Limite de fonction réelle d’une variable réelle
Définitions et exemples
On appelle droite réelle continuée et on note ¯R l’ensemble qui contient tous les réels et deux infinis ¯R = R ∪ {−∞ ; +∞}, ordonné totalement par l’ordre usuel sur les réels avec pour tout x ∈ ¯R, −∞ ≤ x ≤ +∞.
L’addition est partiellement prolongée par :
- ∀ x ∈ R, (−∞) + x = x + (−∞) = −∞ et (+∞) + x = x + (+∞) = +∞
- (+∞) + (+∞) = +∞ et (−∞) + (−∞) = −∞
Seule l’addition de +∞ et −∞ n’est pas définie.
La multiplication est partiellement prolongée par la règle suivante : le produit de deux infinis ou d’un réel non nul avec un infini est infini et son signe suit la règle des signes. Seule la multiplication de zéro et d’un infini n’est pas définie.
Soit a ∈ R.
On dit qu’une propriété est vraie au voisinage de a
s’il existe un intervalle ouvert contenant a sur lequel la propriété est vraie.
On dit qu’une propriété est vraie au voisinage à droite (resp. à gauche) de a
s’il existe ε ∈ R∗+
tel que la propriété soit vraie sur ]a ; a + ε[
(resp. ]a − ε ; a[).
On dit qu’une propriété est vraie au voisinage de +∞
(resp. −∞)
s’il existe M ∈ R+
tel que la propriété soit vraie sur ]M ; +∞[
(resp. ]−∞ ; M[).
Soit a ∈ R
et soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a.
On dit que f admet une limite L ∈ R en a
et on note
limx→a
f(x) = L
si pour tout intervalle ouvert J contenant L, on a
f(x) ∈ J pour tout x au voisinage de a.
On dit que f tend vers +∞ (resp. −∞) en a et on note
limx→a
f(x) = +∞
(resp. limx→a
f(x) = −∞)
si pour tout M ∈ R, on a
f(x) ∈ ]M ; +∞[
(resp. f(x) ∈ ]−∞ ; M[) pour tout x au voisinage de a.
Les mêmes définitions peuvent être spécifiées à droite ou à gauche en appliquant la même précision aux voisinages considérés.
- Pour tout c ∈ R, la fonction constante de valeur c sur un intervalle ouvert admet c comme limite aux bornes de l’intervalle.
- La fonction identité a des limites tautologiques limx→+∞
x = +∞
et limx→−∞
x = −∞.
- Pour tout a ∈ Z on a
limx→a ; x<a
E(x)
= a − 1
et limx→a ; x>a
E(x)
= a.
- Limite de la racine carrée
- On a limx→+∞
√x = +∞
Pour tout M ∈ R+ on a l’équivalence √x > M ⇔ x > M2.
Comparaison de limites
Soient
f et
g deux fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de
a ∈ R et admettant des limites en
a, notées respectivement
L et
L′.
- Si on a
L > L′
alors on a f > g au voisinage de a.
- Si on a f ≤ g au voisinage de a alors on a
L ≤ L′.
Comme
pour les limites de suites, on démontre le premier cas et le deuxième s’en déduit par contraposée.
Supposons L > L′. On pose ε = (L−L′)/2. Alors on a f(x) > L − ε = (L+L′)/2 = L′ + ε > g(x) au voisinage de a.
Cette propriété démontre l’unicité de la limite et permet de montrer que certaines fonctions n’ont pas de limite. Par exemple, la fonction cosinus n’a pas de limite en +∞ car les suites (cos(2πn)) et (cos(2πn + π/2)) sont constantes de valeurs respectives 1 et 0.
- Critère séquentiel de la limite
- Soit a ∈ ¯R et soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a. Soit L ∈ ¯R. On a l’équivalence suivante :
limx→a
f(x) = L
si et seulement si
pour toute suite (un) telle que limn→+∞
un = a
on a limn→+∞
f(un) = L.
On montre le sens direct puis la contraposée de la réciproque.
Supposons limx→a
f(x) = L.
Soit (un)
telle que limn→+∞
un = a.
Soit J un intervalle ouvert au voisinage de L. Il existe un intervalle I au voisinage de a tel que pour tout x ∈ I ∩ Df on ait f(x) ∈ J. Or il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite (un) sont dans I. À partir de ce même rang, tous les termes de la suite (f(un)) sont donc dans J.
Donc on trouve limn→+∞
f(un) = L.
Réciproquement, supposons que la fonction f ne tende par vers L en a. On distingue trois cas.
- Si a ∈ R, pour tout n ∈ N∗ l’intervalle ouvert ]a − 1/n, a + 1/n[ contient un réel un ∈ Df tel que f(un) ∉ J.
- Si a = +∞, pour tout n ∈ N∗ l’intervalle ouvert ]n, +∞[ contient un réel un ∈ Df tel que f(un) ∉ J.
- Si a = −∞, pour tout n ∈ N∗ l’intervalle ouvert ]−∞, −n[ contient un réel un ∈ Df tel que f(un) ∉ J.
Dans les trois cas, la suite (un) tend vers a mais la suite (f(un)) ne tend pas vers L en +∞.
Opérations
De même, on peut démontrer des règles de calcul à partir de celles sur les limites de suites.
Dans toutes les propositions ci-dessous, on considère
f et
g deux fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de
a ∈ ¯R.
- Limite d’une somme
-
- Si f et g admettent toutes deux une limite finie en a alors f+g aussi et on trouve limx→a (f + g)(x) = limx→a f(x) + limn→a g(x).
- Si limx→a f(x) = +∞ et si g est minorée au voisinage de a alors limx→a (f + g)(x) = +∞.
- Si limx→a f(x) = −∞ et si g est majorée au voisinage de a alors limx→a (f + g)(x) = −∞.
- Limite d’un produit
-
- Si limx→a f(x) = 0
et si g est bornée au voisinage de a alors limx→a (f × g)(x) = 0.
- Si f et g admettent toutes deux une limite en a alors on a limx→a (f × g)(x)
= (limx→a f(x))
× (limx→a g(x)) lorsque le produit a un sens.
- Limite du quotient
-
- Si f et g admettent toutes deux une limite en a alors on a limx→a f(x)/g(x) = limx→a f(x)/limx→a g(x) lorsque ce quotient a un sens.
- Si f tend vers l’infini en a et si g est bornée de signe constant au voisinage de a alors f/g tend vers l’infini en a en respectant la règle des signes.
- Si f est bornée et si g tend vers l’infini alors on a limx→a f(x)/g(x) = 0.
Il ne faut pas confondre la propriété suivante avec celle de la limite d’une suite géométrique.
- Limite d’une puissance
- Soit n ∈ N∗.
On a limx→+∞
xn = +∞
et
- si n est pair, limx→−∞
xn = +∞ ;
- si n est impair, limx→−∞
xn = −∞.
On procède par récurrence sur n ∈ N∗.
- Limite d’une composée
- Soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a ∈ ¯R et à valeurs dans un intervalle J. Soit g une fonction définie sur J.
Supposons limx→a
f(x) = L
et limX→L
g(X) = L′.
Alors on a limx→a
g(f(x)) = L′.
On applique deux fois le critère séquentiel de la limite.
Pour toute suite (un) qui tend vers a,
on a limn→+∞
f(un) = L
donc limn→+∞
g(f(un)) = L′.
Finalement, en utilisant la réciproque du critère séquentiel, on trouve bien
limx→a
g(f(x)) = L′.
Théorèmes
- Théorème de comparaison
- Soient f et g deux fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a ∈ ¯R telles que f ≤ g au voisinage de a.
- Si limx→a f(x) = +∞ alors limx→a g(x) = +∞.
- Si limx→a g(x) = −∞ alors limx→a f(x) = −∞.
- Théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes
- Soient f, g, h
trois fonctions réelles définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a ∈ ¯R
telles que limx→a f(x) = limx→a h(x)
et telles que f ≤ g ≤ h au voisinage de a.
Alors la fonction g tend vers la même limite que f et h en a.
On applique le
critère séquentiel à l’aide des
théorèmes sur les limites de suites.
Par exemple, dans le premier cas du théorème de comparaison,
si limx→a f(x) = +∞
alors pour toute suite (un)
telle que limn→+∞ un = a
on a limn→+∞ f(un) = +∞
et pour tout n ∈ N, f(un) ≤ g(un)
donc limn→+∞ g(un) = +∞.
Finalement, on obtient limx→a g(x) = +∞.
- Théorème des limites d’une fonction monotone
- Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. Soit f une fonction définie sur ]a, b[.
- Supposons f croissante.
-
Si f est minorée alors limx→a f(x) = inf]a, b[ f,
sinon limx→a f(x) = −∞.
- Si f est majorée alors limx→b f(x) = sup]a, b[ f, sinon limx→b f(x) = +∞.
- Supposons f décroissante.
- Si f est minorée alors limx→b f(x) = inf]a, b[ f,
sinon limx→b f(x) = −∞.
- Si f est majorée alors limx→a f(x) = sup]a, b[ f, sinon limx→a f(x) = +∞.
On calcule la limite en
a dans le cas où la fonction est croissante. Les autres cas se démontrent de manière analogue.
Supposons d’abord que f est minorée. On note L = inf]a, b[ f. Soit ε ∈ R∗+. Il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que f(x0) ≤ L + ε et pour tout x ∈ ]a, x0[ on a L ≤ f(x) ≤ f(x0) ≤ L + ε. Finalement, la fonction f tend bien vers L en a.
Supposons maintenant que f n’est pas minorée. Soit m ∈ R. Il existe x0 ∈ ]a, b[ tel que f(x0) ≤ m et pour tout x ∈ ]a, x0[ on a f(x) ≤ f(x0) ≤ m. Finalement, la fonction f tend bien vers −∞ en a.
- Limites à gauche et à droite pour une fonction monotone
- Soit f une fonction définie et croissante (resp. décroissante) sur un intervalle réel I. Pour tout (a, b) ∈ I2 tel que a < b on a
f(a)
≤ limx→a, x > a f(x)
≤ limx→b, x < b f(x)
≤ f(b)
(resp. f(a)
≥ limx→a, x > a f(x)
≥ limx→b, x < b f(x)
≥ f(b)).
On démontre les inégalités dans le cas où la fonction est croissante.
La fonction f est minorée par f(a) et majorée par f(b) sur l’intervalle ]a, b[ donc on a
f(a)
≤ inf]a, b[ f
≤ sup]a, b[ f
≤ f(b) et le théorème précédent permet de conclure.
Asymptotes et branches paraboliques
Soit a ∈ R et f une fonction définie au voisinage à droite ou à gauche de a.
On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote verticale d’équation x = a si f admet une limite infinie à gauche ou à droite en a.
Les valeurs interdites pour une expression donnent souvent lieu à une asymptote verticale, mais pas systématiquement, et notamment pas dans le cas d'un accroissement fini de fonction dérivable.
Soit
f une fonction définie au voisinage de
+∞ (resp.
−∞). Soit
(a, b, c) ∈ R3.
On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale d’équation y = c en +∞ (resp. −∞) si on a
limx→+∞
f(x) = c
(resp. limx→−∞
f(x) = c).
On dit que la courbe représentative de f admet une asymptote oblique d’équation y = ax + b en +∞ (resp. −∞) si on a
limx→+∞
f(x) − (ax + b) = 0
(resp. limx→−∞
f(x) − (ax + b) = 0).
Si f admet une asymptote oblique
d’équation y = ax + b en +∞
(resp. en −∞)
alors on a limx→+∞ f(x)/x = a (resp. limx→−∞ f(x)/x = a).
Supposons que
f admette une asymptote oblique d’équation
y = ax + ben
+∞.
Alors on trouve
limx→+∞ (f(x) − (ax + b))/x = 0
or
limx→+∞ b/x = 0
donc
limx→+∞ f(x)/x − a = 0.
Le cas de l’asymptote oblique en −∞ se traite de manière analogue.
Soit
f une fonction définie au voisinage de
+∞ (resp.
−∞).
On dit que la courbe de f admet une branche parabolique verticale en +∞
(resp. en −∞)
si le quotient f(x)/x tend vers l'infini
en +∞
(resp. en −∞). La branche est dit dirigée vers le haut si cette limite est +∞, dirigée vers le bas dans le cas contraire.
Soit a ∈ R.
On dit que la courbe de f admet une branche parabolique de direction y = ax en +∞
(resp. en −∞)
si le quotient f(x)/x tend vers a
en +∞
(resp. en −∞) mais que la différence f(x) − ax tend vers l'infini.
- Les courbes fonctions puissances d'exposant n ≥ 2 admettent des branches paraboliques verticales à l'infini.
- La courbe de la fonction racine carrée admet une branche parabolique horizontale en +∞.