Dans toute la fiche, on considère une application f d’un ensemble E vers un ensemble F.
L’injectivité et la surjectivité sont parfois perçues comme contradictoires, alors que d’une part il existe des applications qui ne sont ni injectives ni surjectives, d’autre part il existe des applications qui sont bijectives, c’est-à-dire à la fois injectives et surjectives.
Pour démontrer que l’application f est injective, la méthode standard consiste à écrire « Soit (x, x′) ∈ E2 tel que f(x) = f(x′) » puis à démontrer l’égalité x = x′ dans ce cadre.
Pour démontrer qu’elle est surjective, on peut écrire « Soit y ∈ F » puis démontrer qu’il existe x ∈ E tel que f(x) = y, par exemple en résolvant cette équation d’inconnue x.
S’il existe une application g définie sur F telle que la composée g ∘ f est injective alors f est injective.
S’il existe une application h à valeurs dans E telle que la composée f ∘ h est surjective alors f est surjective.
Ces propriétés constituent des réciproques partielles de la propriété suivante : la composée de plusieurs applications injectives (respectivement surjectives, bijectives) est injective (respectivement surjective, bijective).
Si f est une fonction réelle continue sur un intervalle I ⊂ R, on a l’équivalence suivante : f est injective si et seulement si elle est strictement monotone. Dans ce cas elle est bijective sur son image.
C’est le cas notamment si elle est dérivable et que sa dérivée ne s’annule pas.
Plus généralement, si une fonction réelle f est définie et dérivable sur un intervalle I ⊂ R, on a l’équivalence suivante : f est strictement monotone si et seulement si sa dérivée est de signe constant et ne s’annule sur aucun intervalle de la forme ]a, b[.
Si f est définie et continue sur une réunion d’intervalles disjoints, on vérifie qu’elle est injective sur chacun de ces intervalles et que les images correspondantes sont aussi des intervalles disjoints.
Pour une fonction bijective f, on peut tenter de déterminer sa réciproque en résolvant l’équation f(x) = y.
D’après le principe des tiroirs de Dirichlet, si l’ensemble F est fini et que l’ensemble E a plus d’éléments ou est infini, l’application f ne peut être injective.
Si l’ensemble E est fini et que l’ensemble F a plus d’éléments ou est infini, l’application f ne peut être surjective.
Si les ensembles E et F sont tous deux finis de même cardinal, l’application f est injective si et seulement si elle est surjective.
Dans le cas où l’application f est linéaire entre deux espaces vectoriels sur un même corps K, l’injectivité est équivalente à l’égalité Ker f = {0}. Il suffit donc de calculer son noyau pour déterminer si elle est injective.
Si en outre, l’espace E est de dimension finie, le théorème du rang permet d’écrire dim E = dim(Ker f) + rg(f) donc on dispose des deux propriétés suivantes.
En particulier, si E et F sont de même dimension finie, l’application f est injective si et seulement si elle est surjective.
Si l’espace E est muni d’une base (e1, … , en), on a aussi les équivalences suivantes.