Méthodes de détermination des variations d’une suite réelle
Cas général
Étant donné une suite (un), ses variations peuvent s’obtenir en étudiant le signe de la différence entre deux termes consécutifs.
Si pour tout n on a
un+1 − un > 0
alors la suite est strictement croissante.
Si pour tout n on a
un+1 − un < 0
alors la suite est strictement décroissante.
Si pour tout n on a
un+1 − un ≥ 0 alors la suite est croissante.
Si pour tout n on a
un+1 − un ≤ 0 alors la suite est décroissante.
Si la suite est strictement positive, alors on peut étudier les variations à partir du quotient de deux termes consécutifs.
Si pour tout n on a
un+1/un > 1
alors la suite est strictement croissante.
Si pour tout n on a
un+1/un < 1
alors la suite est strictement décroissante.
Si pour tout n on a
un+1/un ≥ 1 alors la suite est croissante.
Si pour tout n on a
un+1/un ≤ 1 alors la suite est décroissante.
À partir du terme général
Dans le cas d’une suite dont le terme général est donné à l’aide d’une fonction réelle
∀n ∈ N, un = f(n),
on peut étudier les variations de la fonction sur R+. Si la fonction est (strictement) monotone sur un intervalle de la forme [N, +∞[, la suite est (strictement) monotone de même sens de variation à partir du rang N.
Attention, si la fonction n’est pas monotone, cela ne signifie pas nécessairement que la suite ne l’est pas non plus.
Suite définie par une fonction de récurrence monotone
Si une suite est définie par ∀n ∈ N, un = f(un),
où la fonction de récurrence f est monotone sur un intervalle stable I
et up ∈ I
alors on distingue deux cas.
Si la fonction de récurrence est croissante alors la suite u est monotone et son sens de variation peut être obtenu en comparant deux termes consécutifs up
et up+1.
Si la fonction de récurrence est décroissante alors la suite u est stationnaire ou change de sens de variation à chaque terme. Dans ce cas, les suites extraites de rang pair et de rang impair sont monotones de sens de variation contraires, ce qui donne parfois lieu à des suites adjacentes.