Exercices d'intégration sur un segment

Recherche de primitives

Donner l'expression d'une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x ∈ R \ {−1} on ait 3x + 2/(x + 1)2 = a/x + 1 + b/(x + 1)2.
En déduire une primitive de x ↦ 3x + 2/(x + 1)2.
Déterminer une primitive de cos3.
On pourra par exemple utiliser les formules d'Euler ou la formule cos2 + sin2 = 1.

Calcul d'intégrales

Calculer les intégrales
Soit λ ∈ R∗+. Pour tout x ∈ R+, calculer ∫0x λ2t e−λt dt.
Ecricome 2011 Indice de concentration d'une variable exponentielle question 3
Pour tout n ∈ N∗, calculer l'intégrale ∫0n t2/n e−t dt et en déduire la limite de la suite (In).
Ecricome 2001 problème 1 question 3b
Pour tout (n, k) ∈ (N∗)2, calculer l'intégrale ∫0n (1 − t/n)k dt.
Ecricome 2001 problème 1 question 4a
On note I = ∫0π ex sin(x) dx. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer qu'on a I = eπ + 1 − I et en déduire la valeur de I.
Pour tout r ∈ [1 ; +∞[, calculer l'intégrale Ir = ∫0r−2/3 exp(−rx) dx et en déduire l'équivalent Ir ∼r→+∞ 1 / r.
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et g ∈ 𝓒2([a, b], R). Démontrer la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral : g(b) = g(a) + (b − a) g′(a) + ∫ab (b − t) g″(t) dt.

Calcul de primitives

Déterminer une primitive pour chacune des fonctions Arcsin et Arctan.

Soit n ∈ N. Déterminer une primitive de la fonction x ↦ xn ln(x).

Montrer que pour tout polynôme P, pour tout λ ∈ R∗, la fonction x ↦ P(x) eλx admet une primitive de la forme x ↦ Q(x) eλx où Q est un polynôme de même degré. (On pourra procéder par récurrence et utiliser une intégration par parties.)

Fonction définie par une intégrale

  1. On pose pour tout x ∈ R, F(x) = (∫0x exp(−t2/2) dt)2.
    Montrer que la fonction F est dérivable et exprimer sa dérivée.
  2. Montrer que pour tout x ∈ R on a F′(x) = 2x∫01 exp(−x2(1 + u2)/2) du.
Soit f une fonction réelle définie et continue sur R. Pour tout t ∈ [0 ; 1] on note g(t) = ∫0t f(x) dx − t ∫01 f(x) dx sur [0 ; 1[. Montrer que la fonction g est dérivable puis montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1], |g(t)| ≤ ∫01 |f′(x)| dx.
Soit F une fonction définie sur R+ à valeurs dans [0 ; 1[ et de dérivée F′ = f avec F(0) = 0. On pose pour tout x ∈ R+, φ(x) = f(x)/1 − F(x).

Montrer que pour tout x ∈ R+ on a F(x) = 1 − exp(−∫0x φ(t) dt).

Ecricome 2011 problème 1.2 question 3

Sommes de Riemann

Calculer la limite de chacune des suites ( ∑k=1n n / (k + n)2), ( ∑k=1n n / k2 + n2) et (1 / √n∑k=1n 1 / √k + √n).

Annales