Analyse locale

Limite finie en un réel

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[. Soit ℓ ∈ R.

On dit que f admet ℓ comme limite à droite en a et on note lim_x→a_x>a f(x) = ℓ si pour tout intervalle ouvert J contenant ℓ il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que f(]a, c[) ⊂ J.

De même, on dit que f admet ℓ comme limite à gauche en b et on note lim_x→a_x<a f(x) = ℓ si pour tout intervalle ouvert J contenant ℓ il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que f(]c, b[) ⊂ J.

Cette définition formalise l’idée que lorsque un point de la courbe se rapproche d’un réel a en abscisse, il se rapproche du réel ℓ en ordonnée.

Remarque

Une fonction peut admettre des limites différentes à gauche et à droite.

Exemple

Toute fonction constante de valeur c ∈ R sur un intervalle ]a, b[ admet la limite c à droite en a et à gauche en b.
En particulier, pour tout a ∈ Z on trouve lim_x→a_x<a ⌊x⌋ = a − 1 ≠ ⌊a⌋.

Propriété

Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I à gauche ou à droite d’un réel a.
Si pour tout x ∈ I on a f(x) ≤ g(x) et si les deux fonctions f et g admettent toutes deux des limites en a alors lim_x→a f(x) ≤ lim_x→a g(x).

Démonstration

On note lim_x→a f(x) = ℓ et lim_x→a g(x) = ℓ′. Supposons ℓ > ℓ′. Les intervalles ]−∞, (ℓ+ℓ′)/(2)[ et ](ℓ+ℓ′)/(2), +∞[ sont ouverts et contiennent respectivement ℓ′ et ℓ, donc il existe un intervalle J (à gauche ou à droite de a) tel que pour tout x ∈ J, f(x) > (ℓ+ℓ′)/(2) > g(x), ce qui contredit l’hypothèse.

Propriété

Une fonction ne peut admettre deux limites différentes du même côté.

Démonstration

Si une fonction admet deux limites différentes ℓ et ℓ′ (du même côté à gauche ou à droite) en un même réel a, comme elle est inférieure ou égale à elle-même on en déduit ℓ ≤ ℓ′ et ℓ′ ≤ ℓ donc ℓ = ℓ′.

Définition

Soit f une fonction définie sur des intervalles ouverts à gauche et à droite d’un réel a mais pas en a lui-même. Soit ℓ ∈ R.
On dit que f admet ℓ comme limite en a et on note lim_x→a f(x) = ℓ si lim_x→a_x<a f(x) = lim_x→a_x>a f(x) = ℓ .
Si la fonction f admet une valeur en a, la définition de la limite recouvre en plus que lim_x→a f(x) = f(a).

De façon équivalente, on peut écrire lim_x→a f(x) = ℓ si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ 𝒟_f on a |x − a| < η ⇒ |f(x) − ℓ| < ε.

Théorème d’encadrement: Soient f, g et h trois fonctions définies sur un même intervalle I à gauche ou à droite d’un réel a.
Si pour tout x ∈ I on a f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si f et h admettent une même limite finie ℓ (à gauche ou à droite) en a alors lim_x→a g(x) = ℓ.

Démonstration

Soit ε > 0. Il existe un intervalle contenant a (respectivement, à gauche ou à droite de a) sur lequel on a |f(x) − ℓ| < ε et |h(x) − ℓ| < ε donc ℓ − ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < ℓ + ε.

Propriétés

Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle ouvert d’extrémité a ∈ R.

Si lim_x→a f(x) = 0 et si g est bornée, alors lim_x→a f(x) × g(x) = 0.
Soit (ℓ, ℓ′) ∈ R².
Si lim_x→a f(x) = ℓ et lim_x→a g(x) = ℓ′ alors lim_x→a f(x) + g(x) = ℓ + ℓ′ et lim_x→a f(x) × g(x) = ℓ × ℓ′.

Les mêmes relations sont valables avec les limites à gauche ou à droite.

Démonstration

On démontre successivement les deux propriétés sur un intervalle I ouvert contenant a (respectivement à gauche ou à droite de a).

Si g est bornée, il existe M ∈ R^+∗ tel que pour tout x ∈ I, |g(x)| ≤ M. Si en plus lim_x→a f(x) = 0, pour tout ε > 0, il existe un intervalle ouvert J (respectivement à gauche ou à droite de a) tel que pour tout x ∈ J on ait |f(x)| < ε/M, d’où |f(x) × g(x)| ≤ ε.

Supposons maintenant lim_x→a f(x) = ℓ et lim_x→a g(x) = ℓ′. Soit ε > 0. Il existe un intervalle ouvert J contenant a (respectivement à gauche ou à droite de a) tel que pour tout x ∈ J on ait |f(x) − ℓ| < ε/2 et |g(x) − ℓ′| < ε/2 donc |f(x) + g(x) − (ℓ + ℓ′)| ≤ |f(x) − ℓ| + |g(x) − ℓ′| < ε.

Avec les mêmes hypothèses, on a pour tout x ∈ I, f(x) × g(x) − ℓℓ′ = (f(x) − ℓ)g(x) + ℓ × (g(x) − ℓ′) or d’une part lim_x→a f(x) − ℓ = 0 avec g bornée sur J donc lim_x→a (f(x) − ℓ)g(x) = 0, d’autre part lim_x→a g(x) − ℓ′ = 0 donc lim_x→a ℓ (g(x) − ℓ′) = 0 donc lim_x→a f(x) × g(x) − ℓℓ′ = 0.

Limite d’une composée: Soit f et g deux fonctions réelles d'une variable réelle telles que g ∘ f soit définie sur un intervalle ouvert d’extrémité a ∈ R. Soit (b, ℓ) ∈ R² tels que lim_x→a f(x) = b et lim_x→b g(x) = ℓ. Alors lim_x→a g(f(x)) = ℓ.

Démonstration

Soit K un intervalle ouvert contenant ℓ. Il existe un intervalle ouvert J contenant b tel que pour tout y ∈ J on a g(y) ∈ K. Il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x ∈ I on a f(x) ∈ J donc g(f(x)) ∈ K.

Continuité

Définition

Soit f une fonction réelle définie en un réel a.
On dit que f est continue en a si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x ∈ I ∩ 𝒟_f on a f(x) ∈ J.

Exemple

Les fonctions constantes, identité, inverse et racine carrée sont continues en tout point de leur domaine de définition.

Démonstration

Soit f une fonction constante de valeur c définie sur un intervalle I. Soit a ∈ I. Pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) = c, pour tout x ∈ I on a f(x) = c ∈ J.
Soit a ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant id(a) = a. Pour tout x ∈ R on a l’équivalence id(x) ∈ J ⇔ x ∈ J.
Soit a ∈ R^∗+. Soit V un intervalle ouvert de 1/a. Il existe (b, c) ∈ R² tel que 0 < b < 1/a < c et ]b, c[ ⊂ V. On a les équivalences pour tout x ∈ R : 1/x ∈ ]b, a[ ⇔ 1/b > x > 1/c.
Donc l'intervalle ]1/c ; 1/b[ est un intervalle ouvert de a qui convient. Le raisonnement est analogue sur R^∗−.
Soit a ∈ R^∗+. Soit J un intervalle ouvert contenant √a dans R⁺. On note J = ]b, c[. Pour tout x ∈ R⁺ on a les équivalences √x ∈ J ⇔ b < √x < c ⇔ b² < x < c².
De même, pour tout intervalle J ouvert et contenant 0, on note J = ]b, c[ et on a les équivalences pour tout x ∈ R⁺, √x ∈ J ⇔ x < c².

On démontre également la continuité des autres fonctions de référence ln, exp, sin, cos…

Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle non dégénéré I et soit a ∈ I. La fonction f et continue en a si et seulement si lim_x→a f(x) = f(a).

La fonction partie entière x ↦ ⌊x⌋ est continue en tout réel non entier, mais est discontinue en tout entier.
La fonction valeur absolue est continue en 0 car on a lim_{x→0 ; x<0} |x| = lim_{x→0 ; x<0} −x = 0 et lim_{x→0 ; x>0} |x| = lim_{x→0 ; x>0} x = 0.

Propriété

Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle non dégénéré I. Si f et g sont toutes deux continues en un réel a ∈ I alors les fonctions f + g et f × g sont continues aussi en a.

En particulier, toutes les fonctions puissances d'exposant entier naturel sont continues sur R.

Propriété

Soit f une fonction réelle continue en un réel a. Soit g une fonction réelle continue en f(a). Alors la composée g ∘ f est continue en a.

Démonstration

On applique la caractérisation de la continuité par les limites.

On en déduit notamment que tout quotient de fonctions continues est continu sur son domaine de définition.

Définition

Soit I un intervalle réel non dégénéré. Soit a ∈ I et soit f une fonction réelle définie sur I\a.
On dit que la fonction f est prolongeable par continuité sur I si elle admet une limite finie en a. Dans ce cas, on appelle prolongement par continuité de f à I la fonction ^~f définie sur I par ∀x ∈ I \ a, ^~f(x) = f(x) et ^~f(a) = lim_x→a f(x).

Propriété

Le prolongement par continuité d’une fonction continue est continu.

Démonstration

Par construction, la fonction ^~f est continue en dehors de a et on a lim_{x→a ; x≠a} ^~f(x) = lim_x→a f(x) = ^~f(a).

Nombre dérivé

Définitions

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I.

Le taux d’accroissement (ou taux de variation) de f entre deux réels a et b distincts dans I est le quotient (f(b) − f(a)) / (b − a), correspondant au coefficient directeur de la corde sur la courbe de f entre les points d’abscisse a et b.

Le nombre dérivé (resp. à gauche, resp. à droite) de f en a est la limite, si elle existe, du taux d’accroissement (f(a+h) − f(a)) / h lorsque h tend vers 0 (resp. par valeurs inférieures, resp. par valeurs supérieures). On le note alors f′(a) (resp. f′_g(a) ou f′(a⁻), resp. f′_d(a) ou f′(a⁺) et on dit dans ce cas que la fonction f est dérivable (resp. à gauche, resp. à droite) en a.

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est alors la droite d’équation y = f′(a) × (x − a) + f(a).

La tangente est la droite limite approchée par les droites qui portent les cordes sur la courbe représentative de la fonction.

Toute fonction constante sur un intervalle non dégénéré est dérivable en tout point de cet intervalle de nombre dérivé 0.
La fonction identité est dérivable en tout réel de nombre dérivé 1.
La fonction racine carrée est dérivable en tout réel strictement positif a de nombre dérivé (1)/(2√(a)).

Démonstration

Les taux d’accroissement d’une fonction constante sont nuls.
Les taux d’accroissement de la fonction identité sont tous égaux à 1.
Pour tout a ∈ R^∗+, pour tout h ∈ ]−a, a[ on calcule (√(a + h) − √a) / h = (√(a + h) − √a)(√a + h) + √a) / (h(√(a + h) + √a)) = 1 / (√(a + h) + √a) donc par continuité de la fonction racine carrée on obtient la limite voulue.

Propriété

Toute fonction dérivable en un point de son domaine de définition est continue en ce point.

Démonstration

Soit f une fonction dérivable en un point a de son domaine de définition. Alors on a lim_h→0 (f(a+h) − f(a))/(h) = f′(a) et lim_h→0 h = 0 donc par produit on trouve lim_h→0 f(a+h) − f(a) = 0 donc lim_h→0 f(a+h) = f(a).

Donc la fonction f est bien continue en a.

Propriété

Soient u et v deux fonctions définies sur I et dérivables en un même réel a ∈ I.

Pour tout λ ∈ R, la fonction λu + v est dérivable en a et on a (λu + v)′(a) = λu′(a) + v′(a).

De même, la fonction u × v est dérivable en a et on a (u × v)′(a) = u′(a)v(a) + u(a)v′(a).

Si en outre on a v(a) ≠ 0 alors la fonction v ne s’annule pas sur un intervalle ouvert contenant a et la fonction 1/v est dérivable en a avec (1 / v)′(a) = −v′(a)/(v(a))².

Avec la même hypothèse, le quotient u/v est dérivable en a avec (u / v)′(a) = u′(a)v(a) − u(a)v′(a) / (v(a))².

Démonstration

On calcule successivement les taux d’accroissement avant de calculer leur limite.

Pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h ∈ I, on a ((λu + v)(a+h) − (λu + v)(a)) / h = λ(u(a+h) − u(a)) / h + (v(a+h) − v(a)) / h.

Donc on trouve lim_h→0 ((λu + v)(a+h) − (λu + v)(a)) / h = λu′(a) + v′(a).

De même, pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h ∈ I, on a ((u × v)(a+h) − (u × v)(a)) / h = ((u(a+h) − u(a)) × v(a+h) + u(a) × (v(a + h) − v(a))) / h = (u(a+h) − u(a))) / h × v(a+h) + u(a) × (v(a + h) − v(a)) / h.

Donc on trouve lim_h→0 ((u × v)(a+h) − (u × v)(a)) / h = u′(a) v(a) + u(a) v′(a) par continuité de u et de v en a.

Si on rajoute l’hypothèse v(a) ≠ 0, alors par continuité de v en a on trouve bien que la fonction v ne s’annule pas sur un intervalle ouvert contenant a et on calcule pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h soit dans cet intervalle ouvert, (1/v(a + h) − 1/v(a)) / h = (v(a) − v(a + h)) / (v(a) v(a + h) × 1 / h = −(v(a + h) − v(a)) / h × 1 / (v(a) v(a + h).

Donc on trouve lim_h→0 (1/v(a + h) − 1/v(a)) / h = −v′(a)/(v(a))².

Le calcul pour le quotient s’obtient en dérivant le produit u × 1 / v.

Propriété

Pour tout n ∈ N^∗, si f : x ↦ xⁿ alors pour tout x ∈ R, f′(x) = n xⁿ⁻¹.

Démonstration

On raisonne par récurrence.

Pour n = 1, la fonction f : x ↦ x vérifie bien pour tout x ∈ R, f′(x) = 1 = 1x⁰.

Soit n ∈ N^∗ tel que la formule soit vraie au rang n. Alors en posant u : x ↦ xⁿ et v : x ↦ x on trouve pour tout x ∈ R, (u × v)(x) = xⁿ⁺¹ et (u × v)′(x) = nxⁿ⁻¹ x + xⁿ × 1 = (n + 1)xⁿ.

Dérivée d’une composée: Soit u une fonction définie sur I à valeurs dans J et soit g une fonction réelle définie sur J telles que u soit dérivable en un réel a ∈ I et g soit dérivable en b = u(a) ∈ J.
Alors la fonction composée g ◦ u : x ↦ g(u(x)) est dérivable en a et on a (g ◦ u)′(a) = u′(a) × g′(u(a)).

Démonstration

On pose pour tout x ∈ J \ {b}, τ(x) = g(x) − g(b) / x − b et τ(b) = g′(b). Par définition, la fonction τ est continue en b et pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h ∈ I, on a g(u(a + h)) − g(u(a)) / h = u(a + h) − u(a) / h × τ(u(a + h)).

Donc on trouve lim_h→0 (g(u(a + h)) − g(u(a))) / h = u′(a) × g′(u(a)).

Dérivée de la réciproque: Soit f une fonction bijective de I vers J et dérivable en un point a ∈ I avec f′(a) ≠ 0, telle que sa réciproque f⁻¹ soit continue en f(a). Alors la réciproque est dérivable en b = f(a) et on a (f⁻¹)′(b) = 1/f′(a)

Pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h ∈ I, on pose k = f⁻¹(b + h) − f⁻¹(b).

On en déduit f(a + k) = f(a) + h puis (f⁻¹(b + h) − f⁻¹(b)) / h = k / (f(a + k) − f(a)).

Donc on trouve lim_h→0 (f⁻¹(b + h) − f⁻¹(b)) / h = 1 / f′(a).

Cette formule permet de justifier la dérivabilité et l’expression de la dérivée pour les fonctions ln et arctan à partir de l’expression des dérivées de exp et tan.

Étude locale

Propriété

Soit f une fonction dérivable en un réel a. Alors f admet un développement limité à l’ordre 1 en a, c’est-à-dire qu’il existe une fonction ε telle que f(x) = f(a) + f′(a) × (x − a) + (x − a)ε(x) avec lim_x→a ε(x) = 0.

Démonstration

On pose pour tout x ≠ a, ε(x) = (f(x) − f(a))/(x − a) − f′(a) et ε(a) = 0. La fonction ε satisfait alors les conditions de l’énoncé.

Définition

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ⊂ R. Soit a ∈ D. On dit que f admet un maximum local (resp. minimum local) en a s'il existe un intervalle ouvert J contenant a tel que pour tout x ∈ J on ait f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)).
On dit que f admet un extremum local en a si elle y admet un maximum local ou un minimum local.

Remarque

Tout maximum global est un maximum local et tout minimum global est un minimum local.

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit a ∈ I.
On dit que a est un point critique pour f si f est dérivable en a avec f′(a) = 0.

Condition nécessaire pour un extremum local: Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en un point a à l’intérieur de I (c’est-à-dire en dehors des bornes) et si f est dérivable en a alors on a f′(a) = 0.

Démonstration

Si f admet un minimum local en a, alors la fonction h ↦ f(a + h) − f(a) est positive au intervalle ouvert de 0 donc le taux d’accroissement f(a+h) − f(a) / h est négatif au intervalle ouvert à gauche de 0 et positif au intervalle ouvert à droite de 0 donc la limite commune à droite et à gauche est nulle. De même, si f admet un maximum local en f, le taux d’accroissement est positif à gauche en 0 et négatif à droite en 0 donc sa limite en 0 est nulle.

La fonction identité sur l’intervalle [1; 2] est dérivable sur [1; 2] avec un minimum en 1 et un maximum en 2 mais sa dérivée ne s’annule ni en 1 ni en 2.
La fonction cube est dérivable de nombre dérivé nul en 0 et pourtant elle n’admet pas d’extremum local en 0.

Condition nécessaire pour un minimum aux bornes: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a, b].
Si f admet un minimum en a alors f′(a) ≥ 0. Si f admet un minimum en b alors f′(b) ≤ 0.