Calcul de développement limité

Approximation affine

La notion de développement limité généralise l'approximation affine pour les fonctions dérivables. En effet, une fonction f est dérivable en un réel a de son domaine de définition si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 1 et dans ce cas ce développement s'écrit f(x) = f(a) + f′(a) × (x − a) + o_x→a (x − a).

Formules de référence

• 1 / (1 − x) = ∑_k=0ⁿ x^k + o_x→0 (xⁿ)
• 1 / (1 + x) = ∑_k=0ⁿ (−1)^kx^k + o_x→0 (xⁿ)
• (1 + x)^α = ∑_k=0ⁿ (∏_j=0^k−1 (α − j)) x^k/k! + o_x→0 (xⁿ) = 1 + αx + α(α − 1)/2x² + … + α(α − 1)(α − 2)…(α − n + 1)/n!xⁿ + o_x→0 (xⁿ)
• ln(1 + x) = ∑_k=1ⁿ (−1)^k+1/kx^k + o_x→0 (xⁿ)
• exp(x) = ∑_k=0ⁿ x^k/k! + o_x→0 (xⁿ)
• sin(x) = ∑_k=0ⁿ (−1)^k/(2k + 1)! x^2k+1 + o_x→0 (x²ⁿ⁺²)
• cos(x) = ∑_k=0ⁿ (−1)^k/(2k)! x^2k + o_x→0 (x²ⁿ⁺¹)

En particulier, on peut obtenir le développement limité à l'ordre 3 en 0 avec la fonction racine carrée par √1 + x = (1 + x)^1/2 = 1 + 1/2 x + (1/2 × −1/2) x²/2 + (1/2 × −1/2 × −3/2) x³/6 + o_x→0 (x³).

En pratique, il suffit souvent d'exploiter les développements limités d'ordre inférieur à 5.

• 1 / (1 + x) = 1 − x + x² − x³ + x⁴ − x⁵ + o_x→0 (x⁵)
• ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + x⁵/5 + o_x→0 (x⁵)
• exp(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120 + o_x→0 (x⁵)
• sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 + o_x→0 (x⁵)  et  cos(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24 + o_x→0 (x⁵)

Opérations

On peut additionner et multiplier des développements limités entre eux, avec les règles opératoires suivantes :
pour tout (p, q) ∈ N², x^p × o_x→0 (x^q) = o_x→0 (x^{p + q}), o_x→0 (x^p) × o_x→0 (x^q) = o_x→0 (x^{p + q}) et si p ≤ q, o_x→0 (x^p) + o_x→0 (x^q) = o_x→0 (x^p).

On peut aussi diviser un développement limité par une puissance, auquel cas on divise tous les termes de la partie régulière mais aussi la puissance dans le petit « o ».

On ne soustrait pas des termes en petit « o » : pour tout λ ∈ R^∗, λ × o_x→0 (x^p) = o_x→0 (x^p), même lorsque le coefficient λ est négatif.

Changement de variable

Pour déterminer le développement limité d’une fonction f en un réel a ≠ 0, on calcule f(a + h) en fonction de la variable h et on cherche un éventuel développement limité de l’expression obtenue lorsque h tend vers 0. Puis on remplace h par x − a.

Composée de fonctions

Si f est une fonction réelle admettant un développement limité au voisinage d'un réel a et si g est une fonction réelle admettant un développement limité au voisinage du réel b = f(a) alors (g ∘ f) admet un développement limité au voisinage de a obtenu en remplaçant la variable de g par l'expression du développement limité de f et en éliminant tous les termes de degré supérieur à celui du petit « o » le plus bas.

Intégration

Si une fonction f est dérivable en un réel a et si sa dérivée admet un développement limité à l'ordre n ∈ N en a f′(x) = ∑_k=0ⁿ a_kx^k + o_x→0 (xⁿ) alors f admet un développement limité à l'ordre (n + 1) en a sous la forme f(x) = f(a) + ∑_k=0ⁿ a_k x^k+1/(k+1) + o_x→0 (xⁿ⁺¹).

Cette propriété permet de démontrer la formule de Taylor-Young pour toute fonction f qui soit n fois dérivable en un réel a : f(x) = ∑_k=0ⁿ (x − a)^k / k! f^(k)(a) + o_x→a ((x − a)ⁿ).