Comme lors d’une résolution d’équation, la première étape d’une résolution d’inéquation consiste à circonscrire le domaine d’étude, si cela n’est pas déjà fait par l’énoncé.
Différence
Les inéquations de la forme f(x) ≠ g(x) se traitent comme l’équation f(x) = g(x), en prenant garde à appliquer les règles de De Morgan pour la négation des conjonctions et disjonctions : (A et B) = A ou B, (A ou B) = A et B.
En particulier, un produit non nul se décompose avec une conjonction : A(x) × B(x) ≠ 0 ⇔ A(x) ≠ 0 et B(x) ≠ 0.
Comparaison
Pour résoudre une inéquation de la forme f(x) ≥ g(x) ou f(x) > g(x), on procède généralement en déterminant le signe de la fonction x ↦ g(x) − f(x).
Lorsqu’une inéquation est réduite au signe d’une fonction F et qu’on a dressé le tableau de signe de F, on écrit les solutions de l’inéquation sous forme de réunion d’intervalles.
| x | −∞ | −2 | 35 | 2 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| F(x) | − | ‖ | − | 0 | + | ‖ | − |
On a donc F(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ ]−∞, −2[ ∪ ]−2, 3/5] ∪ ]2, +∞[.
Les inéquations avec un membre en valeur absolue se transforment selon les règles suivantes :
Pour une inéquation avec des expressions plus alambiquées contenant des valeurs absolues, on subdivise le domaine à l’aide d’un tableau d’expressions.
On n’oubliera pas que pour déterminer les solutions d’une conjonction (avec « et ») on calcule l’intersection des ensembles de solutions de chacune des clauses, tandis que pour une disjonction (avec « ou ») on calcule une réunion.