Exercices de développement limité

Exercice

Calculer les développements limités à l'ordre 3 au voisinage de 0 pour les fonctions suivantes :

• x ↦ √(1 + x)
• x ↦ 1/(1 + 2x)
• x ↦ 1/(2 + x)
• x ↦ 1/√(x + 1)
• x ↦ ln(3 + x)
• x ↦ exp(1 − 2x)

Exercice

Écrire le développement limité de la fonction f : x ↦ 1 / (1 + x²) à l'ordre 2 en 0. En déduire une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.

Exercice

Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de x + (1 − x) × ln(1 − x).

Exercice

Donner le développement limité à l'ordre 1 en 0 de la fonction définie par f(x) = ln(1 + 2x)/x − 1 pour tout x ∈ ]1/2 ; 0[ ∪ ] 0 ; +∞ [ avec f(0) = 1.
En déduire que la fonction f est continue et dérivable en 0 en précisant f′(0).

Exercice

Déterminer un développement limité de la fonction x ↦ ln(cos(x)) à l'ordre 2 au voisinage de 0, puis en déduire que la fonction x ↦ cos(x)^1/x est prolongeable par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0, en précisant le nombre dérivé et la position de la courbe par rapport à la tangente en ce point.

Exercice

Montrer que la fonction g : x ↦ 1/sin(x)) − 1/x) est prolongeable par continuité en une fonction de classe 𝒞¹ sur [0 ; π/2].

Exercice

Montrer que la différence π cos(πx) / sin(πx) − 1/x admet une limite finie lorsque x tend vers 0 et calculer sa valeur.

Exercice

Déterminer le développement limité de la fonction Arctan à l'ordre n en 0 à l'aide de celui de sa dérivée.

Exercice

Déterminer le développement limité de la fonction tangente à l'ordre 5 en 0 à l'aide de la relation tan′ = 1 + tan².

Exercice

Montrer que la fonction x ↦ x^1/(x−1) admet un prolongement par continuité en 1 qui est dérivable et préciser la position relative de la courbe et de sa tangente en 1.

Exercice

On pose f : x ↦ 1/x+1 − ln(1+1/x). Montrer que lorsque x tend vers +∞, x²f(x) converge vers une constante négative que l’on déterminera.

Exercice

Calculer lim_n→+∞ −(n − 1)(1 + n ln(1 − 1/n)).

Exercice

Calculer lim_n→+∞ n(1 − ln(n)/n)ⁿ.

Exercice

Étudier la nature de la série associée à la suite (1/(n + 1) − ln(n + 1) + ln(n)).

Exercice

Déterminer un réel α tel que lim_N→+∞ N^α+1 = +∞ et lim_N→+∞ 1 − exp(N (ln(1 −N^α) + N^α)) = 0.

Exercice

On définit une suite par u₁ = 1 et pour tout n ∈ N^∗, u_n+1 = u_n + 1/u_n².

1. Montrer que la suite (u_n)_n∈N^∗ est bien définie, strictement croissante et tend vers +∞.
2. À quelle condition sur β ∈ R la différence u_n+1^β − u_n^β converge vers un réel strictement positif lorsque n tend vers +∞ ?

Exercice

Déterminer les éventuelles asymptotes des fonctions définies par les expressions suivantes et préciser la position relative de la courbe dans chaque cas :

• x^1+1/x
• x^1+1/x2
• 1/sin(1/x)
• x arctan(x)
• x e^1/x

Exercice

Montrer que la fonction x ↦ (e^x − cos(x))² / (ln(1 + x) − x) est prolongeable par continuité en 0 en une fonction dérivable et préciser la position de la courbe par rapport à celle de la tangente en 0.