Séries numériques

Cadre général

Définition

Soit (u_n)_n∈N une suite réelle ou complexe. Sa série associée est la suite définie pour tout n ∈ N, S_n = ∑_i=0ⁿ u_i, parfois notée (∑u_n).
Si cette série converge, sa limite est appelée somme de la série et notée ∑_n=0^+∞ u_n.

Si une suite est indexée par N^∗ ou plus généralement pour tout n ≥ k, la série associée est indexée par le même ensemble.

Remarque

Toute suite (u_n)_n∈N est la série associée à la suite (u_n − u_n−1)_n∈N, avec la convention u₋₁ = 0.

Propriété

Si une série converge alors son terme général tend vers 0.

Définition

Si le terme général d'une suite ne tend pas vers 0, on dit que sa série diverge grossièrement.

Exemples

La série géométrique (∑ 1/2ⁿ) converge.
La série harmonique (∑ 1/n) diverge.
La série des entiers (∑ n) diverge grossièrement.

Séries à termes positifs

Propriété

Une série à termes positifs est croissante.

Grâce au critère de convergence des suites croissantes, cette propriété mène au résultats suivant.

Théorème de comparaison: Soient (u_n)_n∈N et (v_n)_n∈N deux suites réelles telles que pour tout entier n à partir d’un certain rang, 0 ≤ u_n ≤ v_n. Si la série (∑v_n) converge alors la série (∑u_n) converge aussi.

Ce théorème permet entre autres de justifier le résultat suivant.

Critère de convergence des séries de Riemann: Soit α ∈ R. La série (∑1/n^α) converge si et seulement si α > 1.

De même, on montre ainsi qu'une série de Bertrand, de la forme (∑1/(n ln^β(n))) convergent si et seulement si β > 1.

Critère de d'Alembert

Soit (u_n)_n∈N une suite réelle à termes strictement positifs. Supposons que la suite (u_n+1/u_n) converge vers un réel L.

Si L < 1 alors la série (∑u_n) converge.
Si L > 1 alors la série (∑u_n) diverge grossièrement.

Le critère de d'Alembert ne permet pas de répondre lorsque la limite L des quotients de termes successifs vaut 1.

Sommes de référence

Série géométrique: Pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ la série (∑ xⁿ) converge absolument et sa somme vaut 1/(1 − x).
Séries géométriques dérivées: Pour tout x ∈ ]−1 ; 1[ les séries (∑ nxⁿ⁻¹) et (∑ n(n − 1)xⁿ⁻²) convergent absolument avec ∑_n=1^+∞ nxⁿ⁻¹ = 1/(1 − x)² et ∑_n=2^+∞ n(n − 1)xⁿ⁻² = 2/(1 − x)³.
Série exponentielle: Pour tout x ∈ R, la série (∑ xⁿ/n!) converge absolument et sa somme vaut e^x.

La somme géométrique répond à certains paradoxes de Zénon, en particulier celui d’Achille et la tortue : dans une course, le plus rapide ne peut jamais rattraper le plus lent, puisque le poursuivant doit d’abord atteindre le point d’où part le poursuivi, ce qui donne une longueur d’avance à ce dernier.

Si les deux protagonistes se déplacent à vitesse constante, la longueur d’avance obtenue par le poursuivi est proportionnelle à la distance initiale avec un facteur q < 1. Les distances comme les durées successives suivent alors une progression géométrique de raison q, dont la série associée converge. La poursuite s’arrête donc en un temps fini sur une distance finie, même si l’on peut concevoir une infinité d’étapes intermédiaires.

Séries à double indice

Interversion de somme: Soit (a_i,j)_(i,j)∈N² une famille réelle à termes positifs.
La série ∑_i=0^+∞ ∑_j=0^+∞ a_i,j a un sens et converge si et seulement si la série ∑_j=0^+∞ ∑_i=0^+∞ a_i,j a un sens et converge, et dans ce cas les deux sommes sont égales.

Démonstration

Supposons que pour tout i ∈ N la série ∑_j=0^+∞ a_i,j converge de somme S_i et que la série ∑_i=0^+∞ ∑_j=0^+∞ a_i,j converge.

Soit j ∈ N. Pour tout i ∈ N on a a_i,j ≤ S_i dont la série converge, donc par théorème de comparaison ∑_i=0^+∞ a_i,j converge.

Pour tout n ∈ N, on a donc ∑_j=0ⁿ ∑_i=0^+∞ a_i,j = ∑_i=0^+∞ ∑_j=0ⁿ a_i,j et comme pour tout i ∈ N on a ∑_j=0ⁿ a_i,j ≤ ∑_j=0^+∞ a_i,j, on en déduit ∑_j=0ⁿ ∑_i=0^+∞ a_i,j ≤ ∑_i=0^+∞ ∑_j=0^+∞ a_i,j

Par passage à la limite, on trouve donc ∑_j=0^+∞ ∑_i=0^+∞ a_i,j ≤ ∑_i=0^+∞ ∑_j=0^+∞ a_i,j. Le même raisonnement donne l’inégalité réciproque en intervertissant les indices, d’où l’on tire l’équivalence et l’égalité annoncées.