Pour exprimer la négation d’un prédicat, on analyse sa structure logique.
S’il commence par une introduction de variable avec un
quantificateur,
on remplace le quantificateur universel par l’existentiel et vice versa,
puis on nie le reste du prédicat.
Au cas où on introduit plusieurs variables, on remplace tous les quantificateurs en gardant l’ordre d’introduction des variables.
Si le prédicat s’exprime comme une conjonction ou une disjonction (c’est-à-dire avec un connecteur « et » ou « ou »),
on remplace « et » par « ou » et vice versa, puis on nie chacune des clauses.
Si le prédicat s’exprime comme une implication, sous la forme « si A alors B » ou A ⇒ B, sa négation s’écrit
A et ¯(B).
Si le prédicat s’écrit directement à l’aide d’une relation, on remplace le symbole par celui de la relation contraire. La relation d’inclusion peut être niée à partir de sa définition.
ExempleLe prédicat « la suite u est majorée »
s’écrit logiquement
« il existe M ∈ R tel que pour tout n ∈ N
on ait un ≤ M ».
Sa négation s’écrit donc
« pour tout M ∈ R il existe n ∈ N tel que un > M ».