Méthodes pour les nombres complexes

Opérations

L’addition, la soustraction et la multiplication des nombres complexes suivent les règles de calcul dans un corps commutatif (associativité, commutativité, distributivité) avec la règle i2 = −1.

Pour tout z = a + b i ∈ C, on peut calculer son conjugué z = a + b i = ab i et son module |z| = |a + b i| = a2 + b2. Attention, la partie imaginaire b est un réel !

On peut éviter d’avoir une partie imaginaire au dénominateur en multipliant les deux niveaux par le conjugué : pour tout z = a + b i ∈ C, 1/a + b i = ab i/a2 + b2.

En notation exponentielle, pour tout (ρ, θ, ρ′, θ′) ∈ R+ × R × R+ × R, on a ρ eiθ = ρ e−iθ, |ρ eiθ| = ρ, ρ eiθ × ρ′ eiθ′ = (ρ × ρ′) ei(θ+θ′) et si ρ′ ≠ 0, on a ρ eiθ/ρ′ eiθ′ = ρ/ρ′ ei(θθ′).

Les puissances d’exposant entier se calculent à partir de la forme algébrique avec la formule du binôme de Newton : (a + bi)n = k=0n (kn) ank bk ik où les puissances de i forment une suite 4-périodique avec i2 = −1, i3 = −i et i4 = 1.

À partir de la forme exponentielle, on peut utiliser la formule de De Moivre : pour tout (ρ, θ, n) ∈ R+ × R × Z, si ρ > 0 ou n ≥ 0, (ρ eiθ)n = ρn einθ.

Transformation

À partir de la forme exponentielle, il est facile de récupérer la forme algébrique via la forme trigonométrique : pour tout (ρ, θ) ∈ R+ × R, on a ρ eiθ = ρ cos(θ) + ρ sin(θ) i.

Inversement, à partir d’une forme algébrique z = a + b i ∈ C, on trouve directement le module ρ = |a + b i| et l’argument θ s’obtient ensuite en résolvant le système {ρ cos(θ) = aρ sin(θ) = b souvent à l’aide des valeurs remarquables en trigonométrie ou comme solution de l’équation tan(θ) = b/a.

En particulier, on a 1 = ei0, −1 = e et i = eiπ/2.

Racines

Les racines d’un nombre complexe s’obtiennent facilement à partir de la forme exponentielle : pour tout z = ρ eiθC, pour tout nN, le nombre z a n racines n-ièmes, de module nρ et d’argument θ + 2kπ/n, avec k ∈ [[0 ; n − 1]].

À partir de la forme algébrique, on peut trouver une expression des racines carrées de ω = a + b i ∈ C en résolvant le système {x2y2 = a2xy = bx2 + y2 = a2 + b2 avec (x, y) ∈ R2. Les première et troisième lignes permettent de trouver les carrés des composantes et la deuxième équation permet de préciser leur parité relative. On trouve donc deux solutions de la forme x + y i.