Continuité

Limite finie en un réel

Soit a ∈ R. Soit V ⊂ R.
On dit que V est un voisinage à gauche de a s'il existe un réel b < a tel que ]b, a[ ⊂ V.
On dit que V est un voisinage à droite de a s'il existe un réel b > a tel que ]a, b[ ⊂ V.
On dit que V est un voisinage de a s'il existe un intervalle ]b, c[ contenant a tel que ]b, c[ ⊂ V.

L'ensemble R^∗+ est un voisinage à droite de 0.

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ⊂ R. On dit que f est définie au voisinage de a si D est un voisinage (éventuellement à gauche ou à droite) de a.

La fonction inverse n'est pas définie en 0 mais elle est définie au voisinage de 0.

Soit f une fonction définie au voisinage de a sur D ⊂ R. Soit L ∈ R.
On dit que f admet une limite (à gauche ou à droite) L en a si pour tout voisinage V de L il existe un voisinage U ⊂ D (à gauche ou à droite) de a tel que pour tout x ∈ U ∩ D on a f(x) ∈ J.
On note alors lim_x→a f(x) = L (respectivement, lim_{x→a, x < a} f(x) = L ou lim_{x→a, x > a} f(x) = L).

Soit f une fonction réelle d’une variable réelle et a un réel en lequel f est définie. On dit que f est continue en a si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x ∈ I ∩ D_f on a f(x) ∈ J.

Toute fonction constante est continue en tout point.
La fonction identité est continue sur R.
La fonction racine carrée est continue sur R⁺.

Soit c ∈ R. On définit la fonction f constante de valeur c sur R. Soit a ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant f(a) = c. Pour tout x ∈ R on a f(x) = c ∈ J.
Soit a ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant id(a) = a. Pour tout x ∈ R on a l’équivalence id(x) ∈ J ⇔ x ∈ J.
Soit a ∈ R^∗+. Soit J un intervalle ouvert contenant √a dans R⁺. On note J = ]b, c[. Pour tout x ∈ R⁺ on a les équivalences √x ∈ J ⇔ b < √x < c ⇔ b² < x < c².
De même, pour tout intervalle J ouvert et contenant 0, on note J = ]b, c[ et on a les équivalences pour tout x ∈ R⁺, √x ∈ J ⇔ x < c².

Soit a ∈ R et soit f une fonction d’une variable réelle telle que f soit définie en a et au voisinage à gauche ou à droite de a. La fonction f est continue en a si et seulement si on a lim_x→a f(x) = f(a).
En particulier, si la fonction f est définie à droite et à gauche en a, la fonction est continue en a si et seulement si on a lim_{x→a ; x<a} f(x) = lim_{x→a ; x>a} f(x) = f(a).

La fonction valeur absolue est continue en 0 car on a lim_{x→0 ; x<0} |x| = lim_{x→0 ; x<0} −x = 0 et lim_{x→0 ; x>0} |x| = lim_{x→0 ; x>0} x = 0.
Pour tout a ∈ Z, la fonction partie entière n’est pas continue en a, car on a lim_{x→a ; x<a} E(x) = a − 1 et lim_{x→a ; x>a} E(x) = a.

Soit I un intervalle non dégénéré de R. Soit a ∈ I. Soient f et g deux fonctions réelles définies sur I et continues en a. Alors f+g et f×g sont continues en a.
En outre, si g(a) ≠ 0 alors la fonction g ne s’annule pas au voisinage de a et le quotient f/g est continu en a.

Soient I et J deux intervalles non dégénérés de R. Soit a ∈ I. Soit f une fonction réelle définie sur I à valeurs dans J et continue en a. Soit g une fonction réelle définie sur J et continue en b = f(a). Alors la composée g◦f est continue en a.

On utilise les propriétés des limites sur les opérations.

Continuité sur un intervalle

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D de R. On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout réel a de D.

Soit I un intervalle réel fermé et f une fonction réelle définie sur I et continue avec f(I) ⊂ I. Soit u une suite réelle convergente satisfaisant la relation de récurrence u_n+1 = f(u_n) avec u_n ∈ I à partir d’un certain rang.
Alors la limite de u est un point fixe de f dans I.

Soient f et g deux fonctions réelles continues sur un même domaine de R. Leur somme, leur différence, leur produit et leur quotient sont continues là où ils sont définis.

Soient f et g deux fonctions réelles d’une variable réelle continues. Leur composée g◦f est continue là où elle est définie.

Toute restriction d’une fonction continue est continue.

Si la restriction d’une fonction f à un intervalle ouvert I est continue, alors la fonction f est continue en tout point de I.

On en déduit que dans le cas d’une fonction définie par morceaux, la continuité se démontre par restriction à chaque intervalle ouvert et par limite à gauche et à droite en chaque point de la subdivision.

Soit I un intervalle réel non dégénéré. Soit a ∈ I et soit f une fonction réelle définie sur I\a.
On dit que la fonction f est prolongeable par continuité sur I si elle admet une limite finie en a. Dans ce cas, on appelle prolongement par continuité de f à I la fonction F définie sur I par ∀x ∈ I \ a, F(x) = f(x) et F(a) = lim_x→a f(x).

Le prolongement par continuité d’une fonction continue est continu.

Par construction, la fonction F est continue en dehors de a et on a lim_{x→a ; x≠a} F(x) = lim_x→a f(x) = F(a).

Théorèmes

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI): Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.

Supposons k < f(b). On peut poser par exemple A = {x ∈ [a, b] : f(x) ≤ k} et c = sup A. On raisonne alors par l’absurde.

Si f(c) < k alors c < b et par continuité de f on a f(x) < k pour tout x au voisinage à droite de c, ce qui contredit le fait que c soit un majorant de l’ensemble A.
Si f(c) > k alors c > a et par continuité de f on a f(x) > k pour tout x au voisinage à gauche de c, donc il existerait d’autres majorants de A strictement inférieurs à c.

L’image d’un intervalle réel par une fonction réelle continue est un intervalle.

Soit I un intervalle réel. Soit f une fonction réelle continue sur I. Soit (x, y, z) ∈ R³ tel que x ∈ f(I), y ∈ f(I) et x ≤ z ≤ y.

Il existe (a, b) ∈ I² tel que x = f(a) et y = f(b) donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c entre a et b tel que z = f(c), donc z ∈ f(I).

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle définie sur [a, b]. Le théorème des valeurs intermédiaires démontre l’inclusion [f(a) , f(b)] ⊂ f([a, b]) mais l’inclusion réciproque est fausse en général.

Extension du théorème des valeurs intermédiaires: Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle I et admettant des limites aux bornes de I.
Tout réel strictement compris entre les limites aux bornes admet au moins un antécédent par f.

Si la fonction f a la même limite aux deux bornes de I, la propriété est vraie. Sinon, on note m la plus petite de ces limites et M la plus grande.

Soit k ∈ ]m, M[. Il existe (a, b) ∈ I² tel que m < f(a) < k < f(b) < M, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel c entre a et b tel que f(c) = k.

La propriété suivante constitue une réciproque partielle du corolaire du théorème des valeurs intermédiaires. Elle est utilisée dans la démonstration du théorème de la bijection.

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle réel I non dégénéré et monotone. Si f(I) est un intervalle alors f est continue.

On démontre la propriété d’abord dans le cas où f est croissante. Dans le cas où f est décroissante, il suffira d’appliquer la propriété à −f.

Soit x₀ ∈ I. Soit J = ]a, b[ un intervalle ouvert contenant f(x₀). On a donc a < f(x₀) < b.

Si a ∈ f(I) alors par hypothèse il existe a′ ∈ I tel que a < f(a′) < f(x₀). Sinon on pose a′ = −∞
Dans les deux cas, on obtient que pour tout x ∈ I, si x > a′ alors f(x) > a.

De même, si b ∈ f(I) alors il existe b′ ∈ I tel que f(x₀) < f(b′) < b. Sinon on pose b′ = +∞
Dans les deux cas, on obtient que pour tout x ∈ I, si x < b′ alors f(x) < b.

Par conséquent, pour tout x ∈ ]a′, b′[ ∩ I, on trouve a < f(x) < b.

Finalement, la fonction f est bien continue.

Théorème de la bijection: Soit f fonction réelle continue et strictement monotone sur un intervalle réel I non dégénéré. La fonction f induit une bijection continue entre les intervalles I et f(I) avec une réciproque continue et strictement monotone de même sens de variation que f.

La fonction f est strictement monotone donc injective or elle est nécessairement surjective sur son image qui est un intervalle d’après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires. On distingue deux cas selon le sens de variations de f.

Si f est strictement croissante alors pour tout (a, b) ∈ I² on a les équivalences f⁻¹(a) < f⁻¹(b) ⇔ f(f⁻¹(a)) < f(f⁻¹(b)) ⇔ a < b donc f⁻¹ est strictement croissante.

Si f est strictement décroissante alors pour tout (a, b) ∈ I² on a les équivalences f⁻¹(a) < f⁻¹(b) ⇔ f(f⁻¹(a)) > f(f⁻¹(b)) ⇔ a > b donc f⁻¹ est strictement décroissante.

Dans les deux cas, la réciproque est strictement monotone avec un intervalle pour image donc elle est continue.

En particulier, ce théorème de la bijection s’applique aux fonctions puissances pour montrer que pour tout n ∈ N*,

si n est impair, pour tout x ∈ R, il existe un unique r ∈ R tel que rⁿ = x ;
si n est pair, pour tout x ∈ R⁺, il existe un unique r ∈ R⁺ tel que rⁿ = x.

Dans les deux cas, ce réel r est appelé racine n-ième de x et se note ⁿ√x.

Théorème des bornes: Toute fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b].

On raisonne d’abord par l’absurde. Supposons que f ne soit pas majorée. On note pour tout n ∈ N A_n = {x ∈ [a, b] : f(x) ≥ n} et u_n = sup A_n. On montre alors f(u_n) ≥ n.
En outre, pour tout n ∈ N on a A_n+1 ⊂ A_n donc u_n+1 ≤ u_n. Donc la suite (u_n) est décroissante et minorée donc converge.
On note L sa limite et, par continuité de f, on trouve f(L) = lim_n→+∞ f(u_n) = +∞, ce qui est absurde.

Par conséquent, la fonction f est majorée. De même, la fonction −f est continue sur [a, b] donc majorée donc la fonction f est minorée.

On note alors pour tout n ∈ N*, B_n = {x ∈ [a, b] : f(x) ≥ sup_{[a, b]}(f) − 1/n} et v_n = sup B_n.
La suite (v_n) est décroissante et minorée donc converge et par continuité de f on trouve f(lim_n→+∞ v_n) = lim_n→+∞ f(v_n).
Or on a pour tout n ∈ N*, sup_{[a, b]}(f) − 1/n ≤ f(v_n) ≤ sup_{[a, b]}(f), donc par théorème d’encadrement, on obtient f(lim_n→+∞ v_n) = sup_{[a, b]}(f).

Finalement, la fonction f atteint sa borne supérieure. En appliquant ce résultat à la fonction −f, on trouve alors que la fonction f atteint aussi sa borne inférieure.

L’image d’un segment réel par une fonction réelle continue est un segment.