Domaine
Lorsqu'une fonction est définition par une expression avec une variable réelle libre (souvent x ou t), son domaine de définition est implicitement le domaine de validité de cette expression. On l'obtient donc en vérifiant que chaque fonction de référence qui la compose a un argument dans son propre domaine de définition. En particulier :
- chaque dénominateur de fraction est non nul,
- chaque radicande est positif ou nul,
- l'argument d'un logarithme est strictement positif, ce qui vaut aussi pour la base d'une puissance d'exposant non entier,
- l'argument des fonctions Arc sinus et Arc cosinus appartient à l'intervalle [−1 ; 1].
La détermination du domaine se ramène alors à la résolution d'équations ou d'inéquations.
Pour vérifier qu’une fonction est bien définie sur un ensemble, on vérifie que les conditions ci-dessus sont satisfaites pour tout réel de cet ensemble.
Calcul d’expression
Pour évaluer une fonction en un réel, on remplace chaque occurrence de la variable par le réel. Attention, si le réel est composé, il faut a priori le mettre entre parenthèses à chaque remplacement.
Si l’expression de la fonction comporte des valeurs absolues, une étude de signe permet d’obtenir une définition par morceaux par des expressions sans valeur absolue.
| x | −∞ | −5/4 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x − 3 | − | − | 0 | + | |||
| |x − 3| | 3 − x | 3 − x | x − 3 | ||||
| 4x + 5 | − | 0 | + | + | |||
| |4x + 5| | −4x − 5 | 4x + 5 | 4x + 5 | ||||
| f(x) | 12 + 2x | 2 − 6x | −2x − 10 |
Parité et périodicité
Soit f une fonction réelle définie sur une partie D ⊂ R. Pour montrer que cette fonction soit paire ou impaire, il faut d'abord que son domaine de définition soit symétrique par rapport à l'origine.
Pour montrer que la fonction f est paire, on montre donc que pour tout x ∈ D, on a −x ∈ D, avec f(−x) = f(x).
Pour montrer que la fonction f est impaire, on montre que pour tout x ∈ D on a −x ∈ D avec f(−x) = −f(x).
Si T ∈ R∗+, pour montrer que la fonction f est T-périodique, il suffit de montrer que pour tout x ∈ R on a x ∈ D ⇔ x + T ∈ D et dans ce cas, f(x + T) = f(x).
Si la période n'est pas précisée dans le sujet, on peut la deviner à l'aide des périodes des fonctions de référence : les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, la fonction tangente est π-périodique.
Lorsqu'on a montré qu'une fonction est T-périodique, on restreint en général son étude à l'intervalle [0 ; T] ou à [−T2 ; T2].
Lorsqu'on a montré qu'une fonction est à la fois paire ou impaire et T-périodique, on restreint en général son étude à l'intervalle [0 ; T2].
Signe
Le signe d'une fonction du premier est celui de son coefficient dominant à droite de sa racine.
Une fonction du second degré est du signe de son coefficient dominant sauf entre ses racines éventuelles.
De façon générale, le signe d'une fonction f se détermine en résolvant l'inéquation f(x) ≥ 0. Pour une fonction continue, il est parfois plus simple de déterminer les zéros de la fonction, c'est-à-dire les solutions de équation f(x) = 0, puis de déterminer le signe de la fonction sur chaque intervalle entre deux zéros. Mais si l'inéquation ne se résout pas facilement, on se rabat plutôt sur l'étude des variations en introduisant les zéros à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires ou du théorème de la bijection.
Si une fonction s'exprime comme un produit ou un quotient, on détermine d'abord le signe de chacun des facteurs et si plusieurs d'entre eux ont des valeurs négatives on peut les représenter chacun sur une ligne dans un tableau de signe.
| x | −∞ | −2 | 35 | 2 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 + x | − | 0 | + | + | + | ||||
| 3 − 5x | + | + | 0 | − | − | ||||
| x2 − 4 | + | 0 | − | − | 0 | + | |||
| (2 + x)(3 − 5x)x2 − 4) | − | ‖ | − | 0 | + | ‖ | − |
Si la fonction s'exprime comme une somme algébrique, il vaut donc mieux la factoriser autant que possible. Si certains termes sont des fractions avec un dénominateur variable, il vaut mieux tout réduire au même dénominateur et simplifier la fraction résultante autant que possible.
Continuité
Le plus souvent, une fonction est continue sur son domaine de définition comme combinaison (somme, produit, quotient ou composée) de fonctions continues. Parmi les fonctions de référence, seule la partie entière n'est pas continue.
Si une fonction est définie à l'aide de plusieurs expressions valables sur des intervalles disjoints mais ayant des extrémités communes, on montre la continuité à l'intérieur de chaque intervalle et on montre que la valeur en chacun de ces points de recollement est égale à la limite à gauche et à droite.
La vérification de la continuité sur ces extrémités s'obtient souvent avec un développement limité à l'ordre 0.
Dérivabilité
Comme pour la continuité, une fonction est souvent dérivable sur son domaine de définition comme combinaison de fonctions dérivables. Mais il faut traiter à part les valeurs annulant les radicandes ou les expressions en valeur absolue.
Pour ces valeurs comme pour les points de recollements entre intervalles avec des expressions fonctionnelles différentes, on peut déterminer la dérivabilité à partir de la définition ou d'un développement limité à l'ordre 1.
Dans certains cas, il est plus simple d'utiliser le théorème de la limite de la dérivée en montrant que la dérivée admet une limite finie commune à gauche et à droite.