Convergence d’une suite numérique

Calcul explicite de la limite

Si on peut calculer explicitement la limite d’une suite et que cette limite est réelle, alors la suite converge.

Stabilité

La somme et le produit de suites convergentes constituent aussi des suites convergentes.

L'inverse d'une suite convergente vers une limite non nulle est aussi une suite convergente. Plus généralement, si (u_n) est une suite convergente vers un réel L et si f est une fonction continue en L alors la suite (f(u_n)) est aussi une suite convergente.

Suite monotone

Si une suite réelle est monotone à partir d’un certain rang, alors elle admet une limite. Cette condition est notamment remplie pour une suite définie par une fonction de récurrence croissante sur un intervalle stable.

La limite est finie si et seulement si la suite est bornée.

À l’aide de suites extraites

Si une suite a deux suites extraites qui ont des limites différentes, alors elle n’a pas de limite.

Série

Si une suite s’écrit sous la forme ∀n ≥ k, S_n = ∑_i=kⁿ u_i, alors la suite (S_n) est appelée série associée à la suite (u_n), parfois notée (∑ u_n) et certaines conditions permettent de déterminer sa convergence.

Divergence grossière: Si la suite (u_n) ne tend pas vers 0 alors sa série associée (∑u_n) diverge.
Série téléscopique: Toute série de la forme (∑(u_n+1 − u_n)) a le même comportement que la suite (u_n) associée.
Majoration du terme général: Si pour tout entier n à partir d’un certain rang, 0 ≤ u_n ≤ v_n et si la série (∑v_n) converge alors la série (∑u_n) converge aussi.
Convergence absolue: Si la série (∑|u_n|) converge alors la série (∑u_n) converge aussi.
Terme général négligeable: Si u_n = o_n→+∞ (v_n) avec une suite réelle (v_n) de signe constant à partir d’un certain rang et si la série associée (∑v_n) converge alors (∑u_n) converge aussi.
Séries d’équivalents: Si u_n ∼_n→+∞ v_n et si ces deux suites sont de signe constant à partir d’un certain rang, alors leurs séries associées divergent toutes deux ou convergent toutes deux.
Série de Riemann: La série (∑1/n^α) converge si et seulement si α > 1. En particulier, la série harmonique (pour α = 1) diverge.
Série alternée: Si la suite u est positive et tend vers 0, alors la série (∑(−1)ⁿu_n) converge.
Série de Bertrand: La série (∑1/(n ln^β(n))) converge si et seulement si β > 1.

Produit

Si une suite s’écrit sous la forme ∀n ≥ k, P_n = ∏_i=kⁿ u_i et que la suite (u_n) ne s’annule pas, alors on peut calculer pour tout n ≥ k, ln |P_n| = ∑_i=kⁿ ln |u_i|.

Si la série (∑ ln |u_i|) converge et que la suite (u_n) est positive à partir d’un certain rang alors la suite (P_n) converge aussi vers un réel non nul.

Si la série (∑ ln |u_i|) diverge vers −∞ alors la suite (P_n) converge vers 0.

Dans tous les autres cas, la suite (P_n) diverge.