Suites réelles

Définitions et exemples

Une suite peut se concevoir comme une liste infinie de termes. Formellement, une suite réelle est une famille de réels indexée par l’ensemble N, ou une application de N dans R.

Si une suite est notée u, chaque terme de la suite associe un rang n ∈ N et une valeur u_n ∈ R. En particulier, le terme initial est a priori noté u₀, mais il arrive qu’on définisse une suite sur N*, auquel cas le terme initial est noté u₁.

Les suites sont souvent définies par un terme général de la forme ∀n ∈ N, u_n = f(n) ou bien en précisant le terme initial et une formule de récurrence de la forme ∀n ∈ N, u_n+1 = f(u_n).

Exemples

Une suite constante est une suite dont tous les termes ont la même valeur.
Une suite arithmétique de raison r ∈ R est une suite satisfaisant la relation ∀n ∈ N, u_n+1 = u_n + r.
Une suite géométrique de raison q ∈ R est une suite satisfaisant la relation ∀n ∈ N, u_n+1 = u_n × q.
Une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de la forme ∀n ∈ N, u_n+1 = au_n + b.
La suite de Fibonacci est une suite récurrente double définie par F₀ = 0, F₁ = 1 et ∀n ∈ N, F_n+2 = F_n+1 + F_n.
Une suite logistique est une suite satisfaisant une relation de la forme ∀n ∈ N, u_n+1 = μu_n(1 − u_n).
Pour tout x ∈ R, la suite des décimales de x peut être définie par ∀n ∈ N, u_n = E(10ⁿ × x) − 10 × E(10ⁿ⁻¹ × x).
Pour tout N ∈ N*, la suite de Syracuse issue de N est la suite définie par u₀ = N et pour tout n ∈ N,
- si u_n est pair alors u_n+1 = u_n/2 ;
- si u_n est impair alors u_n+1 = 3 × u_n + 1.
La suite des factorielles peut être définie par récurrence par 0! = 1 et ∀n ∈ N, (n + 1)! = (n + 1) × n!
Si (u_n) est une suite réelle, la série associée est la suite des sommes partielles définie pour tout n ∈ N par S_n = ∑_i=0ⁿ u_i = u₀ + u₁ + ⋯ + u_n.
De même, on peut définir la suite des produits partiels pour tout n ∈ N par P_n = ∏_i=0ⁿ u_i = u₀ × u₁ × ⋯ × u_n.

La série associée à une suite constante est donc arithmétique, tandis que la suite des produits partiels d’une suite constante est géométrique.

Terme général d’une suite arithmétique: Soit u une suite arithmétique de raison r. Pour tout n ∈ N, on a u_n = u₀ + nr.
Terme général d’une suite géométrique: Soit u une suite géométrique de raison q. Pour tout n ∈ N, on a u_n = u₀ × qⁿ.

Démonstration

On procède par récurrence.

Propriété

Soit (a, b) ∈ (R \ {1}) × R. Soit u une suite arithmético-géométrique satisfaisant la relation de récurrence ∀n ∈ N, u_n+1 = au_n + b. Alors en notant λ l'unique solution réelle de l'équation λ = aλ + b, la suite v définie par ∀n ∈ N, v_n = u_n − λ est géométrique de raison a.

On peut aussi définir une suite à partir d’une autre.

Bornes et variations

Définitions

Soit u une suite réelle.

La suite est dite majorée s’il existe M ∈ R tel que pour tout n ∈ N on ait u_n ≤ M.

Elle est dite minorée s’il existe m ∈ R tel que pour tout n ∈ N on ait u_n ≥ m.

Elle est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Les suites constantes sont bornées. Une suite est positive si et seulement si elle est minorée par 0. Elle est négative si et seulement si elle est majorée par 0.

Propriété

Toute suite majorée (resp. minorée, resp. bornée) à partir d’un certain rang est majorée (resp. minorée, resp. bornée) globalement.

Propriété

Soit u une suite réelle et I un intervalle stable par une fonction f. S’il existe n ∈ N tel que u_n ∈ I alors tous les termes suivants appartiennent aussi à I.

Propriétés

Une suite est croissante (stricte) si et seulement si pour tout n ∈ N, on a u_n ≤ u_n+1 (resp. u_n < u_n+1).
Elle est décroissante (stricte) si et seulement si pour tout n ∈ N, on a u_n ≥ u_n+1 (resp. u_n > u_n+1).

En particulier, une suite arithmétique est croissante si et seulement si sa raison est positive ; elle est décroissante si et seulement si sa raison est négative. Une suite géométrique strictement positive est croissante si et seulement si sa raison est supérieure à 1 ; elle est décroissante si et seulement si sa raison est inférieure à 1.

Critère de variations par différences: Une suite u est croissante (resp. croissante stricte, resp. décroissante, resp. décroissante stricte) si pour tout n ∈ N, on a u_n+1 − u_n ≥ 0 (resp. u_n+1 − u_n > 0, resp. u_n+1 − u_n ≤ 0, resp. u_n+1 − u_n < 0).
Critère de variations par quotients: Une suite u strictement positive est croissante (resp. croissante stricte, resp. décroissante, resp. décroissante stricte) si pour tout n ∈ N, on a u_n+1/u_n ≥ 1 (resp. u_n+1/u_n > 1, resp. u_n+1/u_n ≤ 1, resp. u_n+1/u_n < 1).

Propriété

La somme de deux suites croissantes est croissante. Le produit de deux suites positives croissante est positive et croissante.

Démonstration

On applique le critère de variations par différences avec la compatibilité de l’addition et de la multiplication avec la relation d’ordre dans R.

Propriété

Soit f une fonction définie et croissante sur un intervalle stable I. Soit u une suite définie par une relation de récurrence u_n+1 = f(u_n). S’il existe N ∈ N tel que u_N ∈ I alors la suite u est monotone à partir du rang N.

Démonstration

On distingue deux cas, selon la comparaison de u_N et u_N+1.

Si u_N ≤ u_N+1 alors on montre par récurrence que pour tout n ≥ N on a u_n ≤ u_n+1.
L’initialisation est satisfaite par hypothèse.
Soit n ≥ N tel que u_n ≤ u_n+1. Par hypothèse sur f on a f(u_n) ≤ f(u_n+1) donc u_n+1 ≤ u_n+2.
Finalement, par principe de récurrence la propriété est vraie pour tout n ≥ N.
Si u_N ≥ u_N+1 on montre de même que la suite u est décroissante à partir du rang N.

Limite

Définitions

Soit u une suite réelle et L ∈ R.

On dit que u converge vers L et on note lim_n→+∞ u_n = L si pour tout intervalle ouvert J contenant L, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n ∈ J.

Une suite est dite divergente si elle n’est pas convergente.

On dit que u tend vers +∞ et on note lim_n→+∞ u_n = +∞ si pour tout M ∈ R, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n > M.

On dit que u tend vers −∞ et on note lim_n→+∞ u_n = −∞ si pour tout M ∈ R, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n < M.

Exemples

Toute suite constante converge vers sa valeur.
La suite (n)_{n ∈ N} tend vers +∞.
La suite (1/n)_{n ∈ N^∗} tend vers 0.

Démonstrations

Soit c ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant c. Tous les termes de la suite appartiennent à J.
Soit M ∈ R. D'après le caractère archimédien de R il existe N ∈ N tel que N > M dont pour tout n > N on a n > M.
Soit J un intervalle ouvert contenant 0. On note J = ]a, b[ avec a < 0 < b et pour tout n ∈ N^∗, on a 0 < 1/n < b ⇔ n > 1/b. Or d’après le caractère archimédien de R, il existe N ∈ N tel que N > 1/b donc pour tout n > N on a 0 < 1/n < b.

Propriété

Si une suite admet une limite, alors toute sous-suite extraite (par exemple, la suite des termes de rang pair) a la même limite.

Propriété

Toute suite convergente est bornée.

Soit u une suite convergente. On note L sa limite.

Il existe un rang N ∈ N à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ouvert ]L − 1 ; L + 1[. On note alors M = max({u₀, u₁, …, u_N, L + 1}) et m = min({u₀, u₁, …, u_N, L − 1}). Finalement, pour tout n ∈ N on a m ≤ u_n ≤M, donc la suite est bornée.

Propriété

Toute suite qui tend vers +∞ est minorée mais non majorée.

Démonstration

Soit u une suite qui tend vers +∞.

Il existe un rang N ∈ N à partir duquel tous les termes de la suite seront supérieurs à 0. On note alors m = min({u₀, u₁, …, u_N, 0}). Finalement, pour tout n ∈ N on a u_n ≥m, donc la suite est minorée par m.

Soit M ∈ R. Il existe un rang N′ ∈ N à partir duquel tous les termes de la suite seront strictement supérieurs à M donc en particulier u_N′+1 > M.

Finalement, la suite n’est pas majorée.

On démontre de manière analogue la propriété suivante.

Propriété

Toute suite qui tend vers −∞ est majorée mais non minorée.

Comparaison de limites

Propriété

Soient u et v deux suites réelles convergentes de limites respectives L et L′.

Si on a L > L′ alors il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n > v_n.
S’il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n ≤ v_n alors on a L ≤ L′.

Remarque

Ces deux implications ne sont pas contraposées l’une de l’autre. En outre, leurs réciproques admettent des contre-exemples, comme celui constitué par u = (1/n) et v = (0), de même limite 0.

Démonstration

On démontre la deuxième implication à l’aide de la première.

Supposons L > L′. On pose ε = (L−L′)/2. Alors il existe un rang N ∈ N à partir duquel tous les termes de u sont dans l’intervalle ouvert I = ]L − ε ; L + ε[ et un rang N′ ∈ N à partir duquel tous les termes de v sont dans l’intervalle ouvert I′ = ]L′ − ε ; L′ + ε[. En particulier, pour tout n > max(N, N′), on obtient u_n > L − ε = (L+L′)/2 = L′ + ε > v_n.

Supposons à présent qu’il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n ≤ v_n. On raisonne par l’absurde. Supposons donc en outre L > L′. D’après le cas précédent, il existe un rang à partir duquel tous les termes de u sont strictement supérieurs à ceux de v, ce qui est contradictoire avec l’inégalité large de sens contraire.

Unicité de la limite: Une suite ne peut pas avoir deux limites distinctes.

Démonstration

On procède par disjonction de cas.

Si une suite tend vers +∞, elle est non majorée donc ne peut converger ni tendre vers −∞.

Si une suite tend vers −∞, elle est non minorée donc ne peut converger non plus.

Soit u une suite admettant deux limites finies notée L et L′ avec L > L′. Alors il existe un rang à partir duquel tous les termes de u sont strictement supérieurs à eux-mêmes, ce qui est absurde.

Finalement, une suite ne peut converger que vers une seule limite.

On en déduit que toute suite admettant deux sous-suites extraites avec des limites différentes ne peut avoir de limite.

Opérations

Limite d’une somme

Soit u et v deux suites réelles.

Si u et v convergent alors leur somme converge aussi et on trouve lim_n→+∞ (u_n + v_n) = lim_n→+∞ u_n + lim_n→+∞ v_n.
Si u tend vers +∞ et si v est minorée alors lim_n→+∞ (u_n + v_n) = +∞.
Si u tend vers −∞ et si v est majorée alors lim_n→+∞ (u_n + v_n) = −∞.

Démonstration

On démontre le premier et le deuxième cas. Le troisième se démontre de manière analogue au deuxième.

Supposons que u et v convergent. On note L et L′ leurs limites respectives.
Soit J un intervalle ouvert contenant L + L′. Il existe ε ∈ R^∗+ tel que ]L + L′ − ε, L + L′ + ε[ ⊂ J.

Il existe un rang N ∈ N à partir duquel tous les termes de u appartiennent à l’intervalle ouvert ]L − ε/2, L + ε/2[ et il existe un rang N′ ∈ N à partir duquel tous les termes de v appartiennent à l’intervalle ouvert ]L′ − ε/2, L′ + ε/2[.

Soit n > max(N, N′). On a L − ε/2 < u_n < L + ε/2 et L′ − ε/2 < v_n < L′ + ε/2 donc par addition on trouve L + L′ − ε < u_n + v_n < L + L′ + ε donc u_n + v_n ∈ J.

Finalement, la suite (u + v) converge effectivement vers (L + L′).
Supposons que u tende vers +∞ et qu’il existe m ∈ R tel que pour tout n ∈ N on ait v_n ≥ m.
Soit M ∈ R. Il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on ait u_n ≥ M − m donc par addition on trouve u_n + v_n ≥ M.

Finalement, la suite (u + v) tend effectivement vers +∞.

Limite d’un produit

Soit u et v deux suites réelles.

Si u tend vers 0 et si v est bornée alors leur produit converge vers 0.
Si u et v convergent alors leur produit converge aussi et on trouve lim_n→+∞ (u_n × v_n) = lim_n→+∞ u_n × lim_n→+∞ v_n.
Si u tend vers +∞ alors
- pour tout k ∈ R^∗+ on a lim_n→+∞ ku_n = +∞ ;
- pour tout k ∈ R^∗− on a lim_n→+∞ ku_n = −∞.

On démontre les trois cas successivement.

Supposons que u converge vers 0 et qu’il existe M ∈ R^∗+ tel que pour tout n ∈ N on ait |v_n| ≤ M.
Soit J un intervalle ouvert contenant 0. Il existe ε ∈ R^∗+ tel que ]− ε, ε[ ⊂ J. Puisque la suite u converge vers 0, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on ait u_n ∈ ]− ε/M, ε/M[ donc |u_n| ≤ ε/M donc par multiplication on trouve |u_nv_n| ≤ ε donc u_nv_n ∈ J.

Finalement, la suite (u_nv_n) converge effectivement vers 0.
Supposons que u et v convergent. On note L et L′ leurs limites respectives.
Pour tout n ∈ N on a u_nv_n − LL′ = u_n(v_n − L′) + (u_n − L)L′.

Or les suites (u_n − L) et (v_n − L′) convergent vers 0 et la suite u converge donc est bornée.

Donc on trouve lim_n→+∞u_n(v_n − L′) = lim_n→+∞ (u_n − L)L′ = 0 donc lim_n→+∞(u_nv_n − LL′) = 0 donc lim_n→+∞u_nv_n = LL′.
Supposons que u tende vers +∞ et soit k ∈ R^∗. On distingue deux cas.
- Si k > 0, soit M ∈ R^∗+. Il existe un rang N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n > M/k donc par multiplication on obtient ku_n > M.
  Finalement, la suite (ku_n) tend effectivement vers +∞.
- Si k < 0, soit M ∈ R^∗−. Il existe un rang N ∈ N tel que pour tout n > N on a u_n > M/k donc par multiplication on obtient ku_n < M.
  Finalement, la suite (ku_n) tend effectivement vers +∞.

Limite de l’inverse

Soit u une suite réelle.

Si u converge avec une limite L réelle non nulle alors u ne s’annule plus à partir d’un certain rang et son inverse converge vers 1/L.
Si u converge vers 0 et si tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang alors son inverse tend vers +∞.
Si u admet une limite infinie alors elle ne s’annule plus à partir d’un certain rang et son inverse tend vers 0.

On démontre les trois cas successivement.

Supposons que u converge avec une limite L non nulle.
Par propriété, u ne s’annule plus à partir d’un certain rang et pour tout n ∈ N on a 1/u_n − 1/L = L − u_n/u_nL. Or il existe un rang N ∈ N tel que pour tout n > N on a |u_n| > |L|/2 donc 1/|u_n| < 2/|L|. Donc la suite (1/u_nL) est bornée par 2/L² et la suite (L − u_n) tend vers 0 donc leur produit tend aussi vers 0.
Supposons que u converge vers 0 et que tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang. Alors pour tout M ∈ R^+∗ il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on ait 0 < u_n < 1/M donc 1/u_n > M. Donc la suite (1/u_n) tend vers +∞.
Supposons que u tende vers +∞. Alors tous ses termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang et pour tout ε ∈ R^+∗ il existe N ∈ N tel que pour tout n > N on ait u_n > 1/ε donc 0 < 1/u_n < ε. Donc la suite (1/u_n) tend vers 0.

On en déduit les règles de calcul de limites du quotient.

Limite du quotient

Soient u et v deux suites réelles telles que v ne s’annule plus à partir d’un certain rang.

Si u et v convergent avec lim_n→+∞ v_n ≠ 0 alors u/v converge vers lim_n→+∞ u_n/lim_n→+∞ v_n.
Si u tend vers l’infini et si v converge avec une limite non nulle alors u/v tend vers l’infini en respectant la règle des signes.
Si u est bornée et si v tend vers l’infini alors le quotient u/v converge vers 0.
Si u admet une limite non nulle et si v tend vers 0 avec des termes tous strictement positifs à partir d’un certain rang alors le quotient u/v tend vers l’infini en respectant la règle des signes.

Théorèmes

Théorème des limites de suites monotones: Toute suite croissante majorée converge.; Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.; Toute suite décroissante minorée converge.; Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.

Démonstration

On démontre les deux premiers cas. Les deux suivants se démontrent de façon analogue.

Soit u une suite croissante majorée. On note L = sup({u_n, n ∈ N}). Soit J = ]a, b[ un intervalle ouvert contenant L.
Puisque a < L il existe N ∈ N tel que u_N > a. Alors pour tout n > N on a a < u_N ≤ u_n ≤ L < b donc u_n ∈ J.

Finalement, la suite u converge bien vers L.

Soit u une suite croissante non majorée. Soit M ∈ R. Il existe N ∈ N tel que u_N > M. Alors pour tout n > N on a u_n > u_N > M.

Finalement, la suite u tend bien vers +∞.

Remarque

Pour tout M ∈ R, une suite croissante majorée par M ne converge pas nécessairement vers M.

Le théorème montre notamment que pour tout x ∈ R, la suite ((1 + x/n)ⁿ) admet une limite dans R^∗+ ∪ {+∞} car elle est croissante à partir d'un certain rang.

Soit x ∈ R. Pour tout n > |x|, on a (1 + x/n)ⁿ (1 − x/n)ⁿ = (1 − x²/n²)ⁿ < 1 donc aucune des deux suites ((1 + x/n)ⁿ) et ((1 − x/n)ⁿ) ne peut tendre vers +∞ et on peut définir exp(x) = lim_n→+∞(1 + x/n)ⁿ ∈ R.

Théorème de comparaison

Soient u et v deux suites réelles telles que pour tout n ∈ N à partir d’un certain rang on a u_n ≤ v_n.

Si lim_n→+∞ u_n = +∞ alors lim_n→+∞ v_n = +∞.
Si lim_n→+∞ v_n = −∞ alors lim_n→+∞ u_n = −∞.

Démonstration

On traite le premier cas. Le second se traite de manière analogue.

Supposons lim_n→+∞ u_n = +∞. Soit M ∈ R. Il existe un rang à partir duquel tous les termes de u sont supérieurs à M donc tous les termes de v aussi.

Finalement, la suite v tend aussi vers +∞.

Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes: Soient u, v, w trois suites réelles telles que u et w convergent vers la même limite et telles que pour tout n ∈ N à partir d’un certain rang on a u_n ≤ v_n ≤ w_n. Alors la suite v converge vers la même limite.

Démonstration

On note N₀ un rang à partir duquel on a les inégalités.

Soit J = ]a, b[ un intervalle ouvert contenant la limite commune à u et w. Il existe un rang N à partir duquel tous les termes de u sont dans J et un rang N′ à partir duquel tous les termes de w sont dans J. Donc pour tout n > max(N₀, N, N′) on a a < u_n ≤ v_n ≤ w_n < b, donc v_n ∈ J.

Finalement, la suite v converge bien vers la même limite.

Limite d’une suite géométrique

Soit q ∈ R. On distingue trois cas.

Si q > 1 alors lim_n→+∞ qⁿ = +∞.
Si −1 < q < 1 alors lim_n→+∞ qⁿ = 0.
Si q ≤ −1 alors la suite (qⁿ) diverge sans limite.

On démontre les trois cas successivement.

Si q > 1 on pose x = q − 1 > 0 et on a pour tout n ∈ N, qⁿ = (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx d’après l’inégalité de Bernoulli.
Or on a lim_n→+∞ (1 + nx) = +∞ donc lim_n→+∞ qⁿ = +∞.
Si q = 0 alors pour tout n ∈ N^∗ on a qⁿ = 0 donc lim_n→+∞ qⁿ = 0.
Si q ∈ ]−1, 1[\{0} alors 0 < |q| < 1 donc 1/|q| > 1 donc lim_n→+∞ 1/|q|ⁿ = +∞ donc lim_n→+∞ |q|ⁿ = 0.
Or pour tout n ∈ N on a −|q|ⁿ ≤ qⁿ ≤ |q|ⁿ donc par théorème d’encadrement on en déduit lim_n→+∞ qⁿ = 0.
Si q = −1 alors on a pour tout n ∈ N on a q²ⁿ = 1 et q²ⁿ⁺¹ = −1.
Si q < −1 alors on a q² > 1 donc on trouve lim_n→+∞ q²ⁿ = +∞ et lim_n→+∞q²ⁿ⁺¹ = −∞.
Dans les deux cas, la suite (qⁿ) admet deux sous-suites avec des limites différentes. Elle n’a donc pas de limite.

Limite d’une suite récurrente

Soit f une fonction continue sur un intervalle stable I, et (u_n)_n∈N une suite vérifiant pour tout n ∈ N, u_n+1 = f(u_n).
Si la suite converge à l’intérieur de I alors sa limite est un point fixe de f.

Démonstration

On note ℓ ∈ I la limite de la suite (u_n)_n∈N, d’où lim_n→+∞ f(u_n) = f(ℓ) par continuité de f. Mais lim_n→+∞ f(u_n) = lim_n→+∞ u_n+1 = ℓ donc f(ℓ) = ℓ.

Comparaison de croissance

Propriété

Soit (u_n) une suite à termes strictement positifs. Si la suite des quotients (u_n+1/u_n) converge vers un réel L < 1 alors lim_n→+∞ u_n = 0.

Démonstration

Avec les notations de la propriété, on note q un réel de ]L, 1[. Il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N on ait u_n+1/u_n ≤ q donc u_n+1 ≤ q u_n. Donc par récurrence on trouve pour tout n ≥ N, 0 ≤ u_n ≤ q^n−N u_N. Or lim_n→+∞ q^n−N = 0 donc par théorème d’encadrement, lim_n→+∞ u_n = 0.

Comparaison de croissance: Pour tout α > 0, pour tout q > 1, lim_n→+∞ qⁿ/n! = 0, lim_n→+∞ n^α/qⁿ = 0 et lim_n→+∞ ln(n)/n^α = 0.

Démonstration

Pour tout n ∈ N^∗, on calcule les quotients de termes successifs (n + 1)^α/qⁿ⁺¹ × qⁿ/n^α = 1/q (1 + 1/n)^α qui tend vers 1/q, et qⁿ⁺¹/(n + 1)! × n!/qⁿ = q/n + 1 qui tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Pour le troisième quotient, on utilise l’inégalité ln(n^α/2) ≤ n^α/2 d’où α ln(n)/2 ≤ n^α/2 donc 0 ≤ ln(n)/n^α ≤ 2/αn^α/2. Le théorème d’encadrement permet de conclure.

Suites adjacentes

Définition

Deux suites u et v sont dites adjacentes si elles sont monotones de sens contraires et si leur différence tend vers 0.

Convergence des suites adjacentes: Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

Démonstration

Soit u et v deux suites réelles telles que u soit croissante, v soit décroissante et lim_n→+∞ (v_n − u_n) = 0.

On raisonne par l’absurde pour montrer que tous les termes de u sont inférieurs à tous ceux de v.

Supposons qu’il existe (p, q) ∈ N² tel que u_p > v_q. Alors pour tout n > max(p, q) on a u_n ≥ u_p > v_q ≥ v_n donc u_n − v_n ≥ u_p − v_q. Donc par passage à la limite on obtient 0 ≥ u_p − v_q, ce qui est faux par définition.

Finalement, la suite u est croissante et majorée par v₀ et la suite v est décroissante et minorée par u₀, donc ces deux suites convergent.

On calcule alors lim_n→+∞ v_n − lim_n→+∞ u_n = lim_n→+∞ (v_n − u_n) = 0 donc les deux suites ont la même limite.

Cette propriété permet notamment de définir la moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs x et y comme la limite commune aux suites adjacentes définies par u₀ = √(xy), v₀ = (x + y)/2 puis pour tout n ∈ N, u_n+1 = √(u_nv_n), v_n+1 = (u_n + v_n)/2 (démonstration en exercice).