Méthodes pour les nombres complexes

Opérations

L’addition, la soustraction et la multiplication des nombres complexes suivent les règles de calcul dans un corps commutatif (associativité, commutativité, distributivité) avec la règle i² = −1.

Pour tout z = a + b i ∈ C, on peut calculer son conjugué z = (a + b i) = a − b i et son module |z| = |a + b i| = √a² + b². Attention, la partie imaginaire b est un réel !

On peut éviter d’avoir une partie imaginaire au dénominateur en multipliant les deux niveaux par le conjugué : pour tout z = a + b i ∈ C^∗, 1/(a + b i) = (a − b i)/(a² + b²).

En notation exponentielle, pour tout (ρ, θ, ρ′, θ′) ∈ R⁺ × R × R⁺ × R, on a (ρ e^iθ) = ρ e^−iθ, |ρ e^iθ| = ρ, ρ e^iθ × ρ′ e^iθ′ = (ρ × ρ′) e^i(θ+θ′) et si ρ′ ≠ 0, on a ρ e^iθ/(ρ′ e^iθ′) = ρ/ρ′ e^{i(θ−θ′)}.

Les puissances d’exposant entier se calculent à partir de la forme algébrique avec la formule du binôme de Newton : (a + bi)ⁿ = ∑_k=0ⁿ (k parmi n) a^n−k b^k i^k où les puissances de i forment une suite 4-périodique avec i² = −1, i³ = −i et i⁴ = 1.

À partir de la forme exponentielle, on peut utiliser la formule de De Moivre : pour tout (ρ, θ, n) ∈ R⁺ × R × Z, si ρ > 0 ou n ≥ 0, (ρ e^iθ)ⁿ = ρⁿ e^inθ.

Transformation

À partir de la forme exponentielle, il est facile de récupérer la forme algébrique via la forme trigonométrique : pour tout (ρ, θ) ∈ R⁺ × R, on a ρ e^iθ = ρ cos(θ) + ρ sin(θ) i.

Inversement, à partir d’une forme algébrique z = a + b i ∈ C^∗, on trouve directement le module ρ = |a + b i| et l’argument θ s’obtient ensuite en résolvant le système {ρ cos(θ) = a ;ρ sin(θ) = b ; souvent à l’aide des valeurs remarquables en trigonométrie ou comme solution de l’équation tan(θ) = b/a.

• Si a > 0 alors θ = arctan(b/a).
• Si a < 0 alors θ = π + arctan(b/a).
• Si a = 0 et b > 0 alors θ = π/2.
• Si a = 0 et b < 0 alors θ = −π/2.
• Si a = 0 et b = 0 alors n’importe quelle valeur réelle est valable pour θ.

En particulier, on a 1 = eⁱ⁰, −1 = e^iπ et i = e^iπ/2.

Racines

Les racines d’un nombre complexe s’obtiennent facilement à partir de la forme exponentielle : pour tout z = ρ e^iθ ∈ C^∗, pour tout n ∈ N^∗, le nombre z a n racines n-ièmes, de module ⁿ√ρ et d’argument (θ + 2kπ)/n, avec k ∈ [[0 ; n − 1]].

À partir de la forme algébrique, on peut trouver une expression des racines carrées de ω = a + b i ∈ C^∗ en résolvant le système {x² − y² = a ;2xy = b ;x² + y² = √(a² + b²) ; avec (x, y) ∈ R². Les première et troisième lignes permettent de trouver les carrés des composantes et la deuxième équation permet de préciser leur parité relative. On trouve donc deux solutions de la forme x + y i.