Fonctions de référence

Fonctions affines

Les fonctions affines, de la forme x ↦ ax + b, sont définies sur R et représentées par une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.

Elles sont de dérivée constante, avec un sens de variation et des limites à l’infini dépendant du signe du coefficient a.

Les fonctions constantes sont les fonctions affines dont le taux d’accroissement est nul. Toute fonction affine non constante est strictement monotone de réciproque une fonction affine.

Les fonctions linéaires sont les fonctions affines qui s’annulent en 0, c’est-à-dire celles dont le coefficient constant est nul. En particulier, la fonction identité est la fonction x ↦ x. Les fonctions linéaires sont les fonctions affines impaires.

Fonction carré

Elle est définie sur R, paire et positive, ne s’annulant qu’en 0.

Sa réciproque sur R⁺ est la fonction racine carrée.

Fonctions du second degré

Les fonctions du second degré, de la forme x ↦ ax² + bx + c avec a ≠ 0, sont définies sur R et représentées par une parabole d’axe parallèle à l’axe des ordonnées.

Leur signe dépend du signe du coefficient a et du discriminant Δ = b² − 4ac. Lorsque Δ > 0, la fonction admet deux racines x₁ = −b − √Δ/2a et x₂ = −b + √Δ/2a. Les variations et limites à l’infini dépendent du signe du coefficient a :

Fonctions puissances

Les fonctions puissances d’exposant entier généralisent la fonction constante de valeur 1 (fonction puissance d’exposant 0), la fonction identité (d’exposant 1), la fonction carré (d’exposant 2) et la fonction cube (d’exposant 3).

Pour tout n ∈ N*, la fonction x ↦ xⁿ est définie et de classe C^∞ sur R de dérivée x ↦ nxⁿ⁻¹. Son signe et ses variations dépendent de la parité de n :

Si n est pair, la fonction puissance d’exposant n est paire et elle induit une bijection de R⁺ sur R⁺. Si n est impair, la fonction puissance d’exposant n est impaire et elle induit une bijection de R sur R.

Dans les deux cas, la réciproque est appelée racine n-ième x ↦ ⁿ√x.

Pour tout n ≥ 2, la courbe de la fonction puissance d’exposant n admet une tangente horizontale à l’origine et une branche parabolique dirigée par l’axe des ordonnées en +∞ et en −∞.

Fonction inverse

La fonction inverse x ↦ 1/x est définie et de classe C^∞ sur R*, de dérivée x ↦ −1/x². Elle est impaire, décroissante stricte sur R^∗− et sur R^∗+ mais pas globalement sur R*.

Sa courbe dans un repère est une hyperbole admettant pour asymptotes les deux axes du repère.

La fonction inverse permet de définir les fonctions puissances d’exposant entier négatif en posant pour tout (n, x) ∈ N* × R*, x⁻ⁿ = 1/xⁿ.

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée x ↦ √x est définie, continue, strictement croissante et positive sur R⁺, ne s’annulant qu’en 0, mais elle n’est dérivable que sur R^∗+, de dérivée x ↦ 1/2√x. Elle est de fait de classe C^∞ sur R^∗+.

Sa courbe dans un repère orthogonal du plan est un arc de parabole d’axe confondu avec l’axe des abscisses et de sommet à l’origine du repère, avec une demi-tangente verticale à l’origine.

Fonction valeur absolue

Elle est définie sur R, paire et positive, ne s’annulant qu’en 0.

Sa courbe dans le plan muni d’un repère orthonormé est la réunion de deux demi-droites issues de l’origine : les bissectrices des deux premiers quadrants.

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle exp : x ↦ e^x est de classe C^∞ sur R et égale à sa dérivée. Elle est strictement positive, strictement croissante et convexe sur R.

Sa courbe dans un repère du plan admet une asymptote horizontale en −∞ confondue avec l’axe des abscisses et une branche parabolique en +∞ dirigée selon l’axe des ordonnées. Sa tangente à l’origine est la droite d’équation y = x + 1.

Fonction logarithme

La fonction logarithme naturel (ln) est de classe C^∞ sur R^∗+ avec pour dérivée la fonction inverse sur cet intervalle. Elle est strictement croissante et concave.

Sa courbe dans un repère du plan admet une asymptote verticale en 0 et une branche parabolique en +∞ dirigée selon l’axe des abscisses. Sa tangente au point d’abscisse 1 est la droite d’équation y = x − 1.

Soit a ∈ R^∗+ ∖ {1}. La fonction logarithme permet de définir le logarithme de base a, défini pour tout x ∈ R^∗+ par log_a(x) = ln(x)/ln(a). Cette fonction est aussi de classe C^∞ sur R^∗+ et strictement monotone, de réciproque la fonction exponentielle de base a, définie pour tout x ∈ R par a^x = exp(x ln(a)). Ces deux fonctions sont strictement croissantes si a > 1 et strictement décroissantes si a < 1.

Soit α ∈ R*. On peut aussi définir la fonction puissance d’exposant α par ∀x ∈ R^∗+, x^α = exp(α ln(x)). Cette fonction est aussi de classe C^∞ sur R^∗+. Elle est strictement croissante si α > 0 et strictement décroissante si α < 0. Dans les deux cas, sa réciproque est la fonction puissance d’exposant 1/α.

Fonctions trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus, respectivement notées sin et cos, sont définies et de classe C^∞ sur R avec sin′ = cos et cos′ = −sin. La fonction sinus est impaire, la fonction cosinus est paire et elles sont 2π-périodiques.

La fonction sinus induit une bijection de [−π/2 ; π/2] sur [−1 ; 1] et sa réciproque est appelée arc sinus et notée Arcsin, dérivable sur ]−1 ; 1[ de dérivée x ↦ 1/√(1 − x²).

La fonction cosinus induit une bijection de [0 ; π] sur [−1 ; 1] et sa réciproque est appelée arc cosinus et notée Arccos, dérivable sur ]−1 ; 1[ de dérivée x ↦ −1/√(1 − x²).

La fonction tangente, notée tan, est définie et de classe C^∞ sur R \ {π / 2 + kπ, k ∈ Z} = ⋃_k∈Z ]kπ − π/2 ; kπ + π/2[ par tan = sin/cos. Elle est π-périodique, impaire et sa dérivée tan′ = 1 + tan² = 1/cos² est strictement positive, donc la fonction est tangente est strictement croissante sur tout intervalle de son domaine de définition.

Elle induit une bijection de ]−π/2 ; π/2[ sur R, dont la réciproque, appelée arc tangente et notée Arctan est dérivable sur R de dérivéex ↦ 1/(1 + x²).

Fonction partie entière

La fonction partie entière, notée E, est définie et croissante sur R et constante sur chaque intervalle de la forme [k, k + 1[ avec k ∈ Z. Elle est continue en tout réel non entier et vérifie pour tout k ∈ Z, lim_{x→k, x < k} E(x) = k − 1 et lim_{x→k, x > k} E(x) = k.

En outre, on a pour tout x ∈ R, x − 1 < E(x) ≤ x donc lim_x→−∞ E(x) = −∞ et lim_x→+∞ E(x) = +∞.