Résolution d’équation

Principes généraux

Si l’équation s’écrit A(x) = B(x), on se ramène à l’équation A(x) − B(x) = 0.

Dans le cas d’un produit nul A(x) × B(x) = 0, l’équation est équivalente à la disjonction A(x) = 0  ou  B(x) = 0.

Si au moins l’un des membres s’écrit avec une fraction, on réduit toute son expression au même dénominateur sans développer inutilement, puis on utilise l’égalité des produits en croix ou le fait qu’une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul.

Équation polynomiale

De façon générale, pour résoudre une équation de la forme P(x) = 0 où P est un polynôme (réel ou complexe), si on peut factoriser P, on peut se ramener à une équation à produit nul avec des facteurs polynomiaux de degré strictement inférieur.

En particulier, si on connait une racine λ du polynôme P, on peut le factoriser par (X − λ).

Premier degré

Une équation de la forme ax + b = 0 avec a ≠ 0 se résout sous la forme x = − b/a.

Second degré

Dans le cas d’une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 avec trois coefficients sont réels et si a ≠ 0, on calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac et on applique l’un des trois cas suivants.

Équation en puissance

Solutions réelles

Pour résoudre une équation de la forme xn = b avec b ∈ R∗, on distingue trois cas selon la parité de n ∈ N∗ et le signe de b.

Solutions complexes

Pour exprimer les solutions complexes d’une équation de la forme xn = b avec b ∈ C∗, on calcule le module ρ = |b| et l’argument θ = arg(b) puis on écrit qu’il y a exactement n solutions complexes de même module n√ρ et d’argument de la forme θ + 2ikπ/n avec 0 ≤ k < n.

Équation bicarrée

Pour résoudre une équation de la forme E : ax4 + bx2 + c = 0, on pose le changement de variable X = x2 puis on résout l’équation E′ : aX2 + bX + c = 0.

Pour chaque solution r de l’équation E′, on résout alors l’équation x2 = r. Toutes les solutions ainsi trouvées seront les solutions de l’équation E.

Plus généralement, dès lors que tous les exposants des monômes d’une équation polynomiale P(x) = 0 sont divisibles par un même entier k, on peut effectuer un changement de variable X = xk pour se ramener à une équation de la forme Q(X) = 0 où Q est un polynôme de degré deg(P)/k.

Équation symétrique

Une équation polynomiale symétrique est une équation de la forme P(x) = 0 où P(x) = anxn + … + a2x2 + a1x + a0 avec an = a0 ≠ 0 et pour tout k ∈ ⟦1 ; n − 1⟧, ak = an−k.

Si le degré n est impair, le nombre −1 est racine évidente du polynôme donc à l’aide d’une factorisation par (x + 1) on peut se ramener à une équation symétrique de degré pair.

Si le degré s’écrit n = 2k, on remarque que 0 n’est pas une solution, puis on détermine un polynôme Q de degré k tel que pour tout x ∈ R∗, P(x)/xk = Q(x + 1/x).

Pour ce faire, on calcule les k premières puissances de x + 1/x et on détermine les coefficients du polynôme Q avec un système de k équations linéaires qui est déjà sous forme triangulaire.

Équation avec radicaux

Pour résoudre une équation avec des radicaux, on essaie de raisonner par équivalences pour isoler un radical dans un membre de l’équation, quitte à ce que d’autres radicaux apparaissent dans l’autre membre.

Lorsque l’équation est de la forme f(x) = √g(x), après s’être assuré que la fonction g est bien positive sur le domaine d’étude, on étudie le signe de la fonction f, puis on écrit qu’il ne peut pas y avoir de solutions en dehors du domaine où la fonction f est positive.

Une fois qu’on a restreint le domaine d’étude, on résout l’équation (f(x))2 = g(x) et on ne garde que les solutions appartenant à ce domaine.

Si l’équation initiale comportait plusieurs radicaux non factorisables, il faut en général autant d’élévations au carré au cours de la résolution.

Équation avec valeur absolue

Une équation de la forme |f(x)| = |g(x)| est équivalente à la disjonction f(x) = g(x)  ou  f(x) = −g(x).

Pour résoudre une équation de la forme |f(x)| = g(x) on commence par déterminer le domaine sur lequel la fonction g est positive, puis on résout la disjonction f(x) = g(x)  ou  f(x) = −g(x) sur ce domaine.

Pour des équations plus compliquées dans lesquelles interviennent des valeurs absolues, on peut construire un tableau d’expressions des deux membres de l’équation pour obtenir des équations sans valeurs absolues et posées dans différents intervalles. On résout alors chaque équation sur son intervalle d’étude et on rassemble toutes les solutions ainsi trouvées.

Équation trigonométrique

Premier degré

Pour une équation de la forme cos(θ) = b, sin(θ) = b d’inconnue réelle θ ∈ R, on commence par vérifier que le réel b est compris entre −1 et 1, sinon il n’y a pas de solution.

Si cette condition est satisfaite, ou pour une équation de la forme tan(θ) = b On détermine ensuite une solution particulière de l’équation. Si b est l’une des valeurs remarquables des lignes trigonométriques, on obtient une des solutions de l’équation. Si b est l’opposé de l’une de ces valeurs, on en déduit une solution grâce aux relations cos(π − θ) = − cos(θ), sin(−θ) = − sin(θ) ou tan(−θ) = − tan(θ). Sinon, on peut introduire une solution particulière à l’aide des fonctions arccos, arcsin ou arctan.

Lorsque l’on dispose d’une solution particulière α ∈ R, toutes les solutions s’en déduisent selon le tableau suivant.

Équation Ensemble des solutions réelles
cos(θ) = b {α + 2kπ, k ∈ Z} ∪ {−α + 2kπ, k ∈ Z}
sin(θ) = b {α + 2kπ, k ∈ Z} ∪ {π − α + 2kπ, k ∈ Z}
tan(θ) = b {α + kπ, k ∈ Z}

Polynôme trigonométrique

Pour résoudre une équation s’écrivant sous la forme f(θ) = 0 où f(θ) est une combinaison linéaire de produits de puissances de cos(θ) et de sin(θ), on peut éliminer une des deux fonctions trigonométriques grâce à la relation cos2 + sin2 = 1, si tous ses exposants sont pairs.

Si l’équation s’écrit P(cos(θ)) = 0 (ou P(sin(θ)) = 0) avec un polynôme P, il suffit alors de déterminer les racines de P (c’est-à-dire résoudre l’équation polynomiale P(x) = 0) puis pour chaque racine r, résoudre l’équation cos(θ) = r (ou sin(θ) = r selon le cas).

Si cette réduction n’est pas possible, il existe une méthode plus générale qui consiste à remplacer les deux fonctions trigonométriques en posant cos(θ) = 1 − u2/1 + u2 et sin(θ) = 2u/1 + u2 pour aboutir à une équation polynomiale de la forme Q(u) = 0. Pour chaque racine r de Q, on détermine les solutions de tan(θ/2) = r. Toutes les solutions ainsi obtenues sont les solutions de l’équation initiale.

Avec multiplicateurs

Pour résoudre une équation de la forme P(cos(kt)) = b ou P(sin(kt)) = b, il suffit d’utiliser un changement de variable θ = kt puis de résoudre l’équation ainsi obtenue sans oublier d’en déduire l’expression des solutions en t à partir de celle des solutions en θ.

Lorsque l’équation met en jeu des fonctions trigonométriques avec des multiplicateurs entiers différents, on peut essayer de tout réduire au même multiplicateur (en général 1) à l’aide de la formule de De Moivre : cos(kt) = Re((cos(t) + i sin(t))k) et sin(kt) = Im((cos(t) + i sin(t))k).

Exponentielle et logarithme

Lorsqu’une équation peut s’écrire sous la forme f(x) = 0 où f(x) est une combinaison linéaire d’expressions de la forme ekx avec k entier (positif ou négatif), on peut mettre en facteur l’expression avec le coefficient k le plus bas pour obtenir une équation de la forme P(ex) = 0, où P est un polynôme.

Il suffit alors d’utiliser un changement de variable X = ex puis de résoudre l’équation P(X) = 0. Les solutions de l’équation initiale seront les logarithmes des racines strictement positives de P.

On résout de même les équations de la forme P(ln(x)) = 0 à l’aide du changement de variable X = ln(x).

Cas général

Valeurs réelles

Pour résoudre une équation de la forme f(x) = 0 qui ne se ramène pas à un des cas précédents, on peut essayer d’étudier ses variations de la fonction f pour décomposer son domaine de définition en intervalles sur lesquels f est strictement monotone.

Si la fonction est continue et que l’on peut déterminer le signe des limites de la fonction aux bornes de ces intervalles, le théorème de la bijection nous assure l’existence et l’unicité d’une solution à l’interieur de chacun de ces intervalles pour lesquels les limites aux bornes sont de signes opposés.

Valeurs complexes

Pour résoudre certaines équations dont les membres représentent des nombres complexes, on peut identifier les parties réelles et parties imaginaires pour se ramener à un système d’équations à valeurs réelles.

En particulier, si A et B sont deux fonctions réelles d’une variable réelle, une équation de la forme A(x) + iB(x) = 0 est équivalente au système A(x) = 0B(x) = 0