Polynômes

Dans tout ce cours, la variable K désigne l'un des corps R ou C.

Pour tout x ∈ K, un polynôme en x à coefficients dans K est une combinaison linéaire de puissances de x, c'est-à-dire un élément qui peut s'écrire sous la forme ∑_k=0ⁿ a_k x^k avec (a₀, a₁, … , a_n) ∈ Kⁿ⁺¹.

Vocabulaire

L'ensemble des polynômes à une indéterminée (souvent notée X) et à coefficients dans K st un espace vectoriel noté K[X] incluant K et contenant un élément X ∉ K, tel que pour tout élément P ∈ K[X] \ {0} il existe une unique famille (a₀, a₁, … , a_n) ∈ Kⁿ⁺¹ permettant d'écrire P = ∑_k=0ⁿ a_k X^k = a₀ + a₁ X + … + a_n Xⁿ avec a_n ≠ 0.

Soit P = ∑_k=0ⁿ a_k X^k ∈ K[X] \ {0} avec a_n ≠ 0. On note deg(P) = n, qu'on appelle degré du polynôme P.
Pour tout k ∈ ⟦0 ; n⟧, le facteur a_k est appelé coefficient de degré k.
En particulier, a₀ est le coefficient constant et a_n est le coefficient dominant de P. Si n > 0 alors on appelle coefficient sous-dominant le coefficient a_n−1.

Par convention, le polynôme nul est de degré −∞.

Un polynôme est dit unitaire ou normalisé si son coefficient dominant vaut 1.

Un monôme est un polynôme ayant un seul coefficient non nul.

Un polynôme constant est un polynôme de degré 0 ou le polynôme nul.

Soit P = ∑_k=0ⁿ a_kX^k ∈ K[X]. On appelle fonction polynomiale associée à P la fonction définie pour tout x ∈ K par P(x) = ∑_k=0ⁿ a_k x^k. Pour tout Q ∈ K[X] on note P ◦ Q ou P(Q) le polynôme ∑_k=0ⁿ a_kQ^k.

Opérations arithmétiques

Soit (P, Q) ∈ K[X]². On a

deg(P + Q) ≤ max(deg(P), deg(Q)) avec inégalité stricte si et seulement si P et Q sont non nuls, de même degré et de coefficients dominants opposés ;
deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q) et si P et Q sont non nuls, le coefficient dominant du produit est le produit des coefficients dominants, le coefficient constant du produit est le produit des coefficients constants ;
si P × Q = 0 alors P = 0 ou Q = 0 ;
pour tout m ∈ N*, deg(P^m) = m × deg(P) et si P est non nul, le coefficient dominant de P^m est la puissance d'exposant m du coefficient dominant de P ;
P+Q = P + Q et P×Q = P × Q.

On dit qu'un polynôme A est un multiple d'un polynôme B, ou que B est un diviseur de A, et on note B | A s'il existe un polynôme Q tel que A = Q × B. Un diviseur propre de Aest un diviseur non constant et de degré strictement inférieur à celui de A.

La relation de divisibilité induit une relation d'ordre sur les polynômes unitaires.

Deux polynômes A et B sont dits associés s'ils sont multiples l'un de l'autre, c'est-à-dire s'il existe λ ∈ K* tel que A = λB.

Division euclidienne: Pour tout (A, B) ∈ K[X] × K[X] \ {0} il existe un unique (Q, R) ∈ K[X]² tel que A = B × Q + R et deg(R) < deg(B).

Dans l'égalité de la division euclidienne, les polynômes Q et R sont respectivement appelés quotient et reste de la division euclidienne de A par B.

Polynôme dérivé

Pour tout P = ∑_k=0ⁿ a_k X^k ∈ K[X], on pose P′ = ∑_k=1ⁿ ka_k X^k−1, qu'on appelle polynôme dérivé de P.

Pour tout P ∈ K[X] non constant, on a deg(P′) = deg(P) − 1.
Pour tout P ∈ K[X], P′ = P′.
Les polynômes constants sont les polynômes de dérivé nul.
Pour tout (P, Q) ∈ K[X]², on a (P + Q)′ = P′ + Q′ et (P × Q)′ = P′ × Q + P × Q′.
Pour tout (P, m) ∈ K[X] × N, on a (P^m)′ = mP′ × P^m−1.

De même, pour tout polynôme P, on peut définir les polynômes dérivés d'ordre supérieur en posant P⁽⁰⁾ = P et pour tout n ∈ N, P⁽ⁿ⁺¹⁾ = (P⁽ⁿ⁾)′.

Formule de Taylor: Soit P un polynôme non nul de degré n. Pour tout a ∈ K on a P = ∑_k=0ⁿ P^(k)(a)/k! (X − a)^k = P(a) + P′(a) × (X − a) + P′′(a)/2 (X − a)² + … + P⁽ⁿ⁾(a)/n! (X − a)ⁿ.

On procède par récurrence sur le degré du polynôme.

Pour tout polynôme constant P, pour tout a ∈ K, on a P = P⁽⁰⁾(a) (X − a)⁰, ce qui satisfait la formule.

Soit n ∈ N tel que la formule soit vraie pour tous les polynômes de degré n. Soit P un polynôme de degré n+1.
Le polynôme dérivé P′ est de degré n donc la formule s'applique et on trouve P′ = ∑_k=0ⁿ (P′)^(k)(a)/k! (X − a)^k = (∑_k=0ⁿ P^(k+1)(a)/(k + 1)! (X − a)^k+1)′ = (∑_k=1ⁿ⁺¹ P^(k)(a)/k! (X − a)^k)′. Donc la différence D = P − ∑_k=1ⁿ⁺¹ P^(k)(a)/k! (X − a)^k est un polynôme constant, dont on trouve la valeur en calculant D(a) = P(a), ce qui démontre la formule pour P.

Finalement, par principe de récurrence, la formule est vraie pour tout polynôme.

Racine

Soit P ∈ K[X] \ {0} et λ ∈ K. On dit que λ est une racine de P si P(λ) = 0.

Pour tout P ∈ K[X] \ {0} et λ ∈ K, le reste de la division euclidienne de P par X − λ est P(λ).
Autrement dit, il y a équivalence entre le fait que λ soit racine de P et le fait que X − λ divise P.

Factorisation à l'aide d'une liste de racines: Soit (λ₁, … , λ_m) ∈ K^m une famille de racines deux à deux distinctes d'un polynôme P. Alors P est divisible par ∏_i=1^m (X − λ_i).

On procède par récurrence sur m ∈ N^∗.

L'initialisation est démontrée par la propriété précédente.

Soit m ∈ N^∗ tel que la propriété soit vraie au rang m. Soit (λ₁, … , λ_m+1) ∈ K^m+1 une famille de racines deux à deux distinctes d'un polynôme P. Par hypothèse de récurrence, il existe un polynôme Q tel que P = Q × ∏_i=1^m (X − λ_i).
Or P(λ_m+1) = 0 et ∏_i=1^m (λ_m+1 − λ_i) ≠ 0 donc Q(λ_m+1) = 0 donc X − λ_m+1 divise Q et ∏_i=1^m+1 (X − λ_i) divise P.

Finalement, par principe de récurrence, la propriété est vraie quel que soit le nombre de racines listées.

Un polynôme non nul avec m racines distinctes est de degré supérieur ou égal à m.

Les courbes de deux fonctions polynomiales distinctes de degré inférieur ou égal à n ont au maximum n points d'intersection.

On en déduit que les fonctions sinus et cosinus ne peuvent être polynomiales.

Racine multiple

Soit P ∈ K[X] \ {0}, λ ∈ K et d ∈ N*. On dit que λ est une racine d'ordre (au moins) d de P si P est un multiple de (X − λ)^d. L'ordre de multiplicité de la racine λ dans P est le plus grand entier d tel que (X − λ)^d divise P.
Par convention, on dit que λ est d'ordre 0 si elle n'est pas racine de P.

La valeur λ est une racine d'ordre de multiplicité d pour P si et seulement s'il existe Q ∈ K[X] tel que P = (X − λ)^d × Q avec Q(λ) ≠ 0.

On raisonne par double implication.

Si λ est une racine d'ordre de multiplicité d pour P, alors il existe Q ∈ K[X] tel que P = (X − λ)^d × Q. Si on avait Q(λ) = 0, le polynôme Q serait divisible par X−λ donc le polynôme P serait divisible par (X − λ)^d+1, ce qui est faux par hypothèse sur d. Donc on a bien Q(λ) ≠ 0.

Réciproquement, s'il existe Q ∈ K[X] tel que P = (X − λ)^d × Q avec Q(λ) ≠ 0, alors λ est racine d'ordre au moins d. Supposons que l'ordre de multiplicité de λ soit strictement supérieur à d. Alors il existe un polynôme Q₁ tel que P = (X − λ)^d+1 × Q₁, d'où par unicité du quotient dans la division euclidienne, Q = (X − λ) × Q₁ donc Q(λ) = 0, ce qui est faux par hypothèse. Donc λ est bien d'ordre de multiplicité d.

Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé: Soit P ∈ K[X] \ {0}, λ ∈ K et d ∈ N* tel que λ soit une racine d'ordre de multiplicité d pour P. Alors λ est une racine d'ordre de multiplicité d−1 pour P′.

D'après la propriété précédente, il existe Q ∈ K[X] tel que P = (X − λ)^d × Q avec Q(λ) ≠ 0, donc on trouve P′ = d(X − λ)^d−1 × Q + (X − λ)^d × Q′
or en posant Q₁ = dQ + (X − λ) × Q′, on trouve P′ = (X − λ)^d−1 × Q₁ et Q₁(λ) = dQ(λ) ≠ 0. Donc d'après la propriété précédente, λ est effectivement une racine d'ordre d−1 pour le polynôme dérivé P′.

La réciproque est fausse, car 0 est n'est pas une racine de X^d+1−1 mais elle est une racine d'ordre de multiplicité d pour (X^d+1−1)′ = (d + 1)X^d.

Pour tout P ∈ K[X] \ {0} et λ ∈ K, l'ordre de multiplicité de λ dans P est le nombre de dérivées successives de P (y compris P) qui s'annulent en λ.

Décomposition

Un polynôme P ∈ K[X] est dit scindé sur K s'il existe (λ₁, … , λ_n) ∈ Kⁿ et a ∈ K tel que P = a∏_i=1ⁿ (X − λ_i).

Tout polynôme de degré 1 est scindé.
Le produit de polynômes scindés est scindé.
Tout polynôme de degré n avec n racines distinctes est scindé.

Relations entre coefficients et racines: Si P = ∏_i=1ⁿ (X − λ_i) alors la liste (λ₁, … , λ_n) est la liste des racines de P énumérées avec leur ordre de multiplicité. En outre, le coefficient constant de P est (au signe près) le produit des racines comptées avec leur ordre de multiplicité a₀ = (−1)ⁿ∏_i=1ⁿ λ_i et le coefficient sous-dominant est l'opposé de la somme des racines comptées avec leur ordre de multiplicité a_n−1 = −∑_i=1ⁿ λ_i.

En particulier, pour tout (a, b) ∈ K², de somme s = a + b et de produit p = a × b, les nombres a et b sont les racines de X² − sX + p.

Un polynôme est dit irréductible dans K[X] s'il est non constant et qu'il n'admet pas de diviseur propre dans K[X].

Tout polynôme de degré 1 est irréductible.
Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et qui est irréductible dans K[X] n'a aucune racine dans K.

Théorème de d'Alembert-Gauss: Tout polynôme complexe non constant a au moins une racine.

Décomposition des polynômes complexes: Tout polynôme de C[X] est scindé.
Décomposition des polynômes réels: Tout polynôme réel se décompose en un produit de facteurs du premier degré et de facteurs du deuxième degré avec un discriminant strictement négatif.

Les polynômes irréductibles dans C[X] sont les polynômes de degré 1.
Les polynômes irréductibles dans R[X] sont ceux de degré 1 et les polynômes de degré 2 avec un discriminant strictement négatif.