Développement limité

Fonction négligeable

Définition

Soit a ∈ R, soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I au voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a, ou que g est prépondérante par rapport à f, s'il existe une fonction ε définie sur I avec f = ε × g et lim_x→a ε(x) = 0.
On note alors f(x) = o_x→a(g(x)) ou f = o_a (g), ce qui se lit « f est un petit o de g ».

Si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a, le fait que f soit négligeable par rapport à g au voisinage de a peut se réécrire lim_x→a f(x)/g(x) = 0.

Remarque

Des fonctions négligeables différentes peuvent être représentées par la même notation : en effet, x² = o_x→0(x) et x³ = o_x→0(x).

Exemples

Pour tout (p, q) ∈ R² tel que p < q on a x^p = o_x→+∞(x^q) et x^q = o_x→0(x^p).
Pour tout p ∈ R^+∗ on a ln(x) = o_x→+∞ (x^p) et ln(x) = o_x→0 (1/x^p).
Pour tout p ∈ R⁺ on a x^p = o_x→+∞(e^x).
Soit P un polynôme réel et a ∈ R une racine double de P. Alors on a P(x) = o_x→a(x −a).

Additivité: Si f₁(x) = o_x→a(g(x)) et f₂(x) = o_x→a(g(x)) alors f₁(x) + f₂(x) = o_x→a(g(x)).
Transitivité: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et g(x) = o_x→a(h(x)) alors f(x) = o_x→a(h(x)).
Multiplication par une fonction bornée: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et si u est une fonction bornée au voisinage de a alors u(x) × f(x) = o_x→a(g(x)).
Multiplication par une fonction quelconque: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et si u est définie au voisinage de a alors u(x) × f(x) = o_x→a(u(x) × g(x)).

Généralités

Dans toute cette partie, on considère un intervalle réel I non dégénéré et une fonction f réelle est continue sur I.

Définition

Soit n ∈ N. On dit que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage d'un réel a ∈ I si et seulement s'il existe un polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que f(x) = P(x − a) + o_x→a((x − a)ⁿ).
L'expression P(x − a) est alors appelée partie régulière du développement.

On abrège parfois la mention « développement limité à l'ordre n au voisinage de a » sous la forme « DL_n(a) ».

Propriété

Deux développements limités d’une même fonction au voisinage d’un même réel ont nécessairement les mêmes coefficients au même degré.

Démonstration

Supposons qu'il existe deux polynômes distincts P et Q de degré inférieur ou égal à n tel que f(x) = P(x − a) + o_x→a((x − a)ⁿ) = Q(x − a) + o_x→a((x − a)ⁿ).

On note k le plus petit degré en lequel le coefficient de P diffère de celui de Q. On note aussi a_k et b_k ces coefficients.

Par hypothèse, on a k ≤ n et par différence on trouve Q(x − a) − P(x − a) = o_x→a((x − a)ⁿ) or Q(x − a) − P(x − a) = (b_k − a_k)(x − a)^k + o_x→a((x − a)^k), ce qui est absurde par comparaison des puissances.

Propriété

Si f admet un développement limité à l'ordre n ∈ N au voisinage d'un réel alors elle admet un développement limité à tout ordre p ≤ n au voisinage de ce même réel par troncature de sa partie régulière aux termes de degré inférieur ou égal à p.

Démonstration

Si on a f(x) = ∑_k=0ⁿ λ_k(x − a)^k + o_x→a((x − a)ⁿ) alors on a ∑_k=p+1ⁿ λ_k(x − a)^k + o_x→a((x − a)ⁿ) = o_x→a((x − a)^p) donc f(x) = ∑_k=0^p λ_k(x − a)^k + o_x→a((x − a)^p).

Propriété

La fonction f est continue en a si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 0 au voisinage de a et dans ce cas sa partie régulière est simplement sa valeur en a.

Démonstration

On a l'équivalence lim_x→a f(x) = f(a) ⇔ f(x) = f(a) + o_x→a(1).

En outre, s'il existe c ∈ R tel que f(x) = c + o_x→a(1) alors f(a) = c.

Propriété

La fonction f est dérivable en a si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de a qui s'écrit alors f(x) = f(a) + f′(a) × (x − a) + o_x→a(x − a).

Démonstration

On a les équivalences pour tout c ∈ R :
lim_x→a f(x) − f(a) / x − a = c ⇔ f(x) − f(a) / x − a = c + o_x→a(1) ⇔ f(x) − f(a) = c × (x − a) + o_x→a(x − a).

Méthodes de calcul

Intégration du développement limité: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Supposons que sa dérivée admette un développement limité à l'ordre n au voisinage de a ∈ I sous la forme f′(x) = ∑_k=0ⁿ λ_k(x − a)^k + o_x→a((x − a)ⁿ).
Alors la fonction f admet un développement limité à l'ordre n+1 au voisinage de a sous la forme f(x) = f(a) + ∑_k=0ⁿ λ_k/(k + 1)(x − a)^k+1 + o_x→a((x − a)ⁿ⁺¹).

Démonstration

On pose pour tout x ∈ I, G(x) = f(x) − f(a) − ∑_k=0ⁿ λ_k/k + 1(x − a)^k+1 et g(x) = f′(x) − ∑_k=0ⁿ λ_k(x − a)^k.

Alors la fonction G est la primitive de g qui s'annule en a donc par théorème fondamental de l'analyse, pour tout x ∈ I on a G(x) = ∫_a^x g(t) dt.

Pour tout ε ∈ R^+∗ il existe un intervalle ouvert J contenant a tel que pour tout t ∈ I ∩ J on ait |g(t)| ≤ ε|(t − a)ⁿ| donc pour tout x ∈ I ∩ J, en distinguant les cas x ≤ a et x ≥ a, on trouve |G(x)| ≤ |∫_a^x |g(t)| dt| ≤ ε|∫_a^x (t − a)ⁿ dt| donc on a |G(x)| ≤ ε|(x − a)ⁿ⁺¹| / (n + 1).

Finalement, on obtient bien G(x) = o_x→a ((x − a)ⁿ⁺¹)

Remarque

La réciproque est fausse : il est tout à fait possible qu'une fonction admette un développement limité à un ordre quelconque au voisinage d'un réel sans que sa dérivée soit continue.

Formule de Taylor-Young: Soit I un intervalle réel non dégénéré, a ∈ I et n ∈ N.
Pour toute fonction f qui soit n fois dérivable sur I avec f⁽ⁿ⁾ dérivable en a, on a f(x) = ∑_k=0ⁿ⁺¹ (x − a)^k / k! f^(k)(a) + o_x→a ((x − a)ⁿ⁺¹).

Démonstration

On procède par récurrence sur n.

Pour toute fonction f dérivable en a, on a f(x) = f(a) + (x − a) × f′(a) + o_x→a (x − a).

Soit n ∈ N tel que la formule soit vraie pour toute fonction f qui soit n fois dérivable sur I avec f⁽ⁿ⁾ dérivable en a. Soit f une fonction n+1 fois dérivable sur I avec f⁽ⁿ⁺¹⁾ dérivable en a. Par hypothèse de récurrence appliquée à la fonction f′, on a f′(x) − ∑_k=0ⁿ⁺¹ (x − a)^k / k! f^(k+1)(a) = o_x→a ((x − a)ⁿ⁺¹) d'où par intégration, f(x) − f(a) − ∑_k=0ⁿ⁺¹ (x − a)^k+1 / (k + 1)! f^(k+1)(a) = o_x→a ((x − a)ⁿ⁺²), c'est-à-dire f(x) = ∑_k=0ⁿ⁺² (x − a)^k / k! f^(k)(a) + o_x→a ((x − a)ⁿ⁺²).

Cette formule peut être précisée avec des hypothèses un peu plus fortes par la formule de Taylor avec reste intégral.

Développements de référence

On obtient les développements de référence suivants.

Développements de référence: 1 / (1 − x) = ∑_k=0ⁿ x^k + o_x→0 (xⁿ); 1 / (1 + x) = ∑_k=0ⁿ (−1)^kx^k + o_x→0 (xⁿ); (1 + x)^α = ∑_k=0ⁿ (∏_j=0^k−1 (α − j)) x^k/k!) + o_x→0 (xⁿ) = 1 + αx + α(α − 1)/2x² + … + α(α − 1)(α − 2)…(α − n + 1)/n!xⁿ + o_x→0 (xⁿ); ln(1 + x) = ∑_k=1ⁿ (−1)^k+1/kx^k + o_x→0 (xⁿ); exp(x) = ∑_k=0ⁿ x^k/k! + o_x→0 (xⁿ); sin(x) = ∑_k=0ⁿ (−1)^k/(2k + 1)! x^2k+1 + o_x→0 (x²ⁿ⁺²); cos(x) = ∑_k=0ⁿ (−1)^k/(2k)! x^2k + o_x→0 (x²ⁿ⁺¹)

Pour obtenir un développement limité en un réel différent de 0, on effectue un changement de variable.

Exemple

Pour trouver le développement limité du logarithme en 2, on pose x = 2 + h d'où ln(x) = ln(2 + h) = ln(2 × (1 + h/2)) = ln(2) + ln(1 + h/2)
puis à l'aide d'un nouveau changement de variable t = h/2 on trouve ln(2) + ln(1 + t) = ln(2) + t − t²/2 + o_t→0 (t²) d'où ln(2) + ln(1 + h/2) = ln(2) + h/2 − h²/8 + o_h→0 (h²) donc ln(x) = ln(2) + 1/2 (x − 2) − 1/8 (x − 2)² + o_x→2 ((x − 2)²).

Position relative entre courbe et tangente

Le développement limité d'une fonction au voisinage d'un réel a peut permettre de déterminer la position relative de la courbe et de sa tangente au point d'abscisse a.

On note k le degré du premier coefficient non nul dans le développement limité à partir du degré 2 et on note λ_k ce coefficient.

Si k est pair et λ_k > 0 alors la courbe est au dessus de sa tangente.
Si k est pair et λ_k < 0 alors la courbe est en dessous de sa tangente.
Si k est impair et λ_k > 0 alors la courbe traverse sa tangente en passant au dessus.
Si k est impair et λ_k < 0 alors la courbe traverse sa tangente en passant en dessous.

Remarque

Dans certains cas, le développement limité ne fournit aucun terme non nul, comme pour le prolongement par continuité de la fonction x ↦ exp(−1/x²) en 0.