Intégration sur un segment

Introduction
Premières propriétés
Valeur moyenne
Relations avec la dérivée
Sommes de Riemann

Introduction

Il existe plusieurs procédés pour définir l'intégrale d'une fonction réelle f continue sur un segment [a, b] de R. Si la fonction est positive, cette intégrale, notée ∫_a^b f(t) dt, représente l'aire du domaine délimité au dessus de l'axe des abscisses et en dessous de la courbe, entre les deux axes verticaux d'équation x = a et x = b dans le plan muni d'un repère orthonormé. Dans le cas général, l'intégrale mesure l'aire algébrique du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses, c'est-à-dire que les composantes situées sous l'axe des abscisses sont comptées négativement.
Par convention, on note aussi ∫_b^a f(t) dt = −∫_a^b f(t) dt.

L'intégrale de Riemann traduit analytiquement cette définition géométrique, qui aboutit aux propriétés fondamentales suivantes.

Cohérence avec les aires de rectangles: Pour toute fonction constante de valeur c ∈ R sur un intervalle I de R, pour tout (a, b) ∈ I², on a ∫_a^b c dt = c × (b − a).
Positivité: Soit f une fonction continue et positive sur un segment [a, b]. Alors on a ∫_a^b f(t) dt ≥ 0.
Additivité (relation de Chasles): Soit f continue sur un intervalle I. Pour tout (a, b, c) ∈ I³ on a ∫_a^b f(t) dt + ∫_b^c f(t) dt = ∫_a^c f(t) dt.
Linéarité: Soit I un intervalle réel. Soit λ ∈ R et soient f et g deux fonctions continues sur I. Pour tout (a, b) ∈ I² on a ∫_a^b (λf(t) + g(t)) dt = λ ∫_a^b f(t) dt + ∫_a^b g(t) dt.

L'additivité implique qu'une intégrale entre deux bornes identiques est nécessairement nulle : ∫_a^a f(t) dt = 0.

Premières propriétés

Croissance: Soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a, b]. Si on a f ≤ g alors ∫_a^b f(t) dt ≤ ∫_a^b g(t) dt.

La différence de deux fonctions continues étant continue, on a ici g − f ≥ 0 donc ∫_a^b (g(t) − f(t)) dt ≥ 0 donc par linéarité de l'intégrale on obtient ∫_a^b g(t) dt − ∫_a^b f(t) dt ≥ 0.

Stricte positivité: Soit f une fonction continue et de signe constant sur un segment [a, b] avec a < b.
Si ∫_a^b f(t) dt = 0 alors la fonction f est constamment nulle sur [a, b].

On démontre la contraposée, d'abord dans le cas d'une fonction positive.

Supposons qu'il existe x₀ ∈ ]a, b[ tel que f(x₀) > 0. Alors la fonction f est strictement supérieure à f(x₀)/2 au voisinage de x₀ donc il existe deux réels c et d tels que a < c < x₀ < d < b et pour tout x ∈ ]c, d[ on ait f(x) > f(x₀)/2.

On trouve alors ∫_a^b f(t) dt = ∫_a^c f(t) dt + ∫_c^d f(t) dt + ∫_d^b f(t) dt ≥ ∫_c^d f(x₀)/2 dt = f(x₀)/2(d − c) > 0.

Inégalité triangulaire: Pour toute fonction f continue sur un segment [a, b], on a |∫_a^b f(t) dt| ≤ ∫_a^b |f(t)| dt

On a pour tout t ∈ [a, b], −|f(t)| ≤ f(t) ≤ |f(t)| donc −∫_a^b|f(t)| dt ≤ ∫_a^bf(t) dt ≤ ∫_a^b|f(t)| dt.

Pour une fonction négative, on applique la propriété à la fonction opposée, qui est positive d'intégrale nulle.

Valeur moyenne

Pour toute fonction f continue sur un segment [a, b] avec a < b, sa valeur moyenne est définie par 1/ (b − a)∫_a^b f(t) dt.

La formule de la valeur moyenne est valable même si les bornes sont données dans l'ordre décroissant : 1/ (b − a) ∫_a^b f(t) dt = 1/ (a − b) ∫_b^a f(t) dt.

Inégalités de la moyenne: Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] non dégénéré.
Si f est minorée par m et majorée par M alors on a m ≤ 1/ (b − a)∫_a^b f(t) dt ≤ M.

On a pour tout t ∈ [a, b], m ≤ f(t) ≤ M donc ∫_a^b m dt ≤ ∫_a^bf(t) dt ≤ ∫_a^b M dt c'est-à-dire m × (b − a) ≤ ∫_a^bf(t) dt ≤ M × (b − a).

Relations avec la dérivée

Théorème fondamental de l'analyse: Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I non dégénéré. Soit a ∈ I.
La fonction F : x ↦ ∫_a^x f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.

Soit x ∈ I et h ∈ R^+∗ tel que x + h ∈ I.

Le taux d'accroissement de F entre x et x+h se note 1/h ∫_x^x+h f(t) dt, c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle entre x et x+h (quel que soit le signe de h).

Pour tout intervalle ouvert J contenant f(x), il existe un intervalle ouvert contenant x d'image dans J, donc par inégalités de la moyenne, le taux d'accroissement appartient aussi à J.

Finalement, le taux d'accroissement de F en x tend vers f(x) donc la fonction F est dérivable en x avec F′(x) = f(x).

Il est clair que F s'annule en a, et pour toute autre primitive G de f s'annulant en a, la différence F−G est de dérivée nulle donc est constante mais s'annule en a, donc F − G = 0.

Toute fonction continue sur un intervalle I de R admet une primitive sur I.

Au lieu d'utiliser l'intégrale de Riemann, on peut aussi démontrer ce corolaire d'une autre manière et transformer le théorème fondamental de l'analyse en définition de l'intégrale pour une fonction continue. Les propriétés de l'introduction s'en déduisent facilement.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur cet intervalle.
Alors pour tout (a, b) ∈ I² on a ∫_a^b f(t) dt = [F(t)]_a^b = F(b) − F(a).

Cette propriété permet de calculer de nombreuses intégrales grâce aux formules de dérivées des fonctions de référence.

Intégration par parties: Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, avec g dérivable sur I.
Soit F une primitive de f sur I et (a, b) ∈ I².
Alors on a ∫_a^b f(t) g(t) dt = [F(t) g(t)]_a^b − ∫_a^b F(t) g′(t)dt.

La fonction F × g est une primitive de la fonction continue f × g + F × g′ donc on trouve [F(t) g(t)]_a^b = ∫_a^b (F(t) g′(t) + f(t) g(t) )dt = ∫_a^b F(t) g′(t)dt + ∫_a^b f(t) g(t) dt .

Changement de variable: Soit φ une fonction de classe C¹ sur un segment [a, b] à valeur dans un intervalle J. Soit f une fonction continue sur J.
Alors on a ∫_φ(a)^φ(b) f(t) dt = ∫_a^b f(φ(u)) φ′(u) du

Notons F une primitive de la fonction f.

Alors pour tout x ∈ [a, b] on a φ(x) ∈ J et ∫_φ(a)^φ(x) f(t) dt = F(φ(x)) − F(φ(a)).

Donc la fonction x ↦ ∫_φ(a)^φ(x) f(t) dt est une primitive de la fonction x ↦ φ′(x) × f(φ(x)) et elle s'annule en a.

Par conséquent, pour tout x ∈ [a, b] on a ∫_φ(a)^φ(x) f(t) dt = ∫_a^x f(φ(u)) φ′(u) du.

Le changement de variable s'utilise en général en sur une intégrale de la forme ∫_a^b f(t) dt en posant t = φ(u) où φ est une fonction de classe C¹ sur un intervalle I et par laquelle les réels a et b admettent des antécédents. Dans ce cas, on note en général dt = φ′(u) du, on cherche des antécédents α et β pour les bornes a et b puis on calcule ∫_a^b f(t) dt = ∫_α^β f(φ(u)) φ′(u) du.

Pour calculer ∫₀⁴ exp(√x) dx, on peut poser x = t², la fonction carré étant de classe C¹ sur R⁺, avec dx = 2t dt, les bornes 0 et 4 admettant pour antécédents respectifs 0 et 2, on en déduit ∫₀⁴ exp(√x) dx = ∫₀² exp(t) 2t dt et une intégration par parties permet de conclure ∫₀² exp(t) 2t dt = [exp(t) 2t]₀² − 2∫₀² exp(t) dt = 4 e² − 2(e² − 1) = 2 e² + 2.

Sommes de Riemann

Les sommes de Riemann (à droite) associées à une fonction f continue sur un segment [a, b] s'écrivent pour tout n ∈ N^∗, S_n = (b − a) / n ∑_k=1ⁿ f(a + k(b−a)/n).

On peut aussi définir des sommes de Riemann à gauche sous la forme (b − a) / n ∑_k=0ⁿ⁻¹ f(a + k(b−a)/n).

La suite des sommes de Riemann converge vers l'intégrale ∫_a^b f(t) dt.

En particulier, pour toute fonction f continue sur [0 ; 1], on a lim_n→+∞ 1/n ∑_k=1ⁿ f(k/n) = ∫₀¹ f(t) dt.