Méthodes pour les polynômes

Les coefficients des polynômes sont pris dans un corps commutatif K.

Opérations

L’addition, la soustraction et la multiplication de polynômes suivent les règles opératoires classiques (associativité, commutativité, distributivité).

La composition de polynômes s’effectue comme une composition de fonctions. Attention, par défaut l’écriture de deux polynômes juxtaposés s’entend comme un produit, sauf si le polynôme de gauche est noté avec une variable et que le polynôme de droite est entre parenthèses, comme par exemple dans P(X + 1).

La dérivation d’un polynôme suit les règles opératoires de dérivation de fonctions, avec X′ = 1.

Racines

Soit P un polynôme à coefficients dans K et soit a ∈ K.

Pour vérifier que a est racine de P, il suffit de calculer P(a) et de vérifier que le résultat vaut 0.

Pour vérifier que a est racine double de P, on peut vérifier que le polynôme est divisible par (X − a)² ou bien vérifier les égalités P(a) = 0 et P′(a) = 0, où P′ est le polynôme dérivé de P.

Si a est racine de P, pour déterminer son ordre de multiplicité, on peut calculer les polynômes dérivés successifs P^(k) jusqu’à obtenir P^(k)(a) ≠ 0. Le plus petit entier k qui satisfait cette inégalité est l’ordre de multiplicité de la racine a.

On obtient directement cet ordre de multiplicité si on sait que le polynôme P se factorise sous la forme P = (X − a)^k × Q où Q est un polynôme tel que Q(a) ≠ 0.

Division euclidienne

Pour effectuer une division euclidienne d’un polynôme A par un polynôme B non nul, on utilise la méthode la potence comme pour une division d’entiers. Chaque terme a_k X^k du quotient est calculé en divisant le monôme dominant à gauche par le monôme dominant de B. Puis on soustrait au polynôme à gauche le produit a_k X^k B.
Lorsque le polynôme à gauche est de degré inférieur à celui de B, c’est le reste de la division euclidienne et le quotient apparait dans la colonne de droite.

Si le dividende est de degré variable mais que le diviseur est scindé sous la forme B = c∏_i=1^k (X − λ_i)^d_i, on sait qu’il existe (Q, R) ∈ K[X]² tel que A = B × Q + R et deg(R) < deg(B). Les coefficients du polynôme R se calculent alors en résolvant un système de Cramer de taille deg(B) dont les équations s’écrivent pour tout i ∈ [[1 ; k]] et pour tout j ∈ [[0 ; d_i − 1]], A^(j)(λ_i) = R^(j)(λ_i).

Décomposition

Dans C[X]

Pour décomposer un polynôme de degré n ∈ N^∗ dans C[X], on l’écrit sous la forme P = a∏_i=1ⁿ (X − λ_i).

Pour ce faire, on peut essayer de résoudre l’équation P(x) = 0 puis on note a le coefficient dominant de P et (λ₁, … , λ_n) une liste des racines de P comptées avec leur ordre de multiplicité.

Si le polynôme est à coefficients réels, pour toute racine complexe non réelle λ, son conjugué λ est aussi une racine avec le même ordre de multiplicité.

Dans R[X]

Pour décomposer un polynôme de degré n ∈ N^∗ dans R[X], on l’écrit sous la forme P = a∏_i=1^k (X − λ_i) ∏_i=1^m (X² − s_iX + p_i) où (λ₁, … , λ_n) est une liste des racines réelles du polynôme et pour tout i, s_i² − 4p_i < 0.

Parfois, il est utile de décomposer d’abord le polynôme dans C[X] puis de regrouper les facteurs associés à des racines conjuguées pour obtenir des facteurs irréductibles de degré 2, notamment pour décomposer des polynômes de la forme Xⁿ + c.