Fonctions réelles

Introduction

Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’un ensemble D ⊂ R (appelé domaine de définition) vers R.

Dans le cadre du cours, on s'intéressera exclusivement aux fonctions définies sur une réunion d'intervalles non dégénérés.

Les fonctions affines, de la forme x ↦ ax + b, sont définies sur R. Les coefficients a et b sont respectivement leur taux d'accroissement et leur valeur à l'origine.
Parmi ces fonctions, les constantes sont les fonctions de la forme x ↦ c et les fonctions linéaires sont de la forme x ↦ ax. En particulier, la fonction nulle est la fonction x ↦ 0 et la fonction identité est la fonction x ↦ x.
La fonction carré est la fonction x ↦ x² définie sur R. C'est un cas particulier de fonction puissance de la forme x ↦ xⁿ avec n ∈ N.
La fonction inverse est définie sur R* par x ↦ 1/x.
La fonction racine carrée est définie sur R⁺ par x ↦ √x.
La fonction valeur absolue x ↦ |x| est définie sur R.
La fonction partie entière x ↦ E(x) est définie sur R.

Courbe représentative

La courbe représentative d'une fonction réelle f d'une variable réelle est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y) satisfont l'équation y = f(x).

En particulier, les droites non verticales dans le plan sont exactement les courbes représentatives des fonctions affines.

Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont la même courbe représentative.

Soient f et g deux fonctions réelles définies sur le même domaine D. On dit que la courbe de f est (strictement) au-dessus de la courbe de g si la différence f−g est (strictement) positive. Dans ce cas, on dit aussi que la courbe de g est (strictement) en-dessous de la courbe de f.

La courbe de la fonction racine carrée restreinte à l'intervalle [0 ; 1] est au-dessus de la courbe de la fonction identité restreinte à ce même intervalle.

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D non vide de R. Soit x ∈ D.
On dit que x est un point fixe de f si f(x) = x.

Les points fixes de f sont les abscisses des intersections de la courbe représentative avec la première bissectrice.

Image

L'image d'une fonction est l'image directe de son domaine de définition, autrement dit c'est l'ensemble des ordonnées des points de sa courbe représentative.

L'image de toute fonction constante est un singleton.
L'image de la fonction carré, de la fonction racine carrée et de la fonction valeur absolue est R⁺.
L'image de la fonction inverse est R^∗.
L'image de la fonction partie entière est Z.

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle définie sur [a, b]. Il n’y a pas d’inclusion en général entre l’ensemble image f([a, b]) et l’intervalle [f(a) , f(b)], ni dans un sens ni dans l’autre.

Soit I un intervalle réel non dégénéré et f une fonction réelle définie sur I. On dit que l’intervalle I est stable par f si on a f(I) ⊂ I.

Variations

Soit A une partie de R et f une fonction réelle définie sur A.

On dit que f est croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A² tel que x ≤ y on a f(x) ≤ f(y).
On dit que f est strictement croissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A² tel que x < y on a f(x) < f(y).

On dit que f est décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A² tel que x ≤ y on a f(x) ≥ f(y).
On dit que f est strictement décroissante sur A si pour tout (x, y) ∈ A² tel que x < y on a f(x) > f(y).

On dit que f est (strictement) monotone sur A si elle est (strictement) croissante ou décroissante sur A.

Une fonction monotone est strictement monotone si et seulement si elle est injective.

Les fonctions constantes sont les seules fonctions simultanément croissantes et décroissantes.
Toute fonction affine est monotone (strictement croissante si le taux d'accroissement est strictement positif, strictement décroissante si le taux d'accroissement est négatif).
La fonction carré est strictement décroissante sur R⁻ et strictement croissante sur R⁺.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur R⁺.
La fonction inverse est strictement décroissante sur R^∗+ et sur R^∗− mais pas sur R^∗.

Pour la fonction carré, on démontre les variations séparément sur R⁺ et sur R⁻.

Pour tout (x, y) ∈ (R⁺)² tel que x ≤ y on a les équivalences : x² ≤ y² ⇔ x² − y² ≤ 0 ⇔ (x + y)(x − y) ≤ 0 ce qui est vrai par règle des signes.

Pour tout (x, y) ∈ (R⁻)² tel que x ≤ y on a les équivalences : x² ≥ y² ⇔ x² − y² ≥ 0 ⇔ (x + y)(x − y) ≥ 0 ce qui est vrai par règle des signes.

La composée de deux fonctions monotones de même sens de variation est croissante. La composée de deux fonctions monotones de sens de variation contraires est décroissante.

On procède par disjonction de cas. Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R et soient f ∈ 𝓕(I, J) et g ∈ 𝓕(J, R).

Si f et g sont toutes deux croissantes alors pour tout (x, y) ∈ I² tel que x ≤ y on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction g ∘ f est croissante.

Si f et g sont toutes deux décroissantes alors pour tout (x, y) ∈ I² tel que x ≤ y on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≤ g(f(y)). Donc la fonction g ∘ f est croissante.

Si f est croissante et g décroissante alors pour tout (x, y) ∈ I² tel que x ≤ y on a f(x) ≤ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction g ∘ f est décroissante.

Si f est décroissante et g croissante alors pour tout (x, y) ∈ I² tel que x ≤ y on a f(x) ≥ f(y) donc g(f(x)) ≥ g(f(y)). Donc la fonction g ∘ f est décroissante.

La somme de deux fonctions monotones de même sens est aussi monotone de même sens. Le produit de deux fonctions positives et monotones de même sens est aussi monotone de même sens.

Il n'y a pas de règle générale pour la somme ou le produit de fonctions monotones de sens contraire, ni pour le produit de fonctions monotones de signe variable.

Parité et périodicité

Une fonction f est dite paire si son domaine 𝓓_f est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x ∈ 𝓓_f on a f(−x) = f(x).
Elle est dite impaire si son domaine est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x ∈ 𝓓_f on a f(−x) = −f(x).

Les fonctions constantes, la fonction valeur absolue, la fonction carré et plus généralement toutes les fonctions puissances d'exposant pair sont paires.
Les fonctions linéaires, la fonction inverse et toutes les fonctions puissances d'exposant impair sont impaires.

Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.

Si une fonction impaire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de même sens sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.
Si une fonction paire est monotone sur un intervalle, elle est monotone de sens contraire sur l'intervalle symétrique par rapport à 0.

Soit T ∈ R^∗+. Une fonction f est dite T-périodique si elle est égale à la fonction x ↦ f(x + T).

La fonction partie fractionnaire définie sur R par x ↦ x − E(x) est 1-périodique.

Une fonction est T-périodique si et seulement si sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur (T ; 0).

Bornes

Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel.
Une fonction est dite bornée si son image est bornée.

Caractérisation des fonctions bornées: Une fonction est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée.

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ⊂ R non vide.

S'il existe (m, M) ∈ R² tel que pour tout x ∈ D on ait m ≤ f(x) ≤ M alors on trouve −|M| − |m| ≤ − |m| ≤ m ≤ f(x) ≤ M ≤ |M| ≤ |M| + |m| donc |f(x)| ≤ |M| + |m|.

Réciproquement, s'il existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ D on ait |f(x)| ≤ M alors on trouve −M ≤ f(x) ≤ M

Soient f et g deux fonctions définies sur un même domaine D. Si f et g sont bornées alors leur somme et leur produit sont bornés aussi sur D.

Supposons qu'il existe (M, M′) ∈ R² tel que pour tout x ∈ D on ait |f(x)| ≤ M et |g(x)| ≤ M′.

Pour tout x ∈ D on a |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ M + M′ et |f(x) × g(x)| ≤ M × M′
donc f+g et f×g sont bornées.

Limite finie en un réel

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ⊂ R.

Soit a ∈ R.

On dit que f est définie au voisinage de a si pour tout intervalle ouvert I contenant a, on a I ∩ D ≠ ∅.

Si tel est le cas, soit L ∈ R. On dit que f admet une limite L en a si pour tout intervalle ouvert J contenant L il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x ∈ I ∩ D on a f(x) ∈ J et on note alors lim_x→a f(x) = L.

Soit a ∈ R et soit f une fonction d’une variable réelle telle que f soit définie en a et au voisinage de a. La fonction f est continue en a si et seulement si on a lim_x→a f(x) = f(a).

Soit I un intervalle non dégénéré de R. Soit a ∈ I. Soient f et g deux fonctions réelles définies sur I et continues en a. Alors f+g et f×g sont continues en a.
En outre, si g(a) ≠ 0 alors la fonction g ne s’annule pas au voisinage de a et le quotient f/g est continu en a.

Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R. Soit a ∈ I. Soit f une fonction réelle définie sur I à valeurs dans J et continue en a. Soit g une fonction réelle définie sur J et continue en b = f(a). Alors la composée g◦f est continue en a.

On utilise les propriétés des limites sur les opérations.

Continuité

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ⊂ R.

Soit a ∈ D. On dit que f est continue en a si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x ∈ I ∩ D on a f(x) ∈ J.

On dit que f est continue sur son domaine si elle est continue en chaque point de ce domaine.

Toute fonction constante est continue.
La fonction identité est continue sur R.
La fonction racine carrée est continue sur R⁺.

Soit c ∈ R. On définit la fonction f constante de valeur c sur R. Soit a ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant f(a) = c. Pour tout x ∈ R on a f(x) = c ∈ J.
Soit a ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant id(a) = a. Pour tout x ∈ R on a l’équivalence id(x) ∈ J ⇔ x ∈ J.
Soit a ∈ R^∗+. Soit J un intervalle ouvert contenant √a dans R⁺. On note J = ]b, c[. Pour tout x ∈ R⁺ on a les équivalences √x ∈ J ⇔ b < √x < c ⇔ b² < x < c².
De même, pour tout intervalle J ouvert et contenant 0, on note J = ]b, c[ et on a les équivalences pour tout x ∈ R⁺, √x ∈ J ⇔ x < c².

On utilise les propriétés des limites sur les opérations.

Continuité sur un intervalle

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D de R. On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout réel a de D.

Soit I un intervalle réel fermé et f une fonction réelle définie sur I et continue avec f(I) ⊂ I. Soit u une suite réelle convergente satisfaisant la relation de récurrence u_n+1 = f(u_n) avec u_n ∈ I à partir d’un certain rang.
Alors la limite de u est un point fixe de f dans I.

Soient f et g deux fonctions réelles continues sur un même domaine de R. Leur somme, leur différence, leur produit et leur quotient sont continues là où ils sont définis.

Soient f et g deux fonctions réelles d’une variable réelle continues. Leur composée g◦f est continue là où elle est définie.

Toute restriction d’une fonction continue est continue.

Si la restriction d’une fonction f à un intervalle ouvert I est continue, alors la fonction f est continue en tout point de I.

On en déduit que dans le cas d’une fonction définie par morceaux, la continuité se démontre par restriction à chaque intervalle ouvert et par limite à gauche et à droite en chaque point de la subdivision.

Soit I un intervalle réel non dégénéré. Soit a ∈ I et soit f une fonction réelle définie sur I\a.
On dit que la fonction f est prolongeable par continuité sur I si elle admet une limite finie en a. Dans ce cas, on appelle prolongement par continuité de f à I la fonction F définie sur I par ∀x ∈ I \ a, F(x) = f(x) et F(a) = lim_x→a f(x).

Le prolongement par continuité d’une fonction continue est continu.

Par construction, la fonction F est continue en dehors de a et on a lim_{x→a ; x≠a} F(x) = lim_x→a f(x) = F(a).

Fonctions réelles d'une variable réelle