, la suite v converge bien vers la même limite.

Limite d’une suite géométrique

Soit q ∈ R. On distingue trois cas.

Si q > 1 alors lim_n→+∞ qⁿ = +∞.
Si −1 < q < 1 alors lim_n→+∞ qⁿ = 0.
Si q ≤ −1 alors la suite (qⁿ) diverge sans limite.

On démontre les trois cas successivement.

Si q > 1 on pose x = q − 1 > 0 et on a pour tout n ∈ N, qⁿ = (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx d’après l’inégalité de Bernoulli.
Or on a lim_n→+∞ (1 + nx) = +∞ donc lim_n→+∞ qⁿ = +∞.
Si q = 0 alors pour tout n ∈ N^∗ on a qⁿ = 0 donc lim_n→+∞ qⁿ = 0.
Si q ∈ ]−1, 1[\{0} alors 0 < |q| < 1 donc 1/|q| > 1 donc lim_n→+∞ 1/|q|ⁿ = +∞ donc lim_n→+∞ |q|ⁿ = 0.
Or pour tout n ∈ N on a −|q|ⁿ ≤ qⁿ ≤ |q|ⁿ donc par théorème d’encadrement on en déduit lim_n→+∞ qⁿ = 0.
Si q = −1 alors on a pour tout n ∈ N on a q²ⁿ = 1 et q²ⁿ⁺¹ = −1.
Si q < −1 alors on a q² > 1 donc on trouve lim_n→+∞ q²ⁿ = +∞ et lim_n→+∞q²ⁿ⁺¹ = −∞.
Dans les deux cas, la suite (qⁿ) admet deux sous-suites avec des limites différentes. Elle n’a donc pas de limite.

Limite d’une suite récurrente

Soit f une fonction continue sur un intervalle stable I, et (u_n)_n∈N une suite vérifiant pour tout n ∈ N, u_n+1 = f(u_n).
Si la suite converge à l’intérieur de I alors sa limite est un point fixe de f.

Démonstration

On note ℓ ∈ I la limite de la suite (u_n)_n∈N, d’où lim_n→+∞ f(u_n) = f(ℓ) par continuité de f. Mais lim_n→+∞ f(u_n) = lim_n→+∞ u_n+1 = ℓ) donc f(ℓ) = ℓ.

Comparaison de croissance

Propriété

Soit (u_n) une suite à termes strictement positifs. Si la suite des quotients (u_n+1/u_n) converge vers un réel L < 1 alors lim_n→+∞ u_n = 0.

Démonstration

Avec les notations de la propriété, on note q un réel de ]L, 1[. Il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N on ait u_n+1/u_n ≤ q donc u_n+1 ≤ q u_n. Donc par récurrence on trouve pour tout n ≥ N, 0 ≤ u_n ≤ q^n−N u_N. Or lim_n→+∞ q^n−N = 0 donc par théorème d’encadrement, lim_n→+∞ u_n = 0.

Comparaison de croissance: Pour tout α > 0, pour tout q > 1, lim_n→+∞ n^α/qⁿ = 0 et lim_n→+∞ qⁿ/n! = 0.

Démonstration

Pour tout n ∈ N^∗, on calcule les quotients de termes successifs (n + 1)^α/qⁿ⁺¹ × qⁿ/n^α = 1/q (1 + 1/n)^α qui tend vers 1/q, et qⁿ⁺¹/(n + 1)! × n!/qⁿ = q/n + 1 qui tend vers 0 quand n tend vers +∞.

Suites adjacentes

Deux suites u et v sont dites adjacentes si elles sont monotones de sens contraires et si leur différence tend vers 0.

Convergence des suites adjacentes: Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

Soit u et v deux suites réelles telles que u soit croissante, v soit décroissante et lim_n→+∞ (v_n − u_n) = 0.

On raisonne par l’absurde pour montrer que tous les termes de u sont inférieurs à tous ceux de v.

Supposons qu’il existe (p, q) ∈ N² tel que u_p > v_q. Alors pour tout n > max(p, q) on a u_n ≥ u_p > v_q ≥ v_n donc u_n − v_n ≥ u_p − v_q. Donc par passage à la limite on obtient 0 ≥ u_p − v_q, ce qui est faux par définition.

Finalement, la suite u est croissante et majorée par v₀ et la suite v est décroissante et minorée par u₀, donc ces deux suites convergent.

On calcule alors lim_n→+∞ v_n − lim_n→+∞ u_n = lim_n→+∞ (v_n − u_n) = 0 donc les deux suites ont la même limite.

Cette propriété permet notamment de définir la moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs x et y comme la limite commune aux suites adjacentes définies par u₀ = √(xy), v₀ = (x + y)/2 puis pour tout n ∈ N, u_n+1 = √(u_nv_n), v_n+1 = (u_n + v_n)/2 (démonstration en exercice).