Les nombres réels peuvent se concevoir comme les nombres s’écrivant avec un signe (positif ou négatif), un nombre fini de chiffres avant la virgule et une suite infinie de chiffres (éventuellement nuls) après la virgule.
Opérations arithmétiques
Définitions
L’ensemble R, muni des opérations d'addition et de multiplication, est un corps commutatif, c'est-à-dire qu'il satisfait les propriétés suivantes :
- l'addition et la multiplication sont associatives
- l'addition et la multiplication sont commutatives
- la multiplication est distributive par rapport à l'addition
- l'addition et la multiplication admettent des neutres notés respectivement 0 et 1
- tout nombre réel a admet un opposé (symétrique pour l'addition) noté −a qui vérifie a + (−a) = (−a) + a = 0 ;
- tout nombre réel a ≠ 0 admet un inverse (symétrique pour la multiplication) noté a−1 avec a × a−1 = 1.
Pour tout couple de réels (a, b), on définit alors la différence a − b = a + (−b), résultat de la soustraction et si b ≠ 0, le quotient ab = a / b = a × b−1 est le résultat de la division.
Pour tout réel a, on définit aussi son carré a2 = a × a.
Premières conséquences
Tout nombre réel a un seul opposé et tout nombre réel non nul a un seul inverse.
Le seul réel qui est égal à son opposé est 0.
Tout nombre réel est l'opposé de son opposé.
Le nombre 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout réel a, on a 0 × a = 0, donc 0 n'a pas d'inverse.
On en déduit aussi que pour tout réel a, on a −a = (−1) × a et en particulier, (−1)2 = (−1) × (−1) = −(−1) = 1.
On trouve aussi que l'inverse d'un nombre réel non nul n'est jamais nul et que tout nombre réel non nul est l'inverse de son inverse.
- Changement de signe
- Pour tout (a, b) ∈ R2, on a −(a + b) = −a − b et −(a − b) = −a + b.
- Identités remarquables
-
Pour tout (a, b) ∈ R2, on a :
- (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
- (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
- (a + b)(a − b) = a2 − b2.
- Règle d’annulation du produit
- Le produit de deux réels est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.
Fractions
Pour tout (a, b, c, d) ∈ R4 tel que c ≠ 0 et d ≠ 0, on a les propriétés suivantes.
- Caractérisation de l'égalité avec les produits en croix
- ac = bd ⇔ ad = bc
- Propriétés de calcul
- a = a1
- ac × bd = abcd
- ac + bc = (a + b)c
- ac + bd = (ad + bc)cd
- −ac = −ac = a−c
- 1(cd) = dc.
Puissances
On définit par récurrence les puissances de tout nombre réel a par a0 = 1 et pour tout n ∈ N, an+1 = an × a.
- Opérations sur les puissances
- Pour tout (a, b, n, p) ∈ R2 × N2, on a
- an+p = an × ap
- (an)p = an×p
- (ab)n = anbn
- si b ≠ 0, (ab)n = anbn
Puis on définit pour tout (a, n) ∈ R∗ × N∗, a−n = 1an, ce qui permet de généraliser les formules d'opérations sur les puissances avec des exposants entiers relatifs, à condition que la base soit non nulle.
Sommes et produits
- Somme géométrique
- Soit q ∈ R ∖ {1}. Pour tout n ∈ N, on a ∑k=0n qk = (1 − qn+1)(1 − q).
Pour n = 0, on trouve ∑k=00 qk = q0 = 1 = (1 − q)(1 − q).
Soit n tel que ∑k=0n qk = (1 − qn+1)(1 − q). On calcule ∑k=0n+1 qk = ∑k=0n qk + qn+1 = (1 − qn+1)(1 − q) + ((1 − q)qn+1)(1 − q) = (1 − qn+2)(1 − q).
- Formule du binôme de Newton
- Pour tout (a, b, n) ∈ R2 × N, (a + b)n = ∑k=0n (k parmi n) akbn−k.
Pour n = 0, on trouve (a + b)0 = 1 et ∑k=00 (k parmi 0) akb−k = (0 parmi 0) a0b0 = 1.
Soit n ∈ N tel que la propriété soit vraie au rang n.
On a (a + b)n+1
= (a + b)n × (a + b)
= ∑k=0n
(k parmi n)
ak+1bn−k
+ ∑k=0n
(k parmi n)
akbn+1−k
= ∑k=0n−1
(k parmi n)
ak+1bn−k
+ an+1
+ bn+1
+ ∑k=1n
(k parmi n)
akbn+1−k
= an+1
+ ∑k=1n
(k−1 parmi n)
akbn+1−k
+ ∑k=1n
(k parmi n)
akbn+1−k
+ bn+1
= an+1
+ ∑k=1n
(k parmi n+1)
akbn+1−k
+ bn+1
= ∑k=0n+1
(k parmi n+1)
akbn+1−k
.
- Formule de Bernoulli
- Pour tout (a, b, n) ∈ R2 × N∗, an − bn = (a − b) × ∑k=0n−1 akbn−k−1.
Si la famille (yp, … , yq) ne s’annule pas, ∏i=pq (xi)(yi) = (∏i=pq xi)(∏i=pq yi).
Relation d’ordre
L'ensemble R est muni d'un ordre total. On dit qu'un réel est positif s'il est supérieur ou égal à 0. Il est négatif s'il est inférieur ou égal à 0. En particulier, 0 est le seul réel qui soit à la fois positif et négatif.
Règles de compatibilité
Les opérations d’addition et de multiplication sont compatibles avec la relation d’ordre total, c’est-à-dire qu’on a pour tout (a, b, c) ∈ R3 :
- si a ≤ b alors a + c ≤ b + c ;
- si a ≥ 0 et b ≥ 0 alors ab ≥ 0.
La règle de compatibilité avec l’addition aboutit aux propriétés suivantes.
- si a ≤ b et c ≤ d alors a+c ≤ b+d
- si a < b et c ≤ d alors a+c < b+d
- on a les équivalences
- a ≤ b ⇔ −a ≥ −b
- a < b ⇔ −a > −b.
En particulier, l'opposé d'un réel positif est négatif, et réciproquement.
La deuxième règle de compatibilité donne alors la règle des signes.
| × | + | − |
|---|---|---|
| + | + | − |
| − | − | + |
- Règle des signes
- Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif ; le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.
En particulier, tout carré est positif, donc 1 est positif.
Cette règle permet aussi de démontrer les propriétés suivantes.
- si a ≤ b et c ≥ 0 alors a × c ≤ b × c
- si a < b et c > 0 alors a × c < b × c
- si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d alors a × c ≤ b × d.
- pour tout (a, b) ∈ (R∗+)2, a ≤ b ⇔ 1a ≥ 1b,
- pour tout (a, b) ∈ (R+)2, a ≤ b ⇔ a2 ≤ b2.
Inégalités sur les puissances
- si 0 ≤ a < b et n > 0 alors 0 ≤ an < bn
- si a ≥ 1 et n ≥ p alors an ≥ ap
- si a > 1 et n > p alors an > ap
- si 0 ≤ a ≤ 1 et n ≥ p alors an ≤ ap
- si 0 < a < 1 et n > p alors an < ap.
- Inégalité de Bernoulli
- Pour tout x ∈ R tel que x ≥ −1, pour tout n ∈ N, on a (1 + x)n ≥ 1 + nx.
On a (1 + x)0 = 1 = 1 + 0x donc la propriété est vraie au rang 0.
Soit n ∈ N tel que (1 + x)n ≥ 1 + nx. On a 1 + x ≥ 0 donc on trouve (1 + x)n(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) c’est-à-dire (1 + x)n+1 ≥ 1 + x + nx + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x.
Finalement, par principe de récurrence, l’inégalité est vraie pour tout n ∈ N.
Inégalités sur les sommes
Sous-ensembles de réels
Intervalles
- fermé (segment)
- [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
- ouvert
- ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}
- semi-ouvert à gauche
- ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
- semi-ouvert à droite
- [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}
Les éléments −∞ et +∞ ne représentent pas des réels, mais peuvent être conçus comme des éléments supplémentaires d'un ensemble appelé droite réelle continuée et noté R‾.
L'ensemble R = ]−∞ ; +∞[ est aussi un intervalle (à la fois ouvert et fermé), de même que les intervalles dégénérés que sont le vide et les singletons de la forme {a}.
On note aussi R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} = [0 ; +∞[ et R− = {x ∈ R : x ≤ 0} = ]−∞ ; 0]. Un éventuel astérisque indique que l’on exclut 0 : R* = {x ∈ R : x ≠ 0} = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.
L'intervalle ]a, b[ contient le réel (a + b)2 donc il est non vide.
Majoration, minoration et extremum
Elle est dite minorée s'il existe m ∈ R (appelé minorant) tel que pour tout x ∈ A, on ait m ≤ x.
Elle est dite majorée s'il existe M ∈ R (appelé majorant) tel que pour tout x ∈ A, on ait x ≤ M.
Elle est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Un maximum (ou plus grand élément) de A est un majorant de A qui appartient à A.
Un minimum (ou plus petit élément) de A est un minorant de A qui appartient à A.
- Toute partie d'une partie minorée (resp. majorée, resp. bornée) l'est aussi.
- L'union de deux parties minorées (resp. majorées, resp. bornées) l'est aussi.
- Une partie de N est finie si et seulement si elle est majorée.
On note respectivement max(A) et min(A) le maximum et le minimum d'une partie A de R, lorsqu'ils existent.
En particulier, toute partie de N non vide et majorée admet un maximum.
Borne supérieure ou inférieure
L’ensemble R est complet, c’est-à-dire qu’il vérifie la propriété suivante.
- Propriété de la borne supérieure
- Toute partie non vide et majorée dans R admet une borne supérieure.
On en déduit la propriété duale.
On note B l’ensemble de ses minorants. Par construction, tout élément de A est donc supérieur à tout élément de B.
Par définition, l’ensemble B est non vide et il existe au moins un élément de A qui majore B. D’après la propriété précédente, l’ensemble B admet une borne supérieure que l’on peut noter s.
Tout élément a ∈ A majore B donc vérifie a ≥ s. Donc s est bien un minorant de A.
Soit b un minorant de A. Par définition, on a b ∈ B donc b ≤ s. Finalement, s est bien le plus grand des minorants de A.
En particulier, ces propriétés permettent de démontrer le résultat suivant.
- Propriété d’Archimède
- L’ensemble R est archimédien, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R+, pour tout δ ∈ R+∗, il existe n ∈ N tel que nδ ≥ x.
Pour tout x ∈ R, la différence x − ⌊x⌋ ∈ [0 ; 1[ est la partie fractionnaire de x, parfois notée {x} (s’il n’y a pas confusion avec le singleton).
Racine carrée
Définition et premières propriétés
Pour tout x ∈ R+ il existe un unique r ∈ R+ tel que r2 = x. On le note √(x) et on l'appelle racine carrée de x.
En particulier, on a √(0) = 0 et √(1) = 1.
- Opérations sur les radicaux
- Pour tout (a, b) ∈ (R+)2 on a √(a) × √(b) = √(a × b) et si b > 0, (√(a))(√(b)) = √((a)(b))
- Pour tout (a, n) ∈ R+ × N on a (√(a))n = √(an).
- Inégalités avec les radicaux
- Pour tout (a, b) ∈ (R+)2, on a l'équivalence a ≤ b ⇔ √(a) ≤ √(b).
- Pour tout a ∈ ]0 ; 1[, on a √(a) > a
et pour tout a ∈ ]1 ; +∞[, on a √(a) < a.
Trinôme du second degré
Un trinôme du second degré à coefficients réels en la variable x est une expression s'écrivant sous la forme ax2 + bx + c, où a, b et c sont trois réels indépendants de x avec a ≠ 0. Dans ce cas, le réel Δ = b2 − 4ac est appelé discriminant du trinôme.
L'équation ax2 + bx + c = 0 d’inconnue x est alors appelée équation du second degré et ses solutions sont les racines du trinôme.
- Si Δ > 0, le trinôme se factorise sous la forme a(x + b2a + √Δ2a)(x + b2a − √Δ2a) et il y a exactement deux racines réelles distinctes qui sont (−b − √Δ)2a et (−b + √Δ)2a.
- Si Δ = 0, le trinôme se factorise en a(x + b2a)2 et il a une seule racine réelle qui est −b2a.
- Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle.
Pour tout x ∈ R on a ax2 + bx + c = a(x2 + ba x + ca) = a((x + b2a)2 − b24a2 + 4ac4a2) = a((x + b2a)2 − Δ4a2) dont la dernière forme est appelée forme canonique et on se ramène bien à l'un des trois cas suivants.
- Si Δ > 0, les identités remarquables aboutissent à la factorisation annoncée.
- Si Δ = 0, la forme canonique est déjà factorisée.
- Si Δ < 0, alors pour tout x ∈ R on a ((x + b2a)2 − Δ4a2) ≥ −Δ4a2 > 0 donc l’équation n’a pas de solution réelle.
- Si Δ > 0, on note
x1 = (−b − √Δ)2a
et x1 = (−b + √Δ)2a
d'où on tire les tableaux de signes suivants.
si a > 0 x −∞ x1 x2 +∞ a + + + x − x1 − 0 + + x − x2 − − 0 + ax2 + bx + c + 0 − 0 + si a < 0 x −∞ x2 x1 +∞ a − − − x − x1 − − 0 + x − x2 − 0 + + ax2 + bx + c − 0 + 0 − - Si Δ ≤ 0, d'après la mise sous forme canonique, le trinôme est toujours du signe de a.
Valeur absolue
Formulation analytique
- Si x ≥ 0 alors −x ≤ 0 donc |−x| = x = |x| donc |x| = x ≥ 0 et −|x| ≤ 0 ≤ x = |x|.
- Si x ≤ 0 alors −x ≥ 0 donc |−x| = −x = |x| donc |x| = −x ≥ 0 et −|x| = x ≤ 0 ≤ |x|.
Relations algébriques
et si y ≠ 0, |xy| = |x||y|.
- Inégalité triangulaire
- Pour tout (x, y) ∈ R2, on a |x + y| ≤ |x| + |y| avec égalité si et seulement si x et y sont de même signe.
Équations et inéquations
- Si B > 0 alors on a |A| = B ⇔ A = B ou A = −B
- Si B < 0 alors l'équation |A| = B n'a pas de solution.
- |A| ≤ B ⇔ −B ≤ A ≤ B
- |A| ≥ B ⇔ A ≥ B ou A ≤ −B