Formules de Taylor

Les formules de Taylor justifient les approximations locales de fonctions réelles, au voisinage d'un réel de leur domaine de définition, par des expressions polynomiales. L'erreur de cette approximation peut être majorée à l'aide d'une majoration de la valeur absolue d'une dérivée d'ordre supérieur.

Appliquées aux polynômes, elles permettent d'exprimer le changement de base de la base canonique vers une translatée.

Pour une fonction n fois dérivable en un réel a de son domaine de définition, la formule de Taylor-Young donne un développement limité à l'ordre n en a.

Formule de Taylor avec reste intégral.
Soit I un intervalle réel non dégénéré et soit a ∈ I. Soit n ∈ N et f une fonction de classe Cn+1 sur I.

On a pour tout x ∈ I, f(x) = ∑k=0n (x − a)k / k! f(k)(a) + ∫ax (x − t)n / n! f(n+1)(t) dt.

On procède par récurrence sur n.

Pour toute fonction f de classe C1 sur I, on a f(x) = f(a) + ∫ax f′(t) dt par théorème fondamental de l'analyse.

Soit n ∈ N tel que pour toute fonction f de classe Cn+1 sur I, on ait pour tout x ∈ I, f(x) = ∑k=0n (x − a)k / k! f(k)(a) + ∫ax (x − t)n / n! f(n+1)(t) dt.

Soit f une fonction de classe Cn+2 sur I. En particulier, la fonction f est de classe Cn+2 sur I donc en appliquant l'hypothèse de récurrence on trouve pour tout x ∈ I, f(x) = ∑k=0n (x − a)k / k! f(k)(a) + ∫ax (x − t)n / n! f(n+1)(t) dt.
Or par intégration par parties, on trouve pour tout x ∈ I, ∫ax (x − t)n / n! f(n+1)(t) dt = [−(x − t)n+1 / (n + 1)! f(n+1)(t)]ax − ∫ax −(x − t)n+1 / (n + 1)! f(n+2)(t) dt = (x − a)n+1 / (n + 1)! f(n+1)(a) + ∫ax (x − t)n+1 / (n + 1)! f(n+2)(t) dt.

Finalement, la propriété est vraie pour tout n ∈ N.

Majoration du reste intégral
Soit I un intervalle réel non dégénéré et n ∈ N. Soit f une fonction de classe Cn+1 sur I et soit (a, x) ∈ I2.
On note M un majorant de |f(n+1)| sur I.
Alors on a |f(x) − ∑k=0n (x − a)k / k! f(k)(a)| ≤ |x − a|n+1 / (n + 1)! M.
On applique l'inégalité triangulaire au reste intégral en gardant des valeurs absolues pour que la formule soit valable même si a > x. |∫ax (x − t)n / n! f(n+1)(t) dt| ≤ |∫ax (x − t)n / n! |f(n+1)(t)| dt| puis par croissance de l'intégrale on trouve |∫ax (x − t)n / n! |f(n+1)(t)| dt| ≤ |∫ax (x − t)n / n! M dt| ≤ |[(x − t)n+1 / (n + 1)!]ax M| ≤ |b − a|n+1 / (n + 1)! M

Exercices