Exercices sur les polynômes

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Énoncés

On pose P = 3X2 − 2X + 7 et Q = 5X − 4. Calculer P + Q, P − Q, P × Q, P ∘ Q, Q ∘ P, puis calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de P par Q.
Effectuer la division euclidienne de
Décomposer dans C[X] et dans R[X] les polynômes X4 + 2, X4 − 1 et X7 − 1.
Décomposer dans R[X] les polynômes X4 + X2 + 9, X4 + X2 + 1, X4 + 2X2 − 2, X5 − 1 et (X4 + 1)2 − X4.
Déterminer le reste de la division euclidienne de
Déterminer le reste de la division euclidienne de (X2 − 1) Xj par X5 pour tout entier naturel j ≤ 4.
ENS 2010 exercice II question 1
Vérifier que a = 1/2 est racine double de P = 4X3 − 8X2 + 5X − 1 puis déterminer l'autre racine réelle de P.
Ecricome 2007 question 1.1.3
Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 1 pour le polynôme Xn+1 − Xn − X + 1.
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout n ∈ N∗, 1/n(n + 1) = a/n + b/n + 1
Ecricome 2012 problème 1.1 question 3.a
Déterminer un polynôme P de degré 5 tel que (X − 1)3 divise P+1 et (X + 1)3 divise P−1
Déterminer les polynômes réels P satisfaisant les équations suivantes :
Déterminer le nombre de racines réelles et le nombre de racines complexes du polynôme P = X3 − X2 − 7X + 11 ∈ R[X].
ENS 2013

Problèmes

Déterminer toutes les suites géométriques satisfaisant la relation de récurrence pour tout n ∈ N, un+4 = 4un+3 − 3un+2 − 4un+1 + 4un.
Ecricome 1998 problème 2 question 4.b.1
Pour tout n ∈ N.
  1. Calculer (X + 1)n + (X − 1)n − 2Xn et préciser notamment son degré et son coefficient dominant.
  2. Soit P un polynôme non constant de degré n et de coefficient dominant an. Calculer le degré et le coefficient dominant de P(X + 1) + P(X − 1) − 2 P(X).
  3. Déterminer les polynômes réels satisfaisant l’équation P(X + 1) + P(X − 1) − 2 P(X) = X2.
Soit P un polynôme complexe non constant tel que P′ divise P. On note n = deg(P).
  1. Montrer qu'il existe a ∈ C tel que P = 1/n (X − a) P′.
  2. Généraliser la formule précédente en une relation entre P(k) et P(k+1).
  3. Montrer qu'il existe λ ∈ C tel que P = λ (X − a)n.
  4. La réciproque est-elle vraie ?

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