Une disjonction est formellement un prédicat composé de plusieurs autres (appelés clauses) séparés par le mot « ou », mais certains mots de vocabulaire peuvent cacher une disjonction dans leur définition, comme dans les exemples ci-dessous.
Pour montrer une disjonction, il se peut que les hypothèses mènent à une disjonction de cas, chaque cas aboutissant à l’une des clauses de la proposition à démontrer. Mais une méthode plus systématique consiste à supposer que toutes les clauses sauf une sont fausses (sans supposer que la dernière clause est vraie !) puis à démontrer cette dernière clause.
Formellement, montrer l’égalité de deux ensembles E et F revient à démontrer l’équivalence x ∈ E ⇔ x ∈ F. Cependant, la méthode la plus courante consiste à démontrer une double inclusion E ⊂ F et F ⊂ E.
Dans certains cas, une seule inclusion peut suffire. C’est le cas par exemple si les deux ensembles sont finis et de même cardinal ou si les deux ensembles sont des sous-espaces vectoriels de même dimension finie dans un même espace vectoriel.
De nombreuses questions consistent à démontrer une égalité numérique ou vectorielle de la forme A = B. La méthode la plus courante est la double réduction, qui consiste à transformer l’expression de A ou de B (voire des deux) par une suite d’égalités jusqu’à obtenir une expression commune.
Si les deux expressions peuvent s’écrire sous la forme f(x) = g(x) où f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle réel I, on peut aussi essayer de montrer que ces fonctions ont la même dérivée et que leurs valeurs coïncident pour une valeur particulière de x ∈ I.
Dans certains cas, la démonstration d’une égalité entre réels peut s’appuyer sur une double inégalité A ≤ B et A ≥ B.
Pour démontrer une équivalence de la forme A ⇔ B, on peut raisonner par équivalences pour transformer le prédicat A ou B (ou les deux) jusqu’à aboutir à une expression commune. Il est souvent plus simple (mais un peu plus long) de démontrer une double implication A ⇒ B et B ⇒ A.
Pour démontrer l’existence d’un élément x qui satisfait une relation, on peut résoudre l’équation ou l’inéquation associée pour trouver au moins une solution.
On peut aussi s’appuyer sur les axiomes de l’ensemble des entiers naturels ou utiliser un théorème d’existence, comme la propriété de la borne supérieure, le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème des bornes, le théorème de Rolle…
On peut enfin parfois raisonner par l’absurde en supposant que la propriété d’existence est toujours fausse pour aboutir à une contradiction.
Une implication peut s’écrire sous la forme A ⇒ B où A et B sont deux prédicats, mais elle se présente le plus souvent comme une phrase de la forme « Si … alors … ».
La méthode la plus courante pour démontrer une implication consiste à écrire « Supposons A » puis d’en déduire « B est vraie ».
Une méthode alternative est de démontrer la contraposée B ⇒ A, c’est-à-dire de supposer que B est fausse et d’en déduire que A est fausse également.
Formellement, démontrer une inclusion E ⊂ F entre deux ensembles revient à démontrer l’implication x ∈ E ⇒ x ∈ F.
Si E et F sont deux sous-espaces vectoriels d’un même espace vectoriel, et si (u1, … , un) est une famille génératrice de E, il suffit de montrer que tous les vecteurs ui appartiennent à F.
Pour démontrer une inégalité, on peut s’appuyer sur une des inégalités déjà connues et appliquer des opérations qui conservent ou renversent l’inégalité.
Les opérations réversibles qui préservent une inégalité sont l’addition d’une constante (positive ou négative), la multiplication ou la division par une constante strictement positive, et plus généralement l’application d’une fonction strictement croissante.
Les opérations réversibles qui renversent une inégalité sont le changement de signe, la multiplication ou la division par une constante strictement négative, le passage à l’inverse sur un intervalle de signe constant et plus généralement l’application d’une fonction strictement décroissante.
On peut aussi affaiblir une inégalité en augmentant le membre supérieur, en diminuant le membre inférieur ou en l’additionnant membre à membre avec une inégalité de même sens.
Attention, on ne passe pas une inégalité au carré ou à l’inverse si l’on n’est pas sûr du signe des deux membres.
Si l’inégalité s’écrit sous la forme f(x) ≤ g(x) ou f(x) < g(x), on peut étudier la fonction x ↦ g(x) − f(x) pour déterminer son signe.
On peut aussi utiliser une des inégalités suivantes :
Une propriété universelle est une propriété qui commence par la locution « pour tout » ou par le symbole ∀, suivi d’une ou plusieurs variables, en général appartenant chacune à un ensemble. La méthode générale consiste à introduire chacune de ces variables à l’aide de la locution « Soit », puis à démontrer la propriété à l’aide des hypothèses.
Lorsque la variable est un entier naturel, la démonstration passe fréquemment par une récurrence. Dans certains cas, on peut aussi raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe un élément qui ne satisfait pas la propriété voulue et en aboutissant à une contradiction.
Pour démontrer l’unicité d’un élément satisfaisant une propriété, la méthode la plus courante consiste à introduire deux variables pour lesquelles la propriété est satisfaite (« Soit x et x′ tel que … »), puis à démontrer l’égalité entre ces deux variables.
La propriété d’unicité est souvent démontrée pour justifier l’injectivité d’une application.