Méthodes de détermination du terme général d’une suite numérique

Suite arithmétique

Connaissant le terme initial et la raison
Si u est arithmétique de premier terme up et de raison r alors pour tout nN tel que np on a un = up + (np)r.
Connaissant deux termes
Si u est arithmétique alors sa raison peut se calculer à partir de deux termes distincts uj et uk en posant r = ukuj / kj.

Suite géométrique

Connaissant le terme initial et la raison
Si v est géométrique de premier terme vp et de raison q alors pour tout nN tel que np on a vn = vp × qnp.
Connaissant deux termes
Si v est géométrique ne s’annulant pas alors pour tout (j, k) ∈ N2 tel que jk sa raison q est solution de l’équation qkj = vk / vj.
Pour une suite réelle, il n’y a qu’une solution réelle si kj est impair, mais deux solutions réelles opposées sinon.
Dans le cas complexe, on se ramène au calcul des racines n-ièmes.

Suite arithmético-géométrique

Si u est une suite arithmético-géométrique satisfaisant la relation de récurrence nN, un+1 = aun + b avec a ≠ 1, on note λ l’unique solution de l’équation λ = aλ + b et on définit la suite v par nN, vn = unλ.

On montre ensuite que la suite v est géométrique de raison a.

Après avoir calculé le premier terme de la suite v, on exprime son terme général puis on en déduit celui de u.

Étant donnée une suite arithmético-géométrique définie par u0 = 0 et nN, un+1 = 3un + 4, on résout l’équation λ = 3λ + 4, dont l’unique solution est −2.
Puis on introduit la suite v définie par nN, vn = un + 2. Alors pour tout nN on obtient vn+1 = un+1 + 2 = (3un + 4) + 2 = 3vn. Donc la suite v est géométrique de raison 3, d’où pour tout nN, vn = v0 × 3n = 2 × 3n et un = 2 × 3n − 2.

Suite récurrente double linéaire

Si u est une suite satisfaisant une relation de récurrence nN, un+2 = aun+1 + bun alors on résout l’équation caractéristique associée x2 = ax + b et on distingue deux cas selon le nombre de solutions.

Dans les deux cas, on détermine les valeurs des coefficients à l’aide d’un système donné par les expressions de deux termes de la suite (en général u0 et u1).

Pour la suite de Fibonacci, l’équation caractéristique s’écrit x2x − 1 = 0, dont les solutions sont le nombre d’or φ = 1 + 5/2 et son conjugué algébrique φ′ = 1 − 5/2.

Les coefficients sont les solutions du système { A + B = 0 Aφ + Bφ′ = 1 c’est-à-dire A = 1/5 et B = −1/5 donc pour tout nN on a Fn = 1/5n − φ′n).

Suite avec une fonction de récurrence homographique

Si u est une suite satisfaisant une relation de récurrence nN, un+1 = aun + b / cun + d avec adbc et c ≠ 0, alors on résout l’équation x = ax + b / cx + d ce qui se met sous la forme d’une équation du second degré cx2 + (da)xb = 0.

Si le terme initial de la suite est une solution de l’équation, alors la suite est constante. Sinon, on distingue plusieurs cas selon le nombre de solutions.

Dans les deux cas, il ne reste qu’à résoudre l’équation définissant la suite v pour trouver le terme général de la suite u.