Exponentielles et logarithmes

Notions
Exponentielle et logarithme naturel
Définitions
Nombre e, notation exponentielle, exponentielle et logarithme de base a
Résultats
Caractérisation de la fonction exponentielle, ses propriétés algébriques et limites
Propriétés algébriques, dérivée et limites de la fonction logarithme
Règles opératoires sur les puissances, limites des fonctions puissances
Comparaison de croissance
Compétences
Étudier des fonctions définies avec exponentielle et logarithme, et notamment les puissances d’exposant non entier

Le logarithme provient de la construction de tables de nombres au début du XVIIe siècle par John Napier (ou « Neper » selon la prononciation en anglais) permettant un calcul plus rapide des produits et quotients. Ses propriétés sont remarquées dans le problème de la quadrature de l’hyperbole, qui mène à la définition du logarithme naturel. Le lien avec la notation exponentielle conduit à la définition du nombre e et à la fonction exponentielle, dont l’étude doit beaucoup aux travaux de Leonhard Euler.

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp, est une fonction dérivable de R dans R satisfaisant les relations exp′ = exp et exp(0) = 1.

Propriété
La fonction exponentielle est strictement positive.
Démonstration
On pose pour tout x ∈ R, c(x) = exp(x) exp(−x).

La fonction c est dérivable sur R avec pour tout x ∈ R, c′(x) = exp(x) exp(−x) − exp(x) exp(−x) = 0.
Donc la fonction c est constante de valeur c(0) = exp(0) exp(0) = 1.

On en déduit que la fonction c ne s’annule pas donc la fonction exp non plus, donc elle est de signe constant d’après la contraposée du théorème des valeurs intermédiaires.

Propriété
La fonction exponentielle est caractérisée par les relations exp′ = exp et exp(0) = 1.
Démonstration
Soit g une fonction dérivable sur R à valeurs réelles vérifiant les relations g′ = g et g(0) = 1.

La fonction g/exp est donc dérivable sur R avec (g/exp)′ = g′ × exp − g × exp′/exp2 = 0.
Donc le quotient est constant de valeur g(0)/exp(0) = 1, donc g = exp.

Propriétés algébriques
Pour tout (x, y) ∈ R2 et pour tout n ∈ N on a 
  • exp(x+y) = exp(x) exp(y),
  • exp(−x) = 1/exp(x)
  • exp(x − y) = exp(x)/exp(y)
  • exp(nx) = exp(x)n.
Démonstration
On démontre les quatre relations successivement.

On pose e = exp(1), qui vérifie pour tout n ∈ N, en = exp(n).

On note alors pour tout x ∈ R, ex = exp(x).

La fonction exponentielle est de dérivée strictement positive donc elle est strictement croissante sur R.

Propriété
Pour tout x ∈ R on a exp(x) ≥ x + 1.
Démonstration
On pose pour tout x ∈ R, f(x) = exp(x) − (x + 1).

La fonction f est dérivable sur R de dérivée f′ = exp − 1, négative sur R− et positive sur R+, donc la fonction f est décroissante sur R− et croissante sur R+, or f(0) = 0, donc f est positive sur R.

Propriété
On a limx→+∞ ex = +∞ et limx→−∞ ex = 0.
Démonstration
On déduit la deuxième limite de la première.

Par théorème de comparaison, on a limx→+∞ x + 1 = +∞ donc limx→+∞ ex = +∞.

On a pour tout x ∈ R, ex = 1/e−x or limx→−∞ −x = +∞ et limX→+∞ eX = +∞ d’où on déduit la limite de la composée limx→−∞ e−x = +∞ d’où par passage à l’inverse limx→−∞ ex = 0.

Logarithme naturel

La fonction ln est la réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés algébriques
Pour tout (x, y) ∈ (R∗+)2 et pour tout n ∈ N on a 
  • ln(xy) = ln(x) + ln(y),
  • ln(1/x) = −ln(x)
  • ln(x/y) = ln(x) − ln(y)
  • ln(xn) = n ln(x).
Propriétés analytiques
Le logarithme naturel est de classe C∞ sur R∗+. Sa dérivée est la fonction inverse. Il est strictement croissant et vérifie limx→+∞ ln(x) = +∞ et limx→0 ln(x) = −∞.
On démontre les propriétés algébriques en montrant que pour chaque égalité les deux membres ont même image par la fonction exponentielle.

La classe de continuité provient du fait que le logarithme naturel est la réciproque d’une fonction exponentielle elle-même de classe C∞ avec une dérivée ne s’annulant pas.

La formule de la dérivée de la réciproque donne pour tout x ∈ R∗+, ln′(x) = 1/exp′(ln(x)) = 1/x, donc la dérivée est strictement positive et le logarithme naturel est strictement croissant.

On démontre les limites à l’aide des équivalences pour tout M ∈ R, ln(x) < M ⇔ x < eM.

Autres fonctions

Définition
Pour tout (a, x) ∈ R∗+ × R on note ax = exp(x ln(a)).

Cette notation est cohérente avec la notation usuelle des puissances d’exposant entier, mais les conditions d’application des règles d’opération sur les puissances précisent des restrictions nécessaires.

Règles opératoires sur les puissances
Pour tout (a, b) ∈ (R∗+)2 et pour tout (x, y) ∈ R2 on a 
  • bx+y = bx × by et (bx)y = bxy
  • b−x = 1/bx et bx−y = bx/by
  • (ab)x = axbx
  • (a/b)x = ax/bx
Remarque
Ces règles ne sont pas respectées dans la suite d’égalités (fausse) ci-dessous : −1 = (−1)1 = (−1)2×0,5 = ((−1)2)0,5 = 10,5 = 1.
Définition
Pour tout a ∈ R∗+\{1}, on définit la fonction exponentielle de base a sur R par expa : x ↦ ax et le logarithme de base a sur R∗+par loga : x ↦ ln(x)/ln(a).
Propriété
Les fonctions exponentielle et logarithme d’une même base sont réciproques l’une de l’autre. Elles sont strictement croissantes si a > 1 et strictement décroissantes sinon.
Définition
Pour tout α ∈ R*, on définit la fonction puissance d’exposant α sur R∗+ par x ↦ xα.
Propriété
Les fonctions puissances étendent la notion de puissance d’exposant entier. Elles sont de classe C∞ et pour tout α ∈ R* la fonction puissance d’exposant α a pour dérivée la fonction x ↦ α xα−1 et pour réciproque la fonction puissance d’exposant 1/α.

En particulier, pour tout n ∈ N*, la fonction puissance d’exposant 1/n s’identifie à la restriction à R∗+ de la racine n-ième : ∀x ∈ R∗+, x1/n = n√x.

Propriété
Pour tout p ∈ R+∗ on a

Comparaison de croissance

Propriété
Pour tout (p, k) ∈ (R+∗)2 on a