Exercices sur la convergence de suite

Exercice : Vrai ou faux

On considère deux suites réelles (u_n) et (v_n). Rédiger une démonstration ou donner un contre-exemple pour chacune des propositions ci-dessous.

1. Si u et v convergent alors le produit uv aussi.
2. Si le produit uv converge alors u et v convergent aussi.
3. Si au moins l’une des deux suites u ou v converge vers 0 alors le produit uv converge vers 0.
4. Si le produit uv converge vers 0 alors au moins l’une des deux suites u ou v converge vers 0.
5. Si u et v divergent alors le produit uv aussi.
6. Si le produit uv diverge alors au moins l’une des deux suites u ou v diverge aussi.
7. Si u et v convergent et si v ne s’annule pas alors le quotient u/v converge.

Exercice

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles telles que pour tout n ∈ N, u_n ≤ v_n. Justifier ou infirmer par un contre-exemple chacune des propositions suivantes.

1. Si u converge alors v aussi.
2. Si u diverge alors v aussi.
3. Si u et v convergent alors lim_n→+∞ u_n ≤ lim_n→+∞ v_n.

Exercice

Calculer la limite de (n(n + 1) / 2n²).

Exercice

Étudier la convergence et la limite éventuelles des suites de terme général :

• √(n + 1) − √n
• √(n² + 1) − n
• √(n² + n + 1) − n
• 2⁴ⁿ − 4²ⁿ
• (2ⁿ + 5ⁿ)/(3ⁿ + 4ⁿ)
• (4n² − (2n + 1)²)/(n√n)
• (2ⁿ + n³)/(3ⁿ + n²)

Exercice

On note F la suite de Fibonacci, définie par F₀ = 0, F₁ = 1 et pour tout n ∈ N, F_n+2 = F_n + F_n+1.

1. Calculer les premiers termes de la suite jusque F₉.
2. Exprimer le terme général de la suite.
3. Démontrer que la suite ne s'annule pas à partir du rang 1.
4. Montrer que le quotient (F_n+1/F_n) converge en calculant sa limite.

Exercice

Une offre d'abonnement téléphonique est proposée pour 15 centimes à la minute, avec un avoir chaque mois de 50 % sur la facture du mois précédent, pour un client qui utilise deux heures d'appel chaque mois. On admettra que les calculs réalisés sont valables sur une assez longue durée même si la durée d'appel fluctue autour des deux heures en moyenne.

1. Calculer le montant u₀ de la facture initiale (sans réduction), puis le montant u₁ de la facture pour le premier mois suivant, et le montant u₂ de la facture au bout de deux mois.
2. Montrer que la suite des montants est arithmético-géométrique.
3. Déterminer la limite de la suite u.
4. Exprimer la somme des montants payés et calculer la limite du montant moyen des factures.

Exercice

Calculer la limite de (1 − (1)/(n))ⁿ.

Exercice

Soit x ∈ R. Calculer la limite de ⌊nx⌋/n lorsque n tend vers +∞.

Exercice

Soit u ∈ R⁺. Calculer la limite de ∑_i=0^{⌊u√(d)⌋} i lorsque d tend vers +∞.

Exercice : Série harmonique

1. Montrer que pour tout x ∈ ]1 ; +∞[ on a ln(1 + x) ≤ x.
2. En déduire que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ (1)/(k) ≥ ∑_k=1ⁿ ln(1 + (1)/(k)).
3. Démontrer que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ ln(1 + (1)/(k)) = ln(n + 1).
4. En déduire lim_n→+∞ ∑_k=1ⁿ (1)/(k).

Exercice

1. Montrer que pour tout entier n ∈ N, on a ∑_k=0ⁿ k² = (n(n + 1)(2n + 1))/(6).
2. En déduire pour tout n ∈ N une expression de S_n = ∑_k=0ⁿ k × (n − k).
3. Montrer que (S_n)/(n³) a une limite finie lorsque n tend vers +∞.

Exercice

Moyenne arithmético-géométrique

1. Montrer que pour tout (a, b) ∈ (R⁺)² tel que a < b on a a < √(ab) < (a + b)/2 < b.
2. On fixe deux réels positifs u₀ et v₀ tel que u₀ < v₀. Montrer que les suites définies pour tout n ∈ N par u_n+1 = √(u_nv_n) et v_n+1 = (u_n + v_n)/2 sont bien définies et positives.
3. On pose pour tout n ∈ N δ_n = v_n − u_n. Montrer que la suite δ est positive, décroissante et que pour tout n ∈ N on a δ_n+1 ≤ δ_n/2.
4. En déduire que pour tout n ∈ N on a δ_n ≤ δ₀/2ⁿ.
5. Montrer que les suites u et v sont adjacentes.
6. Conclure.

Exercice

Montrer que les suites définies pour tout n ∈ N par u_n = ∑_k=0ⁿ (1)/(k!) et v_n = u_n + (1)/(n!) sont adjacentes.

Exercice

On pose pour tout n ∈ N, S_n = ∑_k=0ⁿ ((−1)^k)/(k + 1). Montrer que les suites (S_2n) et (S_2n+1) sont adjacentes.

Exercice

Soit r > 0 et s ∈ ]0, 1] ainsi que trois suites réelles (a_k)_k≥1, (b_k)_k≥1 et (c_k)_k≥1 satisfaisant pour tout k ≥ 1 le système { a_k+1 = rb_k + c_k ; b_k+1 = a_k ; c_k+1 = sb_k

Si les trois suites convergent avec des limites strictement positives, montrer que r + rs = 1.

Exercice

Soit n ≥ 2. On pose f_n(x) = xⁿ + x + 1 pour tout x ≥ 0.

1. Pour tout n ≥ 2, montrer que la fonction f_n s’annule en un unique réel que l’on notera x_n.
2. Montrer que la suite (x_n)_n≥2 est strictement positive et majorée par 1.
3. En calculant le signe de f_n+1(x_n), déterminer les variations de la suite (x_n).
4. En déduire la convergence de la suite et préciser sa limite.