La logique déductive est à la base du raisonnement mathématique. Elle consiste à justifier des propositions à partir d’autres propositions précédemment justifiées, de postulats ou d’axiomes.
Un raisonnement hypothético-déductif commence éventuellement (dans le cas de propriétés universelles) par l’instanciation d’une ou plusieurs variables libres à l’aide du mot « Soit », précisant en général leur ensemble d’appartenance sous la forme « Soit x ∈ E ». Plusieurs variables peuvent être introduites simultanément à l’aide d’une liste dans un produit cartésien comme dans « Soit (λ, u, v) ∈ R × E2 ».
Puis on peut formuler une ou plusieurs hypothèses, introduites par la locution « tel que » si une ou plusieurs variables ont été instanciées, ou par l’impératif « Supposons ».
Ensuite vient l’inférence proprement dite, c’est-à-dire que l’on énonce une ou plusieurs assertions, formulées en français ou introduites par « on a ». Chaque assertion qui se déduit des précédentes est introduite par la conjonction « donc ». Les assertions qui sont de simples rappels de propositions antérieures peuvent être introduites par « or » ou « d’autre part ».
La conclusion de ce raisonnement peut commencer par « Finalement », doit rappeler les variables instanciées avec « pour tout … tel que … » et les éventuelles hypothèses supplémentaires introduites par « si », puis énoncer la proposition ainsi démontrée.
On procède par disjonction de cas lorsque les arguments diffèrent selon la valeur d’une variable. On peut distinguer ainsi le fait qu’un entier soit pair ou impair, qu’un réel soit positif ou négatif (voire en traitant à part le cas de 0), qu’une fonction monotone soit croissante ou décroissante…
Ce procédé s’emploie surtout lorsqu’un élément est pris dans une réunion d’ensembles x ∈ A ∩ B. On distingue alors les cas x ∈ A et x ∈ B, en prenant garde qu’il n’y a pas de contradiction lorsque l’élément appartient à l’intersection des deux ensembles.
En pratique, on écrit « On distingue deux cas » (ou plus le cas échéant), puis on traite successivement chacun des cas en précisant les hypothèses : « Si … alors … ».
Le raisonnement par analyse et synthèse s’utilise essentiellement pour démontrer des propriétés d’existence ou pour la résolution d’équations, et se déroule en deux temps.
D’abord, on suppose qu’il existe une solution au problème posé et on essaie d’en déduire des propriétés permettant notamment de l’exprimer par une formule explicite. C’est l’étape d’analyse.
Puis on vérifie que la formule définit un objet qui répond effectivement au problème posé. C’est l’étape de synthèse, trop souvent oubliée lors d’une résolution d’équation ou d’inéquation, mais qui est pourtant nécessaire dans ce type de raisonnement.
Un raisonnement par équivalences s’utilise en général pour démontrer une proposition ou pour résoudre une équation, une inéquation ou un système.
On commence par écrire « On démontre par équivalences » ou « On raisonne par équivalences » puis on note la proposition à démontrer ou le prédicat à résoudre. Ensuite, sur la même ligne ou sur les lignes suivantes, on note chacun des prédicats équivalents précédé par la double flèche d’équivalence ⇔.
La démonstration se termine lorsque le dernier prédicat est considéré comme vrai, ce que l’on écrit avant de conclure.
La résolution se termine lorsque les inconnues sont exprimées en fonction de paramètres ou de variables libres.
Le raisonnement par l’absurde repose sur la logique du tiers-exclu : si une proposition n’est pas fausse, alors elle est vraie.
Pour démontrer une proposition, on peut écrire « On raisonne par l’absurde » et on suppose que la proposition est fausse en formulant sa négation précédée de la phrase « Supposons » ou « On suppose », puis on en déduit une contradiction. On conclut alors en affirmant la proposition démontrée.
On procède ainsi notamment pour démontrer des propriétés universelles, en introduisant un élément fictif qui se retrouve muni de propriétés contradictoires.
Le raisonnement par récurrence sert essentiellement à démontrer des propriétés universelles dépendant d’un variable entière positive, notamment des propriétés de suites numériques.
Parfois, cette variable n’est pas explicitement donnée, comme dans la proposition « la suite u est croissante », qui peut se réécrire « pour tout n ∈ N, un+1 ≥ un ».
On commence par écrire « On démontre par récurrence sur n ∈ N la propriété… ». Cette propriété est souvent notée sous la forme Pn. Il arrive aussi qu’on se restreigne à n ∈ N∗, voire à un intervalle d’entiers borné de la forme [[0 ; N]].
La première étape de la récurrence est l’initialisation, où l’on démontre la propriété P0 (ou P1 si n ∈ N∗).
La deuxième étape de la récurrence est la démonstration de l’hérédité de la propriété, c’est-à-dire de la proposition ∀n, Pn ⇒ Pn+1. Pour cela, on écrit « Soit n ∈ N tel que Pn soit vraie » et on démontre la propriété Pn+1 dans ce cadre. (Il est tentant dans cette étape de raisonner par équivalences mais c’est rarement plus rapide et très souvent faux.)
Enfin, on conclut « Par principe de récurrence, la proposition est vraie pour tout n ∈ N ».
Une récurrence double fonctionne de la même manière qu’une récurrence simple, sauf que l’initialisation porte sur deux propositions successives (le plus souvent P0 et P1) et que pour démontrer l’hérédité, on suppose que Pn et Pn+1 sont vraies pour démontrer Pn+2.
Ce principe se généralise aisément (bien que rarement) aux récurrence d’ordre 3 ou plus.
Dans une récurrence forte, l’initialisation porte sur une ou plusieurs propositions et la démonstration de l’hérédité commence par une phrase de la forme « Soit n ∈ N tel que la proposition Pk soit vraie pour tout k ≤ n ».