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Déterminer la nature des séries de terme général ci-dessous et préciser la valeur de la somme en cas de convergence à l’aide de séries téléscopiques ou de séries de référence.
- (1)/(√(n + 1) + √(n))
- e−n
- ln(1 + 1/n)
- ln(1 − 1/n2)
- n e−n
- (n2)/(2n)
- (k + 1)/(k!)
- (1)/(k!)
- ((−1)k)/(k!)
- (1)/((2k)!)
- (1)/((2k + 1)!)
- (2n + 1)/3n
Déterminer deux réels a et b
tels que pour tout n ∈ N∗ on ait
(1)/(n(n + 1))
= (a)/(n)
+ (b)/(n + 1)
et en déduire la somme de la série de terme général
(1)/(n(n + 1)).
Déterminer deux réels a et b
tels que pour tout k ∈ N∗ on ait
(1)/(4k2 − 1)
= (a)/(2k + 1)
+ (b)/(2k − 1)
et en déduire la somme de la série de terme général
(1)/(4k2 − 1).
Déterminer trois réels a, b et c
tels que pour tout n ≥ 2 on ait
(1)/(n3 − n)
= (a)/(n)
+ (b)/(n + 1)
+ (c)/(n − 1)
et en déduire la somme de la série de terme général
(1)/(n3 − n).
Pour quelles valeurs de
r ∈ R
la série de terme général
(rn)n≥0 est-elle convergente ?
Lorsque la série converge, donner une formule simple pour S1(r)
= ∑n≥0 rn.
ENS 2015 Exercice 1
Déterminer la nature des séries de terme général :
- sin(1/n)
- cos(1/n)
- tan(1/n)
- ln(sin(1/n))
- ln(cos(1/n))
- e1/n
- n−n
- ((1)/(n√(n)))
- (1)/(nln(n))
- (1)/(ln(n)ln(n))
- (1)/(exp(√(n)))
Déterminer la nature des produits infinis :
- ∏n≥1cos(x/n)
- ∏n≥1x1/n avec x>0
- ∏n≥1(√(n) + 1)/(√(n + 1))
Montrer que pour tout réel
u ≥ 0
on a
eu − e−u ≤ u eu2/6.
ENS 2015 exercice 3 partie II question 14
BCE 2020 exercice 2 question 1
Déterminer la nature des produits de terme général :
- 1 + 1/n
- 1 − 1/(n + 1)
- 1 − 1/(n + 1)2
BCE 2020 exercice 2 question 4
Soit
(an)n∈N∗ une suite de réels positifs. On note pour tout
n ∈ N∗
un = 1 + an,
pn
= ∏k=1n uk
et
Tn
= an/pn.
- Exprimer pour tout entier n ≥ 2
le quotient Tn
en fonction de pn
et de pn−1.
- Si la suite (pn)n∈N∗ converge vers un réel p > 0,
montrer que la série ∑n=1+∞ Tn converge vers 1 − 1/p.
- Si la suite (pn)n∈N∗ diverge,
montrer que la série ∑n=1+∞ Tn converge vers 1.
ENS 2017 planche 5 exercice 1
Soit
(un)n≥1
une suite réelle vérifiant
u1 > 0
et pour tout
n ≥ 1,
un+1
= (e−un)/(n).
- Montrer que la suite (un) converge.
- Quelle est la nature de la série (∑un) ?
Montrer que pour tout
x ∈ R on a
(ex + e−x)/(2) ≤ ex2/2.
ENS 2017 planche 7 exercice 2 question 1
Soit
(xn)n≥0
une suite réelle telle que
x0 = 0
et pour tout
n ≥ 0,
xn+1 = ln(exn − xn).
Montrer que la série
(∑xn) converge et calculer
∑n=0+∞ xn.
ENS 2017 planche 8 exercice 1
ENS 2019 problème C, 1re partie
Pour tout
x ∈ R,
montrer la convergence de la suite définie pour tout
N ∈ N∗
par
PN(x)
= ∏n=1N (1 + x/n) e−x/n, avec une limite strictement positive.
Problèmes
Soit
n ∈ N∗.
- Montrer que pour tout entier k > n on a
(k!)/(n!)
≥ (n + 1)k−n.
- En déduire que la série ∑k>n(1)/(k!)
est majorée par (1)/(n × n!).
- Calculer une valeur approchée de e à 0,001 près.
ProblèmeENS 2016 exercice 1 questions 2, 3, 5, 6
On pose pour tout
s ∈ [0, 1[,
f(s) = (1)/((1 − s)2).
- Montrer que pour tout entier n ≥ 1,
et pour tout s ∈ R, on a
(1 − s)2
(∑i=1n
isi−1)
= 1 − sn(1 + n − sn).
- Soit s ∈ R+.
Montrer que la série ∑i=1+∞ isi−1 converge si et seulement si
pour tout s < 1,
et que sa somme vaut dans ce cas f(s).
- Soit g : R → [0, 1[ une fonction dérivable.
Montrer que la fonction h = (1)/(1−g) est dérivable
avec pour tout s ∈ R,
h′(s) = ∑i=1+∞ ig′(s)g(s)i−1.
- Pour tout x ∈ ]0, 1[, montrer que la série
t(x) = ∑i=1+∞ i(1 − x)2i converge, puis déterminer la limite de x2t(x) lorsque x tend vers 0.
ProblèmeENS 2010 exercice 1B
Pour tout
n ∈ N∗
et pour tout
x ∈ R \ Z,
on pose
gn(x)
= 1/x
+ ∑k=1+∞ 2x/(x2 − k2).
- Montrer que pour tout x ∈ R \ Z,
la suite (gn(x))n∈N∗ converge.
On note g(x) sa limite.
- Montrer que la fonction g est impaire et périodique de période 1.
- Montrer que pour tout x ∈ R \ Z on a
g(x/2)
+ g((x + 1)/2)
= 2 g(x).
Annales
- Ecricome 2006 problème 2 question 2
- Série dérivée des puissances
- ENS 2010 exercice I
- Décomposition en série d’une fonction trigonométrique